数列求和地各种方法

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1、数列求和的方法教学目标1 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.教学内容知识梳理1. 求数列的前n项和的方法(1) 公式法等差数列的前n项和公式n aianSn =nai+ 皿丄 d.2等比数列的前n项和公式(I )当 q = 1 时,Sn = n a 1 ；(n )当q工1时,nSn=a1 anq常见的数列的前,22八2123n项和：12+n+n=3 ,1+3+5+2+(2n 1)=n(n3+n2n(n 1)2(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化

2、为几个等差、等比数列，再求解.(3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4) 倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5) 错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求an bn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列.(6) 并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an= (- 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn= 100 2 992 + 982 97 2 + +

3、22- 12 = (100 + 99) + (98 + 97) + (2 + 1) = 5 050.2. 常见的裂项公式1(1)-n n 112n + 1)；1 _ 1 1 nn1n2 2nn12. (2013 新课标全国n, 17)已知等差数列an的公差不为零，ai = 25 ,且ai, aii, ai3成等比数列(1) 求an的通项公式；(2) 求 ai + a4+ a7 + + a3n-2.变式训练i. (20i5 四川,6)设数列an(n = i , 2 , 3，)的前n项和Sn满足Sn= 2an ai，且ai , a2+ i , a3成等差 数列.(1) 求数列an的通项公式；i(2

4、) 设数列的前n项和为Tn,求Tn.an2. (20i4 福建,i7)在等比数列an中，a2 = 3 , a5 = 8i.(i)求 an；设bn = log 3an ,求数列bn的前n项和Sn.考点二错位相减法1.( 山东)已知数列an的前n项和Sn=3 n2+8n ,bn是等差数列，且anbnbn1.(I)求数列bn的通项公式；()令 &(a1)n 1n .求数列Cn的前n项和Tn.(bn 2)n2.(2015 天津，18)已知数列an满足an+2= qan(q为实数，且q 工1), n N*,ai= 1 ,a2 = 2，且a2 +a3,a3+ a4, a4 + a5成等差数列.(1) 求q

5、的值和an的通项公式；log 2a2n(2) 设bn =, n N *，求数列bn的前n项和.a2n 1变式训练1.(2014 江西，17)已知首项都是 1 的两个数列an, bn (bn 工0 , n N*)满足 anbn+ 1 - an +1 b n + 2bn+ ibn=0.an(1)令Cn=，求数列Cn的通项公式；bn若bn = 3n-1，求数列an的前n项和Sn.2.(2014 四川，19)设等差数列an的公差为d，点(an, bn)在函数f(x)= 2x的图象上(n N*).(1)若a1 = - 2，点(a8, 4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn ；1an若a

6、1= J函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在X轴上的截距为2-花，求数列几的前n项和Tn.3. (2015 湖北，18)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知bi = ai, b2= 2，q = d , Sio = 100.(1) 求数列an, bn的通项公式；an(2) 当d1时，记Cn =，求数列Cn的前n项和Tn.bn4 . (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn已知2Sn = 3n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列bn满足anbn = log 3an，求bn的前n项和Tn.1115.(2015 浙江,17)已知数列a

7、n和bn满足 a1 = 2, b1 = 1 , an +1 = 2an(n N *), b1+ b2 + 匕彳+一bn23n=bn+1 1(n N *).(1)求 an 与 bn；记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.6.(2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 ai= 1, a2= 2，且 an + 2= 3Sn Sn+1 + 3, n N*.(1)证明：an+2 = 3an ；求Sn.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2 = 4 , a4 + a7 = 15.(1) 求数列an的通项公式；a 2(2) 设 bn = 2 n + n,求

8、 b1 + b2 + b3 + + b10 的值.n2 + n2. (2014 湖南，16)已知数列an的前n项和Sn =, n N*.2(1)求数列an的通项公式；设bn = 2an + (- 1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1.（2014 北京,15）已知an是等差数列，满足ai = 3, a4 = 12，数列bn满足 bi = 4, b4 = 20，且 bn an为等比数列.(1) 求数列an和bn的通项公式; 求数列bn的前n项和.考点四裂项相消法1. (2015 新课标全国I, 17) Sn为数列an的前n项和.已知an0 , a2 + 2an = 4Sn+ 3.(1)

