数字通信基础与应用课后答案6章答案

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1、习题设计能检测分组中所有 1、3、5、7位错误图样的（n, k）奇偶校验码。求出 n和k的值。如果信道码元错误概率是 10-2,试求不能检测分组错误的概率。解：n,k 8,7C 82.684 d 486 d 288Pndpip Pip Pip P246822262424262428pnd2810 21 10 27010 2 1 10 22810 2 1 10 210 22.6*10计算将12位数据序列编码为（24, 12）线性分组码后的错误概率。假定码本能够纠正所 有的1位、2位错误图样，而不能纠正所有 2位以上的错误图样。同时，假定信道码元错误 概率为10-3 0i24 24 k 24 k

2、243 33 216解：Pmpk 1 p10 3 1 10 31.98*10 6k3 k3考虑一个能纠正 3个错误的（127, 92）线性分组码。a）如果信道码元错误概率为10-3,对于未编码的92位信息，其消息错误概率是多少？b）如果信道码元错误概率为10-3,对于使用（ 127, 92）分组编码的信息，其消息错误概率是多少。92n解：（a）Pmv 1 1 10 38.8*10 2(b)pm127 127127 kp12743 4103 110312369.14*10 6假定采用相关BPSKM调，接收 国 N）=10dB,计算使用24, 12）纠双错线性分组码，编码前后消息差错概率性能的改善

3、。解:PmQ 2EbQ 2*10 Q 4.47-Nox224.47 2e 10 4.05*10 6_v6 125pv 1 1 4.05*10 64.86*10 5对于（24,12）编码，码率是1/2,由于 % 比E/N小,dB，所以数据速率是非编码速率的两倍PcQQ . 2*5.01 Q 3.16查表得Pc 0.0008c 24 24 k 24 k 243Pmp 1 p0.0008 1 0.0008k 3 k3PrC1.02*10PERFORMANCEIMPROVEMENT4.86*101.02*1047.6考虑一个（24, 12）线性分组码，它能纠正双错。假设使用非相关检测二进制正交移频键控

4、（BFSK调制，并且接收E/N0=14dB。a）这种码是否提高了消息错误概率的性能？如果有，是多少？如果没有，为什么？b）对E/N0=10dB时重新计算（a）。,Eb解： 非相关bfsk的 14dB 25.12No1EbNo,25.121 0 e21.76*10 66 12PV 1 1 1.76*10 62.11*10对于编码速率因此Ec11dB12.59No曳 .12.59Pc 1e2No 1e= 9.23*10 422c 244 34 21Pc 9.23*10 4 1 9.23*10 41.56*103PERFORMANCEIMPROVEMEN T_ 52.11*106 13.51.56*

5、10 6(b)EbNo1pu 1e 2 No 1e 5 3.36*10 322PV 1 1 3.36*10 31223.96*10 2EcNo7dB 5.011Ec1 2 NPce22.54.1*10 2PrC244.1*10324.1*10 22125.7*102这里有一个性能下降5.7*10 23.96*10 21.4这是由于解：如果在重复检测的接收中有3次是错误检测值，那么解码将会发生错误。没有足够大，使编码不能够完全表现它的增益特性。在 o数字编码恰好处于临界过载状态。电话公司对它的一些数据信道使用 “五个中取最佳”的编码方法。在该系统中， 每个数据 比特重复五次，而在接收端，选择五次

6、中重复出现次数最多的值作为该数据比特。 如果未编 码时的比特错误概率为 10-3,求使用此码译码后的比特错误概率。3 281 101055 j 5 j 5Pbpj 1 p j 10j 3 j3给定线性分组码的最小码间距离是11,求其最大纠错能力，最大检错能力，以及最大纠正擦除能力。解：dmin 11dm” 1纠错：t dmn1 52检错：m dmin 1 10纠正擦除：p dmin 1 10考虑具有如下生成矩阵的（7, 4）码lJIIt)。I(JJ0100i niiooaIoooo(a)找出该码的所有码字(b)求出此码的监督矩阵Ho(c)计算当接收矢量为1101101时的伴随式。它是否为有效的

