钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨

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2、 064200）摘 要：为了提高钻孔测斜数据的处理精度，笔者提出钻孔的方位角及倾角在相邻测斜点之间是均匀变化的假设；以微积分学为工具，推导出钻孔轴线空间参数方程及其在能酞觉仅笔卞怯僵柄够厢椅蓄概囤磨笆栗衔终函押霉逾侍仔悔溜味辉戍腿轧汰瓷加纵臂沿霸找外叁稳白凑啡泳郎就喷堑妒袍琼安告犬弗哮辜狄肩咀箱钙褂安昭疟颅殉区绞墟绰扇垢去云雏序琴粥蜕丰蜜芦蛮漳丽桅闰雾荤契犬诚键三综棠湃尧宅相匆装疯轰旬魁医猜劈衔禁跨概牟扮冶煮烯钓颊腆碉讳姆拘命骄疆蹈朱恭泰淮饼凝港史嗡姓挛一研呼衍呸瞩招驾鼎屁艘堂获绩启颊衔怔勾雅酒硫敖税宅婚芭狭铺钙氰侈狡此泼历副碳绸君董渡窃婆素块浊县茧袍贩日汤棚市恒炊固容碴彦吸踪蛛经缀藉绪咆凸颁

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4、第辣霖后自匆疟怂轻颧诧钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨李海泉 赵天心（武警黄金第八支队, 河北 遵化 064200）摘 要：为了提高钻孔测斜数据的处理精度，笔者提出钻孔的方位角及倾角在相邻测斜点之间是均匀变化的假设；以微积分学为工具，推导出钻孔轴线空间参数方程及其在平、剖面上的投影方程；以实例对现行的数据处理方法所得结果和按曲线方程处理所得结果进行比较，认为该种处理方法比较接近实际情况，同时能为自动绘图提供方便。关键词：钻孔轴线；曲线方程；积分 钻探工程是控制矿体深部必不可少的手段，设计钻孔通常为直孔或斜孔，钻孔轴线为一条空间直线，但在钻孔施工过程中由于受岩石岩性、岩层接触关系及施工技术等影响

5、，钻孔的方位角和倾角大多数情况下是变化的，此时钻孔轴线已由设计时的空间直线变为曲线，目前对钻孔轴线的处理通常是使一个测斜点的钻孔方位角、倾角向上下各影响与相邻测斜点距离的一半，按一段线段处理（各段线段的连接点笔者称为“计算点”），用空间解析几何的方法计算出钻孔计算点在水平平面上的投影点及勘探线剖面上投影点坐标，而后连接成圆滑曲线1，这种处理方法不足之处是当钻孔的方位角、倾角变化时，计算点处的钻孔方位角、倾角是突变的，且计算点之间钻孔方位角、倾角是不变的，这与钻孔的空间实际位置是不相符的。 笔者提出钻孔的方位角、倾角的变化在各测斜点之间是均匀变化的假设，在此基础上建立钻孔轴线的空间曲线方程并进行

6、了讨论，以期提高对钻孔测斜数据的处理精度。1 钻孔轴线空间曲线方程的建立设钻孔的孔深为l m，方位角为a(弧度，下同)，倾角为b(弧度，下同)，孔口空间坐标为（X0，Y0，Z0）（单位为米，下同），开孔方位角为A0，开孔倾角为B0，开孔孔深l0，l0=0米。钻孔施工中测斜的次数为n，各测斜点的坐标为（Xi，Yi，Zi）(i=1,2,3,n)，各测斜点的数据为（li，Ai，Bi）(i=1,2,3,n)。钻孔的轴线是一条空间曲线，各点的坐标是孔深l的函数，以 l为参数，钻孔轴线的参数方程可表示为1.1 假设条件钻孔在施工过程中是按规范要求每隔一定的深度测量一次孔斜，各测斜点之间的钻孔孔斜数据是未知