9、求an的通项公式；1(2) 设bn =，求数列bn的前n项和.aan +1a2= 9a2a6.8.2.(2011 新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2ai + 3a2= 1 ,(1)求数列an的通项公式;1设bn = log 3a1 + log 3a2 + + log 3an,求数列 的前n项和.bn3. (2015 安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a a4= 9, a2a3(1)求数列an的通项公式;an+1设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.SnSn+1变式训练1. (2013 江西，16)正项数列an满足：a2 (2n 1)an 2n

10、= 0.(1)求数列an的通项公式an；1令bn =，求数列bn的前n项和Tn.(n + 1) an2. (2013 大纲全国，17)等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9.(1)求an的通项公式；1设bn =，求数列bn的前n项和Sn.nan13.在数列an中，a1= 1，当n 2时，其前n项和Sn满足S2= an Sn；(1)求Sn的表达式；Sn设bn =，求bn的前n项和Tn.2n + 1考点五倒序相加法11122 014已知函数 f(x)=斗(x C R). (1)证明：f(x)+ f(1 -x) = ；若 S= f(2)+ f(2)+ + f(贡)，则变式训练4x122 0

11、141. 设 f(x)=市，若 S= f(亦)+ f (亦)+ + f(亦)，则 S=考点六并项求和1. (2012 新课标,16)数列an满足 an +1 + ( 1)nan = 2n 1，则an的前 60 项和为2. (2014 山东，19)在等差数列an中，已知公差 d = 2 , a2是ai与a4的等比中项(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn = an n i，记 Tn =一 b 1 + b2 b3+ b4+ ( 1)nbn，求 Tn.2变式训练1.(2014 山东理,19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列an的通项公

12、式；4n(2) 令b n = ( 1) n 1，求数列b n的前n项和Tn.aan+112. （2013 湖南，15）设Sn为数列仙的前n项和，盼（-1）nan-刁，nN*，则:(1) a3 =(2) Si + S2 + Sioo =考点七 数列| an|的前n项和问题11.（2011 北京 11）在等比数列an中，若ai = 2,a4= 4，则公比 q =|ai| + | + |an| =变式训练1.（2013 浙江，19）在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1,2a2+ 2 ,5a3成等比数列.（1）求 d , an；若 d v0,求 |a1| + |a2| + |a3| +

13、 + |an|.考点八周期数列项都等于它的前1. 已知数列2 008,2 009,1, - 2 008 , - 2 009，这个数列的特点是从第二项起，每后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A. 2 008 B. 2 010 C. 1 D . 0变式训练n n1.(2012 福建数列an的通项公式an = ncosy，其前n项和为Sn,则S2 012等于(A.1 006B.2 012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1 . (2014 新课标全国n, 17)已知数列an满足a1= 1, an+1 = 3a“ + 1.1(1) 证明an + 是等比数列，并求an的

14、通项公式；111 3(2) 证明一+ + a1 a2an 212. (2015 浙江，20)已知数列an满足 a1 = ；且 an+1 = an a2(n N*).an(1) 证明：1 2(n N*)；an+1r1Sn1*(2) 设数列a的前 n项和为 Sn，证明：60 n + 800 ?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.2 . (2013 广东，19)设数列an的前n项和为Sn已知ai= 1,(1) 求a2的值；(2) 求数列an的通项公式；1117(3) 证明：对一切正整数 n,有一+ + + .a1 a2an 432Sn12T=an+1 -3n2 -n3，n c NSn(n N*