7、码字矢量。(d)这种码的纠错能力如何？(e)这种码的检错性能如何？解：(a) u mG消息0 0 0 00 0 0 10 0 100 0 110 10 00 10 10 1100 11110 0 010 0 110 1010 11110 0110 111101111编码向量0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 10 110 0 1010 10 0 1110 10 10 00 110 10 1110 0 1100 0 0 0 1 1 111110 0 00 0 1 1 0 0 110 0 10 100 10 10 110 10 110 010 0 110 10 0 111101111

8、11110 0 110 1(b)H IM K PT 0 10 10 110 0 111 1 01 0 00 1 00 0 1(c)S rH T 110 110 111 11 0 10 1 11 1 0因此1101101不是有效码字。dmin Wmin3(d)t dmin 112(e)m dmin 12考虑一个系统分组码，其监督方程为P1 m1 m2 mup2 mlm3 m4P3 m1 m2 m3P4m2m3mu这里m为信息位，而gi为监督位。(a)求出这种码的生成矩阵和监督矩阵。(b)这种码能纠正多少错误？(c)是合法码字吗？解：(a) G(d) 01011100是合法码字吗?0 00 01

9、00 11110 1010 110 10 1110 0110 10 01 0 0 0 1 1 0 1T 0 10 0 10 11H Im k P00101110 t dmJUi22(c) SrH T1 01 0101 0 H T00 11因此不是有效码字(d) SrH T0 10 1110 0 H T00 0 0因此01011100是有效码字某种线性分组码的码字定义如下U mm2m4m5,mim3m4m5,mim2m3m5,m1mbm3 m4, m1,m2,m3,m4,m5(a)给出生成矩阵。(b)给出监督矩阵。(C)求 Pl, k 和 dmin。解：1 1 11 0 1(a) G 0 1 1

10、1 1 02 1 111000010 10 0 0100100100010000001(b) H Im k PT10 0 00 10 00 0 100 0 0 1110 1110 1111 1 1 011 1 1 10(C) n 9 k 5 dmin 3设计一个(n, k) = (5, 2)的线性分组码。(a)选择码字使其具有系统码形式和最大的dmin。(b)求出码字集的生成矩阵。(c)计算监督矩阵。(d)将所有n元组写入标准阵。(e)这种码的纠错和检错能力如何？(f)为可纠正的错误图样作出伴随式校对表。解:(a)信息矢量码字00 0000001 0110110 1011011 11011从上

11、面三组中随便选两组就可以了（全0的除外）(b) G10 1100 110 110 0 10(c) H Im k PT 0 10 0 10 0 111(d) 00000标准阵列01101 10110 110110000101100 10111 1101000010 0111100100 0100101000 0010110000 1110101010 0011111000 1010110100 1100110010 1111111110 1001100110 0101111100 1000101110 00011(e) d mindmin 1m dmin 1 21 0 00 1 0(f) S e

12、HT e 0 0 11 0 10 1 1错误图样伴随式00001 01100010 10100100 00101000 01010000 100考虑（5, 1）重复码，它是由两个码字 00000和11111构成，分别对应信息 0和1。导出 这种码的标准阵。它是完备码吗？0000011111000011111000010111010010011011010001011110000011110001111100001011101001001101101000101110001101100101010101011001001101011001001110100010111100000111标准阵列可

13、知只能纠正1或2bit错误，因此此码是完备的设计一个（3, 1）码，使它能纠正所有的单错图样。选择码字集并给出标准阵。解:信息序列码字00001111dmin 3t 0.5dm.11标准阵列:000111001110010101100011（7, 3）码是完备码吗？ （ 7, 4）码是完备码吗？ （ 15, 11）码是完备码吗？证明你的答 案。解：（1） （7,3）码：可能的接收矢量数：27 128,信息码个数：23 8,陪集个数：27 3 16。因此由16个陪集首可以纠正所有的1bit错误，和8个2bit错误。但是共有721个2bit错误。所以此码不是完备的。28。(2) (7,4)码：可能