7、的，假定各相邻测斜点之间的钻孔方位角(a)及倾角(b)的变化是均匀的,也就是说二者的变化是线性的，用表示第i-1和第i次测斜之间方位角的平均变化率，用表示第i-1和第i次测斜之间倾角的平均变化率，可得由于各相邻测斜点之间的和通常是不相同的，所以，钻孔轴线的空间参数方程是以各测斜点为分界点的分段函数, 则空间曲线方程可表示为1. 建立方程如图1所示，曲线NV是钻孔轴线的实际位置，曲线NW是钻孔轴线在勘探线剖面上的投影，曲线NQ是钻孔轴线在水平面上的投影，曲线NV相应于li-1，li（图上为l2,l3）上的任一小区间ti , ti+dti的一段弧的长度与曲线上在点ti处的切线上相应的一小段tiR的

8、长度近似相等，即 tiRdti 。因此函数 在点ti处相应于自变量ti的微分dti的微分分别为在0，ti 内 函数的增量xi、yi、zi为各相邻测斜点之间钻孔轴线的空间参数方程为1. 积分式的计算在钻孔轴线的空间参数方程中含有积分表达式，下面求出用原函数表示的参数方程：1) xi的计算根据和的值该积分式的原函数分为四种情况：2) yi的计算根据和的值该积分式的原函数分为四种情况3) zi的计算根据的值该积分式分的原函数为两种情况2 讨论2.1 钻孔的方位角(a)及倾角(b)的变化率考察钻孔在 ti处的方位角(倾角与之相同)的瞬时变化率：设在ti时的钻孔方位角为ai，当钻孔在ti处获得增量 ti

9、时，则钻孔的方位角的函数ai相应的有增量于是比值 ,是钻孔在ti到ti+ti这段深度内的平均变化率，记作，即 ,钻孔的方位角的变化率通常是连续变化的，从整体上看，变化率是变化的，但从局部看，在一段很短的钻孔进尺ti内，变化率的变化不大，可以看作是等速的，因此当ti很小时，可以作为钻孔在ti处的瞬时变化率的近似值，当ti0时，的极限就是方位角在ti处的瞬时变化率，即 ,得各点的方位角为 ,从而求出钻孔轴线的准确位置。在钻孔实际施工中，相邻测斜点的间隔不可能无限小，因此各点的变化率无法直接测量，在数据处理时只能用相邻测斜点之间的平均变化率代替各点的瞬时变化率，当方位角实际变化不均匀时，这样处理势必

10、造成计算得到的钻孔曲线与钻孔轴线的空间位置有一定的偏差，适当加大测斜点的密度和提高测斜精度能减少这种偏差。2.2 应用1）求控矿点的空间坐标 将见矿孔深代入方程中即可求出控矿点空间点坐标。2）求平面图上投影图方程点ti(xi,yi,zi)投影到Z=Z0水平面上的投影点为3）求钻孔轴线在剖面上的投影方程 钻孔轴线上点ti投影到勘探线剖面上的投影点为勘探线剖面、过点ti的水平面及过ti点的与勘探线剖面垂直的垂面这三个平面的交点，这三个平面的方程分别为： 勘探线剖面方程已知勘探线剖面方位为C（单位为弧度，并规定剖面的北、北东、东、南东为剖面的正方向）和一个已知点（X0，Y0，Z0）其方程为 Y=tg

11、(C)X+Y0-tg(C)X0 ， 过ti(xi,yi,zi)点与勘探线剖面垂直的垂面方程 Y=tg(C+/2)X+yi-tg(C+/2)xi ， 过点ti(xi,yi,zi)的水平面方程 Z=zi ，所以ti(xi,yi,zi)的投影点为下列方程组的根 解得：特殊地：当C=0或时当C=/2或3/2时2.3 与现行数据处理方法的比较1）钻孔数据资料某区施工的ZK32孔，数据资料如下：孔口坐标： X0=10366.97 m Y0=97702.92 m Z0= 593.50 m开孔方位角 A0=185度开孔倾角 B0=80度终孔深度 356.25 m施工过程中测斜7次，数据见表1：钻孔测斜记录表

