2014考研数二真题与解析

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1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题18小题每小题4分,共32分.11当x0时若In(12x),(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是()11(A)(2，)(B)(1,2)(C)(J)(D)(0,)2212112【详解】In(12x)2x，是阶无穷小,(1cosx)-x是阶无穷小，由题意可知212所以的可能取值范围是(1,2)，应该选(B).2.下列曲线有渐近线的是(A)yxsinx(b)yx2sinx(C)yx.1sinx2.1(D)yxsinx【详解】对于yx1sin，可知lim$1且lim(yx)limsin0，所以有斜渐近线yxxxxxxx应该选(C)

2、3设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x,则在0,1上()(A)当f(x)0时,f(x)g(x)(B)当f(x)0时,f(x)g(x)(C)当f(x)0时,f(x)g(x)(D)当f(x)0时,f(x)g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.【详解1】如果对曲线在区间a,b上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断.显然g(x)f(0)(1x)f(1)x就是联接(0,f(0),(1,f(1)两点的直线方程.故当f(x)0时,曲线是凹的也就是f(x)g(x),应该选(D)【详解2】如果对曲线在区间a,b上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)f(x)g(x)f

3、(x)f(0)(1x)f(1)x,则F(0)F(1)0,且F(x)f(x),故当f(x)0时,曲线是凹的，从而F(x)F(0)F(1)0,即F(x)f(x)g(x)0,也就是f(x)g(x)，应该选(D)x4.曲线yt2t27,4t1上对应于t1的点处的曲率半径是(A).105q(B)霧(C)1010(D)510【详解】曲线在点(x,f(x)处的曲率公式Ky,2、3y)，曲率半径本题中等2t罟2t4,所以dx2t42t对应于t1的点处y3,y1,所以12t|y|d2ydx2_2J：2t应该选5设函数f(x)arctanx，若f(x)(A)1(B)-3【详解】注意(1)1f(x)厂由于f(x)x

4、f()所以可知K=、(1y2)3xf(C),曲率半径10.10R11010f()2)，则00(D)0时,arctanxf(x)xo(x3)arctanxxarctanx(arctanx)22lim2x0x2arxtanx6设2u2xxlim2x0x(arctanx)xlimx0(x133x)o(x)J3xu(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足)(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;(B)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;(C)u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上;(D)u(x,y)的最小值

5、点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上.【详解】u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点(x0,y0)也就是0,在这个点处A24,cx222uuu2,B，由条件,yxyyx显然ACB20,显然u(x,y)不是极值点当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上.所以应该选(A).0aba007行列式0cdc00(A)(adbe)2(B)(adbc)2(C)a2d2.22/、bc(D)adbc【详解】0ab0a0ba0ba00babab2a0d0b0c0adbc(adbc)0cd0cdcdc0dc0d

6、c00d应该选(B)&设1,2J3是三维向量，则对任意的常数k，l，向量1k3，2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件【详解】若向量1,2,3线性无关，则10(1k3，2l3)(1,2,3)。1(1,2,3)K,对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等于2kl所以向量1k3，2l3疋线性无关.100而当10,21,30时,对任意的常数k,l,向量1k3，2l3线性无关但1,2,3000线性相关；故选择(A)、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)9.1一1dxx22x5111【详解】d

7、xx2x5dx(x1)24xarctan210设f(X)为周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),x0,2，则f(7)【详解】当x0,2时，f(x)2(x1)dxx22xC,由f(0)0可知Cf(x)x22x;f(x)为周期为4奇函数，故f(7)f(1)f(1)11.设zz(x,y)是由方程e2yzz确定的函数4，则dz|11,222yz【详解】设F(x,y,z)x?Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1,当xFyFz，所以dz|11dxdy.2212.曲线L的极坐标方程为，则L在点(r,)处的切线方程为【详解】先把曲线程化为参xr(yr()cos)sincos,于是在sin处,

8、x0，ycdHsincoscossin|2L在点(r,)越处的切线方程为y-(x0),即y213.一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度(x)2x1,则该细棒的质心坐标【详解】质心坐标x1x010(x)dx(x)dx1J120(x22x1)dxx32x2x)dx11125112014.设二次型f(xX2,x3)xf2ax1x34x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围是.【详解】由配方法可知f(Xi,X2,X3)2Xi2X22ax1x34x2x3(Xi2222ax3)(X22x3)(4a)X3由于负惯性指数为1,故必须要求4a120,所以a的取值范围是2,2.三、解答题15.(本题

9、满分10分)1:(t得方程通解为：-y3:(t得方程通解为：-y3(J1)t)dt求极限limX21Xln(1-)x，然后利用洛必达法则求未定型极限.【分析】先用等价无穷小代换简化分母详解】imIXimIX1一te/V2IL/VX1Xln(1X2(11X2xoX2mHXlim1-te/V2IL/VX1ILIL丄Xe/V2XmHXX16.(本题满分10分)已知函数yy(x)满足微分方程已知函数yy(x)满足微分方程x2y，且y(2)0,求y(x)的极大值和极小值.【详解】解：把方程化为标准形式得到(12X，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可C,由y(2)0得C即32x2y0,得1,