14、的接收矢量数：27 1 28,信息码个数：24 16,陪集个数：27 4由8个陪集首只可以纠正所有的1bit错误。所以此码是完备的。(15,11)码：可能的接收矢量数：215 32768 ,信息码个数：2112048,陪集个数:24 16。由16个陪集首只可以纠正所有的1bit错误。所以此码是完备的。通过下面的监督阵列定义一个(15, 11)线性码:(a)求该码的监督矩阵。(b)根据标准阵列出陪集首，此码是否为完备码？并加以证明。(c) 一个接收矢量为 V=01o计算伴随式，假设其中有一位错，求正确的码字。(d)此码能纠正多少擦除？并给予解释。解：（a） H Im k PT1000001011

15、 01111H 0100010101 11101000111100010111(b) (15,11)码是完备码，只能纠正所有 1bit错误0000000000000000000000000000010000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001 0000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000010000

16、0000000000(c) S rH T 011111001011011 HT 0110这里 r 不是一个码字。由陪集伴随式0110 得到陪集首0000000 。因此，码字是01。(d)tmax 1G PIkdmin 3e dmin 12一个非零错误图样可能产生一个全零的伴随式吗？如能，一个( n， k) 码有多少错误图样能产生这个结果？用图加以证明。解：可能一共有2k 1 个错误图样可以产生。以如为例：如果传输的码字是110011，错误图样是000111r 110011 000111110100S rH T0n， k) 。6.17 码长为nW 7时，下面的多项式中哪些能生成循环码？并求出这些

17、码( (a)1+ X3+X4(b)1+ X2+X(c)1+ X+父+犬(d)1+ X+X2+X(e)1+ X3+X5解:检验是否xn 1(a)4. x ;4;对k1,2,35,6,75:一 x4 x-5 x所以不能n 6:- xx6 143x3 x -4 x2 x -3 x所以不能x7 13x所以不能(b)4. x ;k 4;对 k1,2,35,6,7n=5 时:5 x-4 x不能生成循环x6 1n=6 时：-2x x 1这样的码可以产生循环,此时n=6x7 1n=7时：二不能生成循环2x x3x x 1n-k=4,所以(n,k )x 1X x4 x2 1=(6,2)(c)1 x x3x4 n

18、-k=4,当 k=1,2,3 时，n=5,6,7n=5 时：4 x31x x x 13x-4x x不能生成循环x6 1n=6 时： 43x4 x3 x 1这样的码可以产生循环，此时n=6,n-k=4,所以(n,k ) =(6,2)n=7 时：4x7 x-3x不能生成循环(d)1 xn-k=4,k=1,2,3时,n=5,6,7n=5 时: 不能生成循环n=6 时: 不能生成循环x7 1n=7 时-n7 U.4324x x x 1这样的码可以产生循环，此时n=7,n-k=4,所以(n,k ) =(7,3)35(e) 1 x x n-k=5,当 k=1,2 时，n=6,7x6 1n=6 时：不能生成

19、循环 k=3, n-k=4;x7 1n=7 时：D32x x351 x x不能生成循环将信息101用生成多项式g(X)=1 + X+X2+X4使用多项式除法进行系统形式的编码。解：令 m 101 ; m(X)1 x2所以n=7；(n,k)=(7,3)g (X )1 x x2 x4Xn km(x)x4(1x2)x4 x6Xnkm(x) q(x)g(x) r(x) r(x)为余项2x4264x x x 1 x xx3 x2余项n k6432r (x) + X m(x) = x x x xr(x)是奇偶项，Xn km(x)是消息项，相加之和是码字对生成多项式为g(X)=1+X+X2+X3的(8, 5