15、)，且2S2, S3, 4S4 成等差数列3. (2013 天津，19)已知首项为；的等比数列an的前n项和为(1)求数列an的通项公式；113*证明 Sn+1时，记Cn=，求数列cn的前n项和Tnbn10a1 + 45d = 100 ,解(1)由题意有，a1d = 2,2a1 + 9d = 20 , 即a1d = 2,a1 = 9, a1 = 1 ,解得或 2d = 2 d =一.91 an = 7 (2n + 79 ),an = 2 n 1 ,9故或bn = 2n12 n 1bn = 9 9.2n 1由 d1，知 an = 2n 1 , bn= 2n 1,故 Cn=，于是2n 1+ 2 +

16、 22 + 23+ 24 +2 n- 1，2n 3 2n 12Tn = 2 +灵+屋+产+長+ h + h可得1 2n 1 2n + 32T二=_+ +2+尹+产2n + 34 . (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn已知2Sn = 3n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列bn满足anbn = log 3an，求bn的前n项和Tn.解因为2Sn = 3n + 3 ,所以 2a1 = 3 + 3，故 a1 = 3,当 n 1 时，2Sn 1 = 3n 1 + 3,此时 2an = 2Sn 2Sn 1 = 3n 3n 1 = 2 X3n1，即 an= 3n 1,3, n=

17、 1,所以an=“3n 1, n 1.1 因为 anbn = log 3an，所以 b1=,3当 n 1 时，bn = 31 nlog 33n1= (n 1) 31 n.1所以T1 = b1 =31当 n 1 时，Tn = b1 + b2 + b3+-+ bn = _+ (1 X3 1 + 2 X3 2 + + (n 1) X31 n),3所以 3Tn = 1 + (1 X30 + 2 X3 1 + (n 1) X32 n),2两式相减，得 2Tn = _+ (30+ 3 1 + 3 2+-+ 32n) (n 1) X31 n1 31 n(n 1) X31366n + 32 X3n136n+

18、3所以秒打3经检验，n = 1时也适合.13综上可得Tn =初-6n + 34 X3n记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解 由 ai = 2, an +1 = 2an，得 an = 2n(n N*).由题意知：当 n = 1 时，bi = b2- 1，故 b2= 2.1当 n 2 时，bn= bn +1-bn，整理得nbn +1bn= ，所以 bn= n(n N*).n + 1 n(2)由(1)知anbn = n 2n.因此 Tn = 2 + 2 22 + 3 23+ n 2n,2Tn= 22 + 2 23 + 3 24 + + n 2n +1,所以 Tn 2Tn= 2 + 22+ 23

19、+ 2n n 2n+ 1.故 Tn = (n 1)2 n+1 + 2(n N*).6.(2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1 = 1, a2 = 2，且 an + 2 = 3Sn Sn+1 + 3, n N .(1)证明：an+2 = 3an ；求Sn.(1)证明由条件，对任意 n N*，有an+ 2 = 3Sn Sn +1 + 3,因而对任意 n N , n2,有 an + 1 = 3Sn-1 Sn+ 3.两式相减，得 an+2 an+1 = 3an an+1，即 an+2 = 3an, n2.又 a1 = 1 , a2= 2，所以 a3 = 3S1 S2 +

20、3 = 3a1 (a1 + a2) + 3 = 3a1,故对一切 n N*, an+2 = 3an.an+2an解 由(1)知，an0,所以 =3.于是数列a2n1是首项a1 = 1，公比为3等比数列；数列a2n是首项 a2= 2,公比为3的等比数列因此a2n-1 = 3n 1, a2n = 2X3n1.于是 S2n = ai + a2+ a2n=(ai + a3+ a2n -1) + (a2 + a4 + + a2n)=(1 + 3 + 3n T) + 2(1 + 3 + + 3n1)3 (3n1)=3(1 + 3 + + 3n1)=23 (3n 1)从而 S2n 1 = S2n a2 n=

21、 2 X3n 123=2(5 X3n21).3n 32 （5 X3厂1），当n是奇数, 综上所述，Sn =3 n2 （3； 1），当 n是偶数.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2 = 4 , a4 + a7 = 15.(1) 求数列an的通项公式；a 2(2) 设 bn = 2 n + n,求 b1 + b2 + b3 + + b10 的值.解(1)设等差数列an的公差为d,a1 + d = 4,由已知得 (a1 + 3d) + ( a1 + 6d)= 15 ,a1 = 3,解得d = 1.所以 an= a 1 + (n 1) d = n + 2.由(1)可得

