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1、2018届湖南省郴州市一中高三一月月考理科数学（解析版）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合研究的是函数的定义域和不等式的解集，故，即.集合研究的的是函数的值域，即，故.2. 已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】，故，故在第三象限.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】，故
2、或，故是充分不必要条件.4. 九章算术一书中，第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，直角三角形，斜边长为，由等面积可得内切圆半径则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率是故选5. 将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数图像的一条
3、对称轴方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】左移得到.对称轴即函数取得最大值或最小值的位置，代入选项得到，故选.6. 如图所示，在中，点是线段的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，且，点是线段的中点，则由向量加法法则：故选点睛：本题考查了向量的综合运用，要求向量的点乘运算，先求出各边长，本题较为困难的在于向量之间的转换，另一种方法，可以建立平面直角坐标系，给出各点坐标，即可计算出结果7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. “直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的充分不必要条件D. 若，则【答案】
4、D【解析】对A，符合条件的直线可能，故不正确；对B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对C, 直线与平面内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.8. 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为480，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】执行一次，执行第2次，执行第3次，执行第4次，执行第5次，执行第6次，执行第7次，跳出循环，因此判断框应填，故选B.9. 已知函数的图像与函数的图像关于对称，若，则（ ）A. -2 B. 2 C. -3 D. 3【答案】D【解析】由，解得，故，
5、根据已知，即，代入选项验证可知.【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查两个函数相等的知识.由于函数图像与图像关于对称，故两个函数互为反函数.先由的表达式，解出的值，然后交换的位置，即求得反函数的表达式.再利用题目给的等式，就可就得的值.10. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 16 D. 【答案】A所以选A。11. 已知函数 ，则关于的方程在上的根的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D【解析】.当，；当时，.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知交点个数为个，也即原方程的根有个.【点睛】本题主要考
6、查分段函数的性质和求解分段函数的表达式，考查零点问题、根的问题的处理方法.由于分段函数已知的是上的表达式，故在上的表达式要求解出来，根据题目所给抽象函数表达式，将定义域分成，两段，分别求解它们的表达式.12. 已知双曲线与直线交于，其中，若点满足（其中为坐标原点），且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，联立方程，解得即，则渐近线方程为故选点睛：本题考查了双曲线与直线的综合题目，依据条件给出点坐标，利用角度转化为直线斜率问题，从而求出关系，计算出双曲线的渐近线方程，计算较大，需要转化，难度较大。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆
7、的长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为_【答案】【解析】由题意长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上得解得，所以椭圆的标准方程为14. 的展开式中，含项的系数为_【答案】-1080【解析】，依题意是，在中是，故系数为.15. 已知实数满足，则的取值范围为_【答案】【解析】题目所求表示可行域内的点和点连线的斜率.画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数的取值范围为，即.16. 已知的内角的对边分别为，若，且，则当的面积取最大值时，_【答案】【解析】由正弦定理得，故.故当三角形为等边三角形面积取得最大值，即. 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知
8、数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【试题分析】（1）对已知两边平方后，利用，可求得的通项公式.（2）由于是由一个等差数列乘以一个等比数列构成，故利用错位相减法求其前项和.【试题解析】（1）因为，故，当时，当时，又，两式相减得： ，由，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2）， ； ；-得 ，.18. 已知三棱锥如图所示，其中，二面角的大小为.（1）证明：；（2）若为线段的中点，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】【试题分析】（1）由于，根据面面垂直的性质定理可知2平面，进而得到.（2）
9、设，利用求出，由此在点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，来求得二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：因为二面角的大小为，故平面平面，又平面平面，故，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设，则.由（1）可知，因为，所以.因为，所以，所以，.解得，故，.如图所示，建立空间直角坐标系，则，所以，.由（1）知平面的法向量.设平面的法向量，由，得.令，得，所以.所以.由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.19. 在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示：（1）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数；（2）
10、若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成绩超过80分的概率；（3）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取4名学生，记测试成绩在80分以上（含80分）的人数为，求的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）根据茎叶图的知识和数据填写好，并分别求两校测试成绩的平均数；（2）至少人有两种情况：人或人，利用超几何分布的计算公式可求得至少人成绩超过的概率.（3）分以上的概率为，利用二项分布的计算公式可求得的分布列及期望.【试题解析】（1）茎叶图如下所示：故甲学校学生成绩的平均数为，乙学校学生
11、成绩的平均数为 ；（2）记至少2人成绩超过80分为事件，则；（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，则， ，；故的分布列为.20. 已知抛物线的焦点为.（1）若抛物线的焦点到准线的距离为4，直线，求直线截抛物线所得的弦长；（2）过点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线的切线，两切线相交于点，若分别表示直线与直线的斜率，且，求的值.【答案】（1）10;（2）或.【解析】试题分析：联立直线与抛物线方程即可求出直线截抛物线所得的弦长(2) 设，联立直线与抛物线方程，求得过点的切线方程分别为，再次联立解得的坐标为，计算出的数量关系，结合，求的值解析：（1）依题意，注意到直线过抛物线的焦点，联立，解
12、得；由抛物线定义可知，所求弦长为；（2）设，易知，联立，消去得，由得，过点的切线方程分别为，联立得点的坐标为，所以，或；所以直线的斜率为或.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）探究：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为;（2）.【解析】【试题分析】（1）求导后令导数为零，求出极值点并写出单调区间.（2）由（1）知函数的最小值为，构造函数，利用导数可求得的最大值为零，故，当且仅当时取等号，又，从而得到.【试题解析】（1）依题意，令，解得，故，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；故函数的单调减区间为，单调增区
13、间为（2），其中，由题意知在上恒成立，由（1）可知， ，记，则，令，得.当变化时，的变化情况列表如下：，故，当且仅当时取等号，又，从而得到.【点睛】本题主要考查导数与极值点的问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题的方法.在对一个函数求导之前，务必记住要先求函数的定义域，一定要在定义域内求函数的单调区间.不等式恒成立问题，往往通过分离常数法或者构造函数法，利用导数求单调区间和最值来求.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；直线与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平
14、面直角坐标系.（1）求曲线的参数方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（为参数）;（2）.【解析】试题分析：先将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标系内的方程，然后再给出参数方程(2)在极坐标的运算下求得的值，再表示出的表达式，从而计算出最值情况解析：（1）因为，故，因为，故所求方程为，故曲线的参数方程为（为参数）（2）联立和，得，设、，则 ，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为.点睛：本题考查的知识点由简单曲线的极坐标方程，参数方程的求法，直线与圆的位置关系。考查了极地坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互换，将问题转化为直角坐标系下的解析几何问题进行求解。23. 选修4-5：不等式选讲设函数，.（1）当时，解不等式；（2）当时，证明：.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】【试题分析】（1）当时，利用绝对值不等式的解法：小于在中间，可求得的解集.（2）化简原不等式得.利用绝对值不等式可将上式左边的绝对值去掉，然后利用二次函数配方法来证得最大值为.【试题解析】 (1)依题意， ，因为，故所求不等式的解集为；（2）证明：要证：，即证：，即证：，即证：，因为 ，所以 ，当且时取“”，故命题成立.
2018届湖南省郴州市一中高三一月月考理科数学（解析版）