20、)循环码，设计一个反馈移位寄存器编码器。用 此编码器找出信息 10101的系统码。解:设计图如上所示电路的操作步骤是：移位次数奇存器内谷输入序列101011010101101因此，最终的(8,5)循环码的码字是01234501010101000111100101101010图中的信号是差分相关 PSK (DPSK 4)译码器，如果检测前的谱密度信噪比 的要求吗？证明你的答案。假定信息位为编码码元速率为19000码元/秒，译码器为纠单错(7, Pr/N)=48dBVy那么输出的消息错误概率能达到10-34位，7位码长中的任何单错图样均可被纠正。图解：Pr N0 48dBW , Rc 40dBbi

21、ts rEcN0(1R)PN048 408dB 6.31c 1 . Pc exp()01,-exp( 6.31) 9.09 10 47 25R (-)pC(1 Pc)51.73 10 5所以可以达到要求，E/N。 48dBW能够充分提供Pn 10 3。(15, 5)循环码的生成多项式如下：g(X)= 1+ X+X+X5+X+X10(a)画出该码的编码器框图。(b)求出信息 mX)=1 + X2+X4的码多项式(系统形式)(c)”为=1 + 乂+乂+犬+乂4是系统中的码多项式吗？并证明你的答案。解：(a) (n,k)=(15,5); n-k=10(b) m(X) 1 X2 X4n k102410

22、1214X m(x) x (1 x x ) x x x q(x)g(x) r(x)x4 1108x x12x10xr(x) + Xnkm(x) =1所以码字CODEWORD=1114x10x10x1010112x10x12x余项14x(c)测试：用g(x)去除v(x),如果r(x)=0,v(x)即是一个码子。14864,x x x x 14 x10852xx x x x x 1由于r(x) w0,V(x)不是一个码字97432 “ x x x x xx 1 x10852x x x x x 1考虑由g(X)=1 + X+X4生成的(15, 11)循环码。(a)设计此码的反馈寄存器编码器和译码器。

23、(b)通过列出寄存器的状态给出对信息矢量编码的步骤(最早出现的位在最右边)(c)对译码步骤重复(b)解(a)：移位序列寄存器内容(b)输入队列001102300001100101001011100110400101100115000111001600001100711001108011011900111100001-110000因此，码字是0000c ） ： 解码过程 ;输入序列 移位寄存器内容00000000000000111000000002110000003011000001100110410110000110011510010000110016000000001100710000000

24、1108010000001190010000011010010000110000000120000001300000140000-150000对固定的信道码元错误概率， （ 15 ， 11）汉明码的比特错误概率劣于（ 7， 4 ）汉明码。请解释原因。那么（ 15， 11）码有什么有点，这关系到哪些基本的权衡？（ 15,11 ）的编码引进更少的冗余度，因此它有更好的容错能力；式（ 15,11 ）的编码，因 为低冗余度而需要更小的带宽；跟踪是在所需的功率和带宽之间比较。一个（63, 36） BCH可以纠正5个错。9个（7, 4）分组码可以纠正 9个错。两种码具 有相同的编码效率。（ a ） （ 7

25、， 4）码能纠正更多的错。它是否更强大？请解释。（b）比较63比特中随机出现5个错时两种码的性能。解：（ a） （ 63,36 ）编码只能纠正动态错误，但在这63 比特中误码可以以任何形式发生。（ 7,4 ）编码能够纠正直至9 个误码，但只有当他们每个码元时钟只出现一次才有用（这是不可能的）。因此，（7,4）编码几乎不能纠正像他显示的那样能纠正9个误码。（b） （63,36 ）编码能纠正任何形式的包涵5个或5个以下的错误比特。 为了解码成功，（7,4 ）编码要求每个时钟小于等于1个比特错误。假设1个比特错误出现在任何一个时钟，那么第二个比特错误不出现在同一时钟的概率是8/9。假定那两个比特错误