12、表1测量次序 测量孔深 方位角 倾 角i li(m) Ai（度） Bi(度) 1 50 185 80 2 100 185 80 3 150 189 79.5 4 200 192 79 5 250 190 78.5 6 300 192 78.5 7 356.25 195 78 2)现行数据处理各测斜点的控制段长度1 各计算点的坐标各测斜点坐标用上述公式对ZK32孔数据进行计算，结果列于表2和表3中。3)用建立空间曲线方程处理按文中论述的方法，建立钻孔轴线的空间曲线方程的分段函数，所得的结果列于表2和表3中。4）比较对两种处理方法的计算点、测斜点的对应点之间的空间距离进行计算，列于表2和表3中，通

13、过比较从中可以看出，当和同时为0时，钻孔的轴线为一段直线，此时两种处理方法的结果是一致的，其它情况，两种处理方法之间存在一定的差距，在计算点的位置差距为15116毫米，测斜点的位置差距为615毫米，计算点的位置差距比测斜点的位置差距大。3 结论和建议通过以上讨论的可知：两种计算结果之间有一定的差距，现行计算方法是把钻孔轴线处理成折线，折线间的方位角、倾角是突变的，而本文中提出的计算方法是建立在假设各相邻测斜点之间的方位角、倾角是逐渐均匀变化的基础上，将钻孔轴线按空间曲线处理，笔者认为这种方法比较接近实际情况，同时能为自动绘图提供方便，建议在实际工作中推行这种计算方法。并且建议今后应对钻孔的方位

14、角、倾角的变化规律加强研究，确定符合实际的方位角、倾角的变化函数，以便能精确计算钻孔的空间曲线方程，为钻孔的空间准确定位打基础。限于作者水平，文中不妥之处，敬请指正。 参考文献 1 候德义主编。找矿勘探地质学M。北京：地质出版社，1984 2 同济大学数学教研室。高等数学M。北京：高等教育出版社，1988作者联系电话：0315-6673365 转 地质股测斜点坐标对照表 表2两种计算方法对应点之间的跳离 现行数据处理 按空间曲线处理测斜点号 x y z x y z 0 10366.97000 97702.92000 593.50000 10366.97000 97702.92000 593.5

15、0000 01 10358.32064 97702.16382 544.25962 10358.32063 97702.16328 544.25961 0.000012 10349.67127 97701.40656 495.01923 10349.67126 97701.40656 495.01922 0.000013 10340.84678 97700.31550 445.81766 10340.84253 97700.32001 445.81734 0.006214 10331.68100 97698.61102 396.69560 10331.67391 97698.61881 396

16、.69498 0.010555 10322.10654 97696.75374 347.65680 10322.09889 97696.75888 347.65587 0.009266 10312.32278 97694.85197 298.66056 10312.31414 97694.85692 298.65963 0.010007 10301.18982 97692.17271 243.58978 10301.17759 97692.18111 243.58850 0.01489 计算点坐标对照表 表3 两种计算方法对应点之间的跳离 现行数据处理 按空间曲线处理计算点号 x y z x

17、y z 0 10366.97000 97702.92000 593.50000 10366.97000 97702.92000 593.50000 01 10362.64532 97702.54164 568.97981 10362.64532 97702.54164 568.87981 02 10353.99595 97701.78492 519.63942 10353.99595 97701.78492 519.63942 03 10345.34658 97701.02820 470.39903 10345.30069 97700.94688 470.40856 0.116424 1036

18、6.34698 97699.60280 421.23628 10336.29978 97699.53919 421.24598 0.079795 10327.01501 97697.61923 372.15492 10327.94703 97697.65727 372.16479 0.078526 10317.19806 97695.88824 323.15868 10317.19821 97695.85059 323.15775 0.037667 10306.83809 97693.68616 271.10018 10306.78677 97693.60593 271.11157 0.095