22、bn= 2n+ n,所以 b1 + b2+ b3 + + b10 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) + (210 + 10)=(2 + 22 + 23+ 210)+ (1 + 2 + 3 + 10)2 (1 210)(1 + 10 )X10+1 2 2=(2 11 2) + 55=211 + 53 = 2 101.n2 + n2. (2014 湖南，16)已知数列an的前n项和Sn =, n N*.2(1) 求数列an的通项公式；设bn = 2an + ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 1 ；n2 + n (n

23、 1) 2+( n 1) 当 n2 时，an = Sn Sn 1 = n.2 2故数列an的通项公式为an=n.(2) 由(1)知，bn = 2n+ ( 1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n = (21 + 22 + + 22n) + ( 1 + 2 3 + 4+ 2n).记 A = 21 + 22+- + 22n, B= 1 + 2 3 + 4 + 2n ,贝U2 (1 22n) A = 22n + 1 2,1 2B= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A + B= 22n +1+ n

24、2.变式训练1. (2014 北京，15)已知an是等差数列，满足a1 = 3, a4 = 12，数列bn满足 b1 = 4, b4 = 20 ,且bn a为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；求数列bn的前n项和.a4 a i 12 3解(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=丁= 丁=3.所以 an= ai + (n- 1)d = 3n(n = 1 , 2，).设等比数列bn an的公比为q，由题意得b4 a420 12q3 = 8，解得 q = 2.bi ai4 3所以 bn an = (bi ai)qn 1 = 2n 1.从而 bn = 3n + 2n 1(n= 1 , 2

25、，).由知 bn=3n + 2n $ = 1 , 2，).31 2n数列3 n的前n项和为F(n + 1)，数列2n勺的前n项和为1 x = 2n 1.21 23所以，数列bn的前n项和为n(n +1) + 2n 1.考点四裂项相消法1. (2015 新课标全国I, 17) Sn为数列an的前n项和.已知an0 , a2 + 2an = 4Sn+ 3.(1) 求an的通项公式；1(2) 设bn =，求数列bn的前n项和.anan +1解 (1)由 a2 + 2 an = 4 Sn + 3,可知 a2 + 1 + 2 an+1 = 4Sn +1 + 3.可得 a2 + 1 a2 + 2(an+

26、1 an) = 4an + 1 , 即2( an+1 + a.) = a2 +1 a2= (an +1 + an )(a n+1 an).由于 an0，可得 an+1 an = 2.又 a2+ 2a1 = 4a1 + 3 ,解得 ai = 1(舍去),ai= 3.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an = 2n + 1.由an=2n +1可知1(2n + 1)(2n+3)bn =an an+ 11 1 12 2n+ 12n + 3设数列bn的前n项和为Tn,则Tn = b1 + b2+ bn1 12n + 12n + 33 ( 2n + 3)a3= 9a2a6.2. （2011

27、 新课标全国，17）等比数列an的各项均为正数，且2a1 + 3a2= 1 ,（1）求数列an的通项公式;1设bn = log 3a1 + log 3a2 + + log 3an,求数列 的前n项和. bn解（1）设数列an的公比为q.由 a由条件可知q0,故q = 3.由 2a1 + 3a2 = 1 得 2a1 + 3a1 q = 1 , 1所以a1 = ： = 9a2a6，得 a3 = 9a2,1所以q2=91故数列an的通项公式为an= .3 n(2) bn = log 3ai + log 3a2+ log 3an=(1 + 2 + + n)n (n + 1)= 21211故 =_ 2(

28、 _),bnn (n +1 )nn + 11 11111+ + +一 _2 1 _+ .+b1 b2bn2231 12nn n + 1n + 112n所以数列的前n项和为一bnn +13. (2015 安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且ai + a4= 9, a2a3 = 8.(1)求数列an的通项公式；an + 1 设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.SnSn+1解 (1)由题设知a1 a4= a2 a3 = 8.a1 = 1, a1 = 8 ,又a1 + a4= 9可解得或(舍去).a4= 8a4= 1由 a4 = a1q3 得公比 q = 2，故 an