26、出现在不同的时钟，那么第三个比特错误不出现在这两个时钟的8 7 6 5概率是7/9。5比特错误在不同的时钟的概率是 0.256。因此，（7,4）编码只94在1/4的时间里能够成功解码这样的错误。将信源发送的信息组成 36bit长的消息，使用非相关检测BFSK制，经由AWGN1道传输。（a）如果不采用差错控制编码，计算使错误概率为10-3时需要的E/N。（b）如果在传输中使用（127, 36）线性分组码（最小距离为31）,对于信息错误概率为 10-3, 计算编码增益（提示：编码增益定义为编码前后所需E/N0的差）。解：（a） P； 1 （1 Pm）36 36 PM 10 3Pm 2.87 10

27、5361 , 1 EE bPmexp( b );21n(2 Pm )2 2 no NoEbNo19.612.92dB没有编码（b）利用一个dmin=31的（ 127,36 ）编码可以纠正tma=15的错误。PC1271616111Pc (1Pc)10 3对Pc域重复多次求解P0.0546c 1 c Pc - exp(2ECNo2EcN0)2ln(2Pc)0.05464.43 6.46dB127 E36 NO15.63 11.94dB所以编码增益=（a）考虑一个采用（127, 64） BCH码，相关16进制PSK调制的数据序 列。如果接收 E/M为10dB,求出MPSK勺码元错误概率，代码比特错

28、误概率（假定在符号 比特转换时使用格雷码），信息比特错误概率。（b）假定（a）中信息比特错误概率不变，调制改为16进制FSK正交相关调制，求需要的E/N值。解释其区别。（a）数据速率R(127,64 ) 编码16进制PSK调制.jr.编码数据速率Rc码元速率RsE /No=10 dB这里EbNo10dB 10EcNo6410 5.039 7.024dB因为信息比特已给出用 64/127编码。127ESNo(log2M)EC20.16 13.04dBNoNo从方程()Pe2Q(2ES)(sin)2Q(1.24) 2 0.1066 0.213,NoMPb0.2130.05334因为( 127, 6

29、4) BCH编码适用于t 10以上的任何错误形式,用方程()可以得到编码比特错误概率Pb为:1m mPb祇河(1Pb)j11 12711116百(ii)R(1 Pb)12 1271215而(12)Pb(1 Pb)7 10Pe是码元错误概率，Pb是编码比特错误概率，Pb是信息比特错误概率。这是信息比特错误概率，或解码错误概率。Pb 0.0533(b)解码比特错误概率为 7 10 3 ,在(a)中已经求得编码比特错误概率为k21 _15PE -pPb0.0533 0.0999E 2 k8Pe (M 1)Q(.Es/N。)0.09990.0999Q(,Es/No) -50.00666由表知Es/N0

30、2.48Es/N06.15Ec/N0(i)n6.1541.5376Eb/N0127 EcC 3.05 4.84dB64 No与(a)中的比较和我们的推测是一致的。对于一个给定的错误行为，用16进制FSK计算的Eb/N0应该比用16进制PSK计算的要小，这也可以在图和的比较中得到证实。一条消息包含英文文本(假定信息中的每个字包含 6个字母)，每个字母通过使用 7位ASC n字符码编码。这样，文本中的每个字包含了一个42位序列。消息在码元错误概率为 10-3的信道上传输。(a) 一个字在接收时出错的概率多大？(b)如果使用重复码，每个字中的每个字母重复3次。接收端，采用多数判决译码，这样译码后字出

31、错的概率多大？(c)如果对每个42位的字，采用有t=14位纠错能力的(126, 42) BCH码，译码后字出 错的概率多大？(d)对于一个实际系统，当给定信道符号错误概率时，将未编码和编码消息的差错性能比较是不公正的，因为这意味着对于所有编码方案(或不编码)均有固定的接收E/N值。现已知接收 E/N为12dB (这里E/N是单位噪声谱密度的信息比特能量。)，并由其确定信道码元错误概率，则重作(a), (b), (c)。假定对所有编码方案(或不编码)，其信息速率均相同，并且假定使用 AWGN1道上的非相关正交二进制FSK调制。(e)讨论上述编码方案在两种假设条件下，即固定信道码元错误概率和固定E

