2013陕西卷（理）数学试题

《2013陕西卷（理）数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013陕西卷（理）数学试题（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2013陕西卷(理科数学)1 设全集为，函数f(x)的定义域为M，则M为()A1，1 B(1，1)C(，11，) D(，1)(1，)1D解析 要使二次根式有意义，则Mx1x201，1，故M(，1)(1，)2 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()输入x；If x50Theny0.5*xElsey250.6*(x50)End If输出y.A25 B30 C31 D612C解析 算法语言给出的是分段函数y输入x60时，y250.6(6050)31.3， 设，为向量，则“|是”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3C解析 由已知中|可得，与同向或反

2、向，所以又因为由，可得|cos，|1，故|cosa，b|，故|是的充分必要条件4 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为()A11 B12 C13 D144B解析 由系统抽样定义可知，所分组距为20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间481，720的数目为(720480)2012.5 如图11，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一

3、地点，则该地点无信号的概率是()图11A1 B.1C2 D.5A解析 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P1.6 设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则z1z2B若z1z2，则z1z2C若|z1|z2|，则z1z1z2z2D若|z1|z2|，则zz6D解析 设z1abi，z2cdi(a，b，c，d)，若|z1z2|0，则z1z2(ac)(bd)i0ac，bd，故A正确若z1z2，则ac，bd，所以z1z2，故B正确若|z1|z2|，则a2b2c2d2，所以z1z1z2z2，故C正确又z(a2b2)2abi，z(c2d2)2cdi，由

4、a2b2c2d2不能推出zz成立，故D错7 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定7B解析 结合已知bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理代入可得sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin Asin(BC)sin2Asin Asin2Asin A1，故A90，故三角形为直角三角形8， 设函数f(x)则当x0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得：ff(x)6，展开式的通项为Tr1C6r()

5、rC(1)rxr3，令r30，可得r3，所以常数项为T4C20.9 在如图12所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()图12A15，20B12，25C10，30D20，309C解析 如下图，可知ADEABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y40x.又xy300，所以x(40x)300，即x240x3000，则10x30.10 设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy10D解析 可取特值x3.5，则x3.54，x3.53，故A错2x77，2x23.56，故B错再取

6、y3.8，则xy7.37，而3.53.8336，故C错只有D正确11 双曲线1的离心率为，则m等于_119解析 由a216，b2m，则c216m，则e，则m9.12 某几何体的三视图如图13所示，则其体积为_图1312.解析 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V122.13 若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_134解析 结合题目可以作出yx1与y2所表示的平面区域，令2xyz，即y2xz，作出直线y2x，在封闭区域内平移直线y2x，当经过点A(1，2)时，z取最小值为4.14 观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第

7、n个等式可为_1412223242(1)n1n2(1)n1解析 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12223242(1)n1n2(1)n1.15 (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_2解析 利用柯西不等式式可得：(ambn)(bman)()2mn(ab)22. B(几何证明选做题)如图14，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延

8、长线相交于点P，已知PD2DA2，则PE_.图14解析 利用已知可得，BCEPEDBAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，则PA3，则PE2PAPD6，PE.C (坐标系与参数方程选做题)如图15，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_图15(为参数)解析 设P(x，y)，则随着取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y2x0x2y2，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦OP1cos，所以可得故已知圆的参数方程为(为参数)16， 已知向量cos x，(sin x，cos 2x)，x，设函数f(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最

9、大值和最小值16解：f(x)cos x，(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcos sin 2xsincos 2xsin2x.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是.17 设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列17解：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a2anna1；当q

10、1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的k，(ak11)2(ak1)(ak21)，即a2ak11akak2akak21，即aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列18， 如图16，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小图111

11、8解：(1)方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11.A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由，易知B1(1，1，1)(1，0，1)，(0，2，0)，(1，0，1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.方法二：A1O平面ABCD，A1OBD.又四边形ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又 BB1AA1，A1CBB1.A1C平面BB1D

12、1D.(2)设平面OCB1的法向量(x，y，z)(1，0，0)，(1，1，1)，取(0，1，1)，由(1)知，(1，0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cos，|.又0，.19 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望19解：(1)

13、设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B).或P(AB ).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”则P(C).X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)P(A B C).P(X1)P(AB C)P(ABC)P(A BC)，P(X2)P(ABC)P(ABC)P(ABC)，P(X3)P(ABC).X的分布列为X0123PX的数学期望EX0123.20， 已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)

14、求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点20解：(1)如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，.化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中3

15、2kb640.由求根公式得，x1x2，x1x2.因为x轴是PBQ的角平分线，所以.即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1，0)21 已知函数f(x)ex，x(1)若直线ykx1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；(3)设ab，比较与的大小，并说明理由21解：(1)f(x)的反函数为g(x)ln x.设直线ykx1与g(x)ln

16、x的图像在P(x0，y0)处相切，则有y0kx01ln x0，kg(x0)，解得x0e2，k.(2)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线y与直线ym的公共点个数令(x)，则(x)，(2)0.当x(0，2)时，(x)0，(x)在(2，)上单调递增，(x)在(0，)上的最小值为(2).当0m时，在区间(0，2)内存在x1，使得(x1)m，在(2，)内存在x2me2，使得(x2)m，由(x)的单调性知，曲线y与ym恰有两个公共点综上所述，x0时，若0m，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点(3)方法一：可以证明.事实上，11(ba)(*)令(x)1(x0)，则(x)0(仅当x0时等号成立)(x)在0，)上单调递增，x0时，(x)(0)0.令xba，即得(*)式，结论得证方法二：(ba)eba(ba)2eba2设函数u(x)xexx2ex2(x0)，则u(x)exxex12ex，令h(x)u(x)，则h(x)exexxex2exxex0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增，当x0时，u(x)u(0)0，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令xba，则得(ba)eba(ba)2eba20，0，因此，.