29、 = a1qn 1 = 2n_ 1a1 (1 qn) Sn=厂=2n- 1，又bn =an +1SnSn + 1Sn + 1 Sn 1SnSn+1Sn1Sn+ 11 1 1=1 S1Sn+ 12n + 1 11111 11所以 Tn = b1 + b2 + + bn= S1 - S2 + 匸 S3 + sn -家变式训练1. (2013 江西,16)正项数列an满足：a1n= 1 = n+12 ( n+ 1)2. (2013 大纲全国,17)等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9.(1)求an的通项公式;1设bn =，求数列bn的前n项和Sn.nan解(1)设等差数列an的公差为d，

30、则an = a1 + (n 1)d . (2n 1)an 2n = 0.(1)求数列an的通项公式an；1令bn =，求数列bn的前n项和Tn.(n + 1) an解(1)由 a2 (2 n 1) an 2n = 0,得(an 2n )(a n+ 1) = 0.由于an是正项数列，所以 an= 2n.1由 an= 2n，bn= ( n+ 1) an1贝y bn =2n (n + 1)1 1 1 1 11112 1 2 + 2 3 + + L + n+a7= 4,ai + 6d = 4,得ai9 = 2a9,ai + 18 d = 2 (ai + 8d),1解得 ai = 1 , d =an的通

31、项公式为an =2n (n+ 1)1(2) Tb n =nan2222222n Sn=_ + _ +=1223nn +1 n +113.在数列an中，a1= 1，当n 2时，其前n项和Sn满足S= an Sn?(1) 求Sn的表达式；Sn(2) 设bn =，求bn的前n项和Tn.2n + 1答案(1 ) n 2,an Sn Sn 1可求得Sn2n 1n2n 1考点五倒序相加法1 11.已知函数 f(x)=(x R).证明：f(x) + f(1 x)= ;4%+ 22变式训练S=4x122 0141.设f(x)=兀，若S=f(亦)+f(砧)+f(砧)，则考点六并项求和1. (2012 新课标,1

32、6)数列an满足 an+1 + ( 1)nan = 2n 1，则an的前 60 项和为.理科解析 当 n = 2k 时，a2k+1 + a2k = 4k一 1，当 n = 2k一 1 时，a2k一 a2k 1 = 4k一3,.a2k+1 + a2k 1 = 2， -a2k+3 + a2k+1 = 2， -a2k 1 = a2k+ 3， -a1 = as = = a61. 心1 + a2 + a3 + +30 x(3+ 119 )a60 = (a2 + a3)+ (a4+ as)+ (a60 + a61)= 3 + 7 + 11 + (2 X60 1)=30 X61 = 1 830.答案 1 8

33、30文科解析Tan+1 + ( 1)nan = 2n 1 ,a2= 1 + ai, a3 = 2 ai, a4 = 7 ai , a5= ai,a69 + a 1, a72 a1, a 815 a1, a9 a1,a10 = 17 + a1 , an = 2 a1, a12 = 23 a1，,a57 = a1, a58 = 113 + a1, a59 = 2 a1, a60 = 119 a 1,/a1 + a2+ a60 = (a1 + a2+ a3 + a4)+ (a5 + a6 + a7+ a8)+ + (a57 + a58 + a59 + a6o)15 X(10 + 234 )=10 +

34、 26 + 42 + 234 = 1 830.2答案 D2. (2014 山东，19)在等差数列an中，已知公差 d = 2 , a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn = ann 1，记 Tn = b 1 + b2 b3 + b4 + ( 1)nbn，求 Tn.2解 (1)由题意知(a1 + d)2 = a1(a1 + 3d),即(a1 + 2)2 = a1(a1 + 6),解得a1 = 2.所以数列an的通项公式为an= 2n.n (n+ 1)由题意知b n = a= n(n +1).2所以 Tn = 1 X2 + 2X3 3 X4 + + ( 1)nn