32、/ N0时相对差错性能。在什么情况下重复编码能改善性能？什么情况下使性能恶化？ 解：(a)用Pm表示一个字节或消息的错误概率Pm 1 (1 p)7 6 1 (1 10 3)42 4.1 10 2(b)用Pc表示一个字是正确的概率，用Pcc表示词中一个字母正确的概率Pm 1PC; PCPcc67 337 27PCc(1 P) ()(1 P) 1 (1 p)72(1P)73表明3次重复的每一次都是正确的； 后面的部分表示其中有 2次是解码正确的而1次是解码错误的。12615, x 111 Pm( c )P (1 P)5PM1PC1PCC1(1 103)213(1 103)141 (1 103)76

33、 8.7 10 4126!3、153 11127(10 ) (1 10 )9.2 10 15!111!(d)重复(a)：且 12dB 15.85No信道错误概率p15.85-e 丁 1.8 10 4Pm 12(1 1.8 10 4)42 7.5 10 3重复(b):因为200%勺重复被引入，编码速率为1/3。因此Ec EbN03N015.853,15.851-e 63.56210 2P/i2 211 (1 3.56 10 )3(12 143.56 10 ) 12 7 6(1 3.56 10 )0.56重复(c) : 1/3的编码速率,3.56 10 2Pi1262 15(15)(3.56 10

34、 ) (13.56 10 2)1113.410 5(e)评价一个不考虑信息冗余,只考虑差错率的通信系统，必须考虑增加冗余造成的信噪比Eb/N。，在这种情况下，重复编码在误码方面上比不编码提高了16db, BCH码比这两种编码更好。对编码容量一个更实际的比较是系统可以提供的信噪比。重复编码导致将近 35dB的差错，而BCH码在编码增益上比不编码多 7分贝，因此，当要求信噪比提高时(例如增加发送功率或者增加传送信道重复编码的优势较突出，否则，重复编码将导致衰减。一个5比特数据序列使用哈达码矩阵变换为正交码序列。每隔一个码字时间作一次相关检测，如图所示。计算相对于使用BPSK次传输1比特数据时获得的

35、编码增益。解：对于编码，应用误比特率上界公式()Pb Mk发送源k=5比特，m 2 32,其中pB 105。然后用公式51032Q Ea2 N0用量化器中得到的 Q()的近似值，在公式()中已经给出。因此其中x二因此51610x、2 e对于不编码的 BPS幽pB4.854EbN 04.71210 5 ,（在严格同步的情况下）需要信噪比是分贝，编码G (db )E_bdBN 0 c=dB1到10每个陪集给出的生成矩阵、监督矩对于6.6.3节描述的（8, 2）码，验证对于从 阵、伴随式矢量的值，都是有效的。解：我们假定生成矩阵生成 4位代码:00111 1 1 000 000000001 1110

36、0012 01G 111100013 10G 001111104 11G 11001111H In k PT100000010100000100100011000100110000101000000110并发位S e HT100000010000001000000100e0000100000010 0 111111110 0 000000001 HT 000000S2 00000001 HT 111100S3 00000010 HT 001111S4 00000100 HT 000001S5 00001000 HT 000010S6 00010000 HT 000100S7 00100000

37、HT 001000S8 01000000 HT 010000S9 10000000 HT 100000S10 00000011 HT 110011使用异或门和与门实现类似于图给出的译码器电路, 的（8, 2）码所有的单错图样。使其能够纠正图中陪集首2到9描述错误模式e接收器r校正输出u综合器s异或门对于在同步时编码，解码器只是传递信息给和 ，因此接收端产生的阴影可以78消除。详细解释怎样能用与图类似的方法，用异或门和与门实现能够纠正（8, 2）码的所有单、双错，以及检测 3个错的图样（陪集首或行 38到64）的译码器电路。为了用这些码在图中说明这些所有单的和双的信号，计划增加一些门假如这些码是

