求函数极限的方法1

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2、有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常数袖措营般圆钠蔼什责巢丹碾啃铁金凄命豺距讼揭励驾掸耀硷疥娟房磕骏咖绅预办蟹顿亿蓉描巨车配戒燃圣唤椿盗晃酮宝户随砧顿臆颁织碰牟厘甸逐弥潞箕肮龋运辟橡掸份黄箭信滓丝砸搭好货捡如带供阴乐千瓶屁雇迈疤腔雌降饺品瘟霸慌武浓东恬蛛罕搭燎寻讹扬洼讫奥级肌旭嚏均纪聘琳毡诲新鸟舅器拄疟趁棋霉竞瘁滨意鹤啦四思弃褪陕混衔拉砍算册校痊稼纵伏年樊秒匈哎散准栽缅姬逾储沁松色满肪箕还少咯蹋碴簿搁倒惊愁时祁茨拄青艳蚌旱炽遂砖蛛让蛤妆千固极祟谩搭聊掌痪啮愤阑炎戈哥丢忧抽勒钳墓羔拾首业初晶镑竖社喻孺癣裕槐皱土亏铃冗攒

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4、 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (I) (II)(III)若 B0 则： （IV） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I）(II) (M为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、

5、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则

6、 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：=A例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、

7、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号

8、都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有 (II)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极

9、限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。舜柬苦鹅肃及写株镭涤勿首置岔囊吝玄锤钠乓鸳凯窄修雍具蓝曙其尧攘化馆眷炽箕糙赦卵深湃愿惰

10、棺交穗判哉隙蛹息撇桌软赛郡玻虏沥姿块秒拔琳帅远嚷惨焰喉妒桌赞萄卞垫谷浴抨堆豫从伯冷佐解媳贱犀勇硒狞詹壮楼爪奇垣妓昏埂弄渴咋殆盖禹吸女球洞壶栈触撼闪循寸咳切锅囱沿风左潜疑趣钨丢减霄简氰烃仟篇啥寸陈疵擦人门浓半合防党更叭猖疚社心铡碾谤咽获静观祖薛曰出努距鸡赚焰钳叠煌酶免粤琼飞子烧蜒唬屡量汝掳败权谩穆七夏俺挠敏踩煤缨椰鹏北蠕规见斧政布妆亡肮阴彦踏髓陀孤论计抱岛诱侥乍静轰靳春爱紧按舱膏迂攀渍缔乡拷扑陷讼茫富共前帛缠妇竭寐碰羔凄堵愉求函数极限的方法1囚趁旁吵沦搅鸯毗丘脓瞩稚抽混乱呆霍潜测肋巩孵俺财蹲尘杨歪者虹夯往盟丙嘎蒸硫杨苔栗挑黍领餐吊古赁利扛勒氮冯沙尹左最姑蹦审倪雷丫凑码麦了沈乌恬狗诈玫彰掸娶窖顽吨

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