35、 x(n +1).因为 bn +1 bn = 2( n + 1),可得当n为偶数时，Tn= ( b1 + b2)+ ( b3 + b4) + + ( bn 1 + bn)=4 + 8 +12 + + 2nn(4 + 2n)22n (n + 2)当n为奇数时,Tn= Tn - 2 n(n + 1)(n +1) 2 + ( bn)(n+ 1) 2n为偶数.所以Tn =n (n + 2)(n 1)( n + 1)变式训练1.（2014 山东理，19）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；4n令bn= ( 1)n 1，求数列bn的前n项和

36、Tn.an an + 1解 （1）因为S1 = a1，2 X1S2 二 2a1+TX2 二2a1+，4 X3S4 = 4a1 +X2 = 4a1 + 12，2由题意得(2a1 + 2)2= a1 (4a1 + 12)，解得 ai = 1，所以 an= 2n 1.4n bn = ( 1)n 1 anan+1=(1)n14n(2n 1)(2n + 1)=(1)n12n 1 + 2n + 1当n为偶数时,111Tn = 1 + 一 -+ +3351 111十-十2n 3 2n 12n 12n + 11 2n=1 =2n + 1 2n + 1当n为奇数时，11 1Tn = 1 +-一+一3 5+1 1

37、11十2n 3 2n -1 +2n 十-1 2n + 11 2n + 2=1 + =2n + 1 2n + 1所以Tn =2n + 22n + 1n为奇数,2n2n + 1n为偶数.2n + 1 +( 1 ) nT 或Tn =2n + 11(1)nan ，n N*，则:2. （2013 湖南,15）设Sn为数列 仙的前n项和，Sn(1) a3 =；(2) S1 + S2 + S100 =1解析 (1) TSn= ( 1) nan 2.a1 + a2 + a3 =1-a3-8,a1 + a2 + a3 + a4 a4 16-a1 + a2 + a3 由知a3-和 VSn ( 1)nan 2nSn

38、 + 1an + 1 当n为奇数时,an2n1两式相减得 an +1 an +1 + an+ 2，二anSn + 1 =一 an + 1 一2n + 1当n为偶数时,Sna n2n两式相减得an + 1 =一 an + 1 一 an即an =1 1- 2an +1 + 2n+12 n，故an =+ 1,n为奇数,n为偶数. Sn =S1 + S2+ S100 =1，门为奇数，0,n为偶数.11 一_41 12100 答案考点七 数列| an |的前n项和问题；a1| + |a2| + + |an| =11-（2011 北京门）在等比数列an中，若a1=2，a4=-4，则公比q=a41解析jq3

39、= 8，.q = 2，贝H an =_x（-2）叶1，a121(1 2n)1 2 1|a2|+ |a3| + |an| = _+ 1 + 2 + + 2n2 = 2n勺一一.2 1 2 21答案22n 1 -2变式训练1.(2013 浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1, 2a2+ 2 , 5a3成等比数列(1) 求 d , an；若 d v0,求 |a1| + |a2| + |a3| + + |an|.解 (1)由题意得 5a3 a1 = (2a2 + 2)2,即 d2 3d 4 = 0.故 d = 1 或 d = 4,an= n + 11 , n N *或 an

40、 = 4n + 6 , n N*.设数列an的前n项和为Sn ,d v 0,由(1)得 d = 1 , an = n +11，则当 n 12时，1 21|a1|+ |a2|+ |a3| + + |an| = Sn+ 2S11 =；n2；n + 110 ,综上所述：|a1| + |a2| + |a3| + + |an|1 21-2n2+7n，n1 212n2 - 7n+110，n 12.考点八周期数列项都等于它的前1.已知数列2 008,2 009,1, - 2 008 , - 2 009，这个数列的特点是从第二项起，每后两项之和，则这个数列的前2 014项之和9 014等于()A. 2 008 B. 2 010 C. 1 D . 0