10、且可知d2y2x(1dx22、22、2y)2y(1x)；3；(1y)当X1时,可解得y1,y10,函数取得极大值y1；当x1时,可解得y0,y20,函数取得极小值y0.设平面区域D(x,y)|12y4,x0.y0.计算xsin(2y2)dxdyxy【详解】由对称性可得22xsin(、xy)dxd22xsin(、xy)dxdysin(ix2y2)dxdxysin(.x2y2)(xy)sin(3y2)dxdydxdo2d2rsin1rdr18.(本题满分10分)设函数f(u)具有二阶连续设函数f(u)具有二阶连续f(excosy)满2z-2x2z2y(4zexcosy)e2x.若f(0)0,f(0

11、)0,求f(u)的表达式.【详解】设Uxecosy,贝Uzf(u)f(excosy),zf(u)excosy,2z22X2f(u)ecosyf(u)excosy;xx2zf(u)exsiny,z22x2f(u)esinyf(u)excosy;yy22zzf(u)e2xf(excosy)e2xxy22由条件一zz(4zexcosy)e2x,xy可知f(u)4f(u)u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为：f(u)Oe2uC2e2u其中G,C2为任意常数.1对应非齐次方程特解可求得为y*u.4故非齐次方程通解为f(u)C1e2uC2e2u】u.4将初始条件f(0)0,f(0)0

12、代入，可得C1,6116所以f(u)的表达式为f(u)丄e2u16丄e2u1619.(本题满分10分),0g(x)1,证明:(1)x0g(t)dtxaa,xa,b；bg(t)dtb(2)aaf(x)dxaf(x)g(x)dxa【详解】(1)证明：因为0g(x)1,所以x0dxaxag(t)dt即0xag(t)dtxa,xa,b.xxag(t)dt(2)令F(x)af(u)g(u)duaaaf(u)du,a.b上连续，且f(x)单调增加设函数f(x),g(x)在区间x1dtxa,b.a则可知F(a)0,且F(x)f(x)g(x)g(x)faxag(t)dt,因为0g(t)dtxaa,且f(x)单

13、调增加，所以fxag(t)dtaf(axa)f(x).从而F(x)f(x)g(x)xg(x)fag(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x)0,xa,ba也是F(x)在a,b单调增加，则F(b)F(a)0,即得到xbag(t)dtaabf(x)dxf(x)g(x)dx.a20.(本题满分11分)设函数f(x)x,xx0,1，定义函数列f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),fn(x)f(fn1(x),设Sn是曲线yfn(x),直线x1,y0所围图形的面积求极限limnS.n【详解】,f2(X),f2(X)f1(X)1f1(x)X1x11xxx飞,f3(x)飞利用数学归纳法可得fn(x)兀

14、nx1Sn0fn(x)dx1xdx01nx1o(11)dx1nx-(1nln(1n)n，limnSnlim1nnln(1n)n21.(本题满分11分)已知函数f(x,y)满足2(y1),且yf(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.【详解】由于函数由于函数f(x,y)满足-2(y1),所以f(x,y)y2yC(x),其中C(x)为待定的连续函数.又因为f(y,y)(y1)2(2y)lny，从而可知C(y)1(2y)lny.得到f(x,y)y22yC(x)y22y1(2x)lnx.令f(x,y)0,可得(y1)2(2x)lnx.且当y1

15、时,x11,x22.曲线f(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积为221(y1)dx221(y1)dx2i(2x)lnxdx5(2ln2-)4求方程组AX0的一个基础解系;22.(本题满分11分)123设A01112041,E为三阶单位矩阵.3(1)(2)求满足ABE的所有矩阵.【详解】(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下:1234123412341001A011101110111010212得到方程组AX0300同解方程组43100130013X1X2X3X42x43x4得到AX0的一个基础解系1（2）显然B矩阵是一个43矩阵，设BX1y1Z1X2y2Z2X3y3Z3X4y4

16、Z4123410012341(AE)011101001110120300104311123410010012601110100102130013141001314由方程组可得矩阵B对应的三列分别为X121y161Z11X212y232Z21C1C2C3X313y343Z31X401y401乙0即满足ABE的所有矩阵为2C16C21C31B2C132C212C313c143c213c3C1C2C3（AE）进行进行初等行变换如下:对矩阵0101111231其中G,c2,c3为任意常数.23.（本题满分11分）2相似.111001111002【详解】证明：设A,B111分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：EA所以A的n个特征值为1n,2300n111111、n1(n)111n0；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化且A0n)0EB00所以B的n个特征值也为n,23n0;对于n1重特征值0,由于矩阵（0EB）B的秩显然为1,所以矩阵B对应n特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵1重特征值0的B一定可以对角化：01111从而可知n阶矩阵1110011-002与相似100n13证明n阶矩阵1