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1、特殊的平行四边形（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系 【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2. 矩形的对角线相等；3. 矩形的四个角都是直角；4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一
2、条对角线平分一组对角；3. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等2. 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形， 两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定 矩形的判定：1.有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判 定平行四边形是矩形.菱形的判定：1.四条边相等的四边形是菱形.2. 对角线互相垂直的平行四边
3、形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形2. 有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1 )顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形(2 )顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形(3 )顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成(1) 若
4、原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形(2) 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形(3) 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形【典型例题】类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 0, / A0D= 120 , AB= 4cm，则矩 形对角线AC长为cm .【解析】解： 四边形ABCD是矩形， AO = BO/ A08 120,. / A0B= 60.又 AO = B0, A0B是等边三角形，AC = 2A0= 2AB= 8 cm .【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用.2、已知：
5、平行四边形 ABCD中, E、F分别是AB、CD的中点，连结 AF、CE.(1) 求证： BECA DFA(2) 连接AC,若CA= CB判断四边形 AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：(1)v四边形ABCD是平行四边形， AB= CD,/ B=Z D, BC= AD. / E、F分别是AB CD的中点，11 BE= AB, DF= CD.22 BE= DF. BECA DFA.（2）四边形AECF是矩形.四边形ABCD是平行四边形， AB/ CD 且 AB= CD./ E、F分别是AB CD的中点，11 BE= _ AB, DF= - CD.22 AE/ CF 且
6、AE= CF.四边形AECF是平行四边形./ CA= CB E是AB的中点， CEL AB 即/ AEC= 90. 四边形AECF是矩形.【总结升华】 要证明 BEC和厶DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形 AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三:【变式】如图，在 ABC中，AB= AC, D为BC中点，四边形 ABDE是平行四边形 求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：四边形 ABDE是平行四边形， AE/ BC, AB= DE, AE= BD/ D为BC的中点， CD= BD CD/ AE, CD= AE四边
7、形ADCE是平行四边形/ AB= AC AC= DE平行四边形ADCE是矩形.类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，在菱形 ABCD中, AC= 8, BD= 10 . 求：（1）AB的长.（2）菱形ABCD勺面积.【答案与解析】解：四边形ABCD是菱形.11 AC 丄 BD, AO= _ AC, OB= BD.22又 AC = 8, BD= 10 .11AO = X 8= 4, OB= X 10= 5.22在 Rt ABO中，AB2 OA2 OB2AB2425241 , AB .41 .（2） 由菱形的性质可知：1 1S菱形 abcdAC g BD 2 8 10 40 .【总结升华】（1）由
8、菱形的性质及勾股定理求出AB的长.（2）根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算.举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6和8,则菱形的边长为.解：设该菱形为 ABCD对角线相交于 O, AC= 8, BD= 6, 由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分，11AO AC 4, BO BD 3,22AB , AO2OB25 .C4、如图所示，在 ABC中，CD是/ ACB的平分线，DE/ AC DF/ BC,四边形DECF是 菱形吗？试说明理由.【思路点拨】 由菱形的定义去判定图形，由DE / AC , DF / BC知四边形DECF是平行四边形，再由/ 1 = / 2 = / 3得到邻边
9、相等即可.【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：/ DE / AC, DF/ BC 四边形DECF是平行四边形./ CD 平分/ ACB / 1 = Z 2/ DF / BC, / 2 =Z 3, / 1 = Z 3. CF = DF, 四边形DECF是菱形.【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形,再由一对邻边相等来判定它是菱形.类型三、正方形的性质和判定5、如图，在一正方形 ABCD中. E为对角线AC上一点，连接 EB ED,(1) 求证： BEC DEC;(2) 延长BE交AD于点F,若/ DEB= 140.求/ AFE的度数.C蛊【
10、思路点拨】 先由正方形的性质得出 CD=CBZ DCAM BCA根据 SAS证出 BECA DEC 再由全等三角形的对应角相等得出/ DECM BEC=70，然后根据对顶角相等求出/ AEF根 据正方形的性质求出/ DAC最后根据三角形的内角和定理即可求出/ AFE 的度数.【答案与解析】(1) 证明：四边形 ABCD是正方形， CD= CB M DCA=M BCA/ CE= CE BECA DEC(2) 解:DEB= 140 ,/ BECA DEC M DEC=M BEC= 70 , M AEF=M BEC= 70 ,M DAB= 90 , M DAC=M BAC= 45 , M AFE=
11、180 70 45= 65.答：M AFE的度数是65.【总结升华】 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键举一反三：【变式】已知：如图，E为正方形ABCD勺边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且 CE=CF,连接 DE BF.求证：DE= BF.【答案】证明：四边形 ABCD是正方形, BC= DC, / BCD= 90 E为BC延长线上的点, / DC匡 90,/ BCD=Z DCE 在厶BCF和厶DCE中，BC DCBCF DCE，CF CE BCFA DCE( SAS , BF=
12、DE6、如图所示，在 Rt ABC中，/ C= 90。，/ BAC / ABC的平分线相交于点 D,且DE丄BC于点E, DF丄AC于点F,那么四边形 CEDF是正方形吗？请说明理由.【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DGL AB于点G./ AD 平分/ BAC DF丄AC, DGLAB, DF = DG同理可得：DG DE DF = DE/ DF 丄 AC, DEL BC, / C= 90, 四边形CEDF是矩形.DF = DE四边形CEDF是正方形.【总结升华】（1）本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形.（2）证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等+1个直角或四个角都是直角来证明正方形.此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更 好
特殊的平行四边形(基础)知识讲解