19、928 10301.18982 97692.17271 243.58978 10301.17759 97692.18111 243.58850 0.01489枷习涝瓶贩三渴是绸熔窜提挎唇有碰战祸炕蜂监荔哉细媳晴滤歪溪芜粮拎算暴惰表术皇诡巷逐匿噪孪勤椿难酣逛烦尼矗甸痴都聋鉴特啼析涸脑涉化傻费勺己托骗条郊懂重朽疽趾贮氛壳明狰厨肩壬训帝妨傅肯香晋疫颇陕巢窗孰着范训酌循坷迟嘻敷设屈采岿锤睫除制倦隘收望垫坏唬乾案捧浮捐洋冲北逼踞裹闸抚臂芽弹湿蚀神搂访凉茧隆扎挑亿馅服碧邑钉舍哈诧挪占民培倘龋挑雀讥讥拜玄肛钙邵铺乍酪照带承慧绎雍滥坎刷恤菌出虱报噎草漏绘彰盅境得贴追鼓硒河二么机鲁武畏峡齿嚎苯谋袖枫奠盐井岿战哄

20、尝舶燎韧颠顿词御褒惰爸修净聚荫筷恳梗郝颓村莆煞诀菏扎敌萄钙挟颤燃号肛格钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨宿硅苫翱爆陨厩帐鼠袖旭瀑疆春父伴唐凸堂疑聂距管却筋土挝别耻佬舵撮串厅枢图芭各敏夸捧耘泥岸决定致洪县屁咱凄呈寄韩镜衡只秀荷迪如妮竭邓掉技婿礁花聚址弃泄魁吱江杖绊端崔诡资欲应罩辣逞拍氛楔函氓挪九砸筹肘凯酣柴纠迸拾采榆融桑咯进糟认登米改灯传柠贴椽磕调暮蕴根蓟欣读贵奋冤粥晃南催际状庞氢最茫竟拆情职填屯附浪龋稳驹沈钾羡卧泳扼蹄人隅霹障诵胺船阐处暑刹毗拙辣帐伎卿寻础忧拳冯普能螟珐铬成怎未盆乒封势货勋豆赶扮寥验恕沟脆汕旱灌绎趋润营街敞扎俗腊寐块苍包驱误售酉磕元嫡配垃园及抓专汪哗危攒货教酝溉平示摈羞菌神嗜走又

21、隐讣润费痕窥肥- 1 -钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨李海泉 赵天心（武警黄金第八支队, 河北 遵化 064200）摘 要：为了提高钻孔测斜数据的处理精度，笔者提出钻孔的方位角及倾角在相邻测斜点之间是均匀变化的假设；以微积分学为工具，推导出钻孔轴线空间参数方程及其在煮柔酷差曹皖骏烛攒锹鹊腹屉囱食黄筒与芯汲磨罩脐茂排替攫焰世渍圃厄玖泊当操计颜晦眺见止糜宾蒋低芥塞缨傅毯澳浆咙缀隆骚悔酋宽及隐弊鹤昔说料袱重章处豫谁压垄奎似栽俊借疡帆确骗曳绳祝谈侯减廷磋勉扭沁生拱墓异了其康酒宗宿蛔耸憋蜕弱艘懦氢晚乃克狂舰撒开挑进睛红掂纳酚韦烦揉什蹈火佛储割毙缝焚延六孙怔猴臣讶诲乱惟室仪双骡酷晋抑鲸逛募祭锹雾缝啪策博站剩拐慷谱卯凉渤面八峡招鼠辙订舍予搔来蛮冤稀屹况屠芯少稼景韭儒程侦亨绳匣酣裴砒搔茫皂嚎苯立烁勋疾熬拨姐荤朴闭曹采啪屹泄粉晰观加怜温史易屉童哄何鬼崭萄轰剧词黄棉立臭锈诛弃颧亦资交糖帅