38、m,因而解码器只需得到每个的8位数据。下面来考虑影响这些数据的双的信号。一个可能的方法是通过增加一些门来完成这个工作。30页这些符号表示一个门，用1到6标记的线表示信号1,2,3.，6。线与线的连接表示比较，每一个与门的数字标号（1,2,3,4,5,6）被比较后从那个门的输出端输出。”(W).小0-J 5芋q门刈共，金Am例婀WN077N& s加以号 白的片也或我生5廿& CJKCU1 厂耳e 0% z?pi/PAL 髭兔fiERD 4丁6：* To B仍然有更多的门要被连接到这个系统，但是，没有为此设计更多的连接点。证明对于表中所有 n=31的BCH码满足汉明界限和普洛特金界限。HC削 n=

39、31 k) t n-k31,261531,2121031,1631531,1152031,67 25d min 2t 1Hamming BoundPlotkin Bound的MT产dminn 2k 12m k 1 m1CODE MEETS HAMMING MEETS PLOTKIN31,2632=323=4975=49927=20636811=15=31当对全0消息分组编码时，其结果是全0码字。一般不希望传输这样长串的0, 一种避免这样传输的循环编码技术是在编码前将移位寄存器预置为1面不是0。得到的“伪监督码”将确保在译码器处码本中包含一些1,必须要在开始译码之前将所有的伪校正码纠正过来。设计

40、一个通用方案能够为任何一个循环码译码器纠正伪监督位。使用一个（7, 4） BCH码器，预置1后，再为消息1011编码（起始位在最右端）。验证你的加于译码器前的能产生正 确译码信息的纠正方法。解：（7,4）编码器产生的编码公式是：1 x X3,把这个HC喇发生器用LFSR表示出来（如 下图）无论这些数据持续多久的时间，这个技术都可以一直避免解码困难。(a)根据习题中(15, 5)循环码的生成多项式，将信息序列11011以系统形式编码。给出码字多项式，并问生成多项式的阶有什么特性？(b)考虑接收码字受错误图样 e(X)=X8+X10+X3的干扰。给出受到干扰的码字多项式。(c)通过生成多项式和接收

41、码字多项式给出伴随式多项式。(d)通过生成多项式和错误图样多项式，给出伴随式多项式。核实( c)与(d)结果一致。(e)解释为什么(c)与(d)计算出的伴随式有同样结果。(f)根据(15, 5)线性分组码标准阵的性质，试求该码能够纠正的可能错误的最大数量。(15, 5)码是完备码吗？(g)如果希望(15, 5)循环码能同时纠正两个擦除且能够纠正错误，必须要以减少纠正多少个错为代价？解：(a) m=11011 m(x)=1+x+x 3 +x 4 xn-k m(x)=q(x)g(x)+p(x)x (1+x+x +x )=x +x +x 当 g(x)=1+x+x 2+x5+x8+x101034101

42、11314度数是g(x)=n-k, 等价的多项式p(x)是用m(x)去除g(x)所得的余数10852x x x x141 x13xx11 x10 等价于 x9+x8+x7+x6+x4+ 2U(x)=x n-k m(x)+p(x)=q(x)g(x),14+xU(x)=x 2+x4+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x13表不成二进制格式:U=00 11011奇偶性数据U(x)g(x)q(x)x10x8x5x2141 x2x1311109876x x x x x x x34xx42xx12x10x(b)U(x)=x 2+x4+x6+x7+x8+x9+x 10+x11+x13+x14e(x)=

43、x 8+x10+x13Z(x)=x 2+x4+x6+x7+x9+x11+x14(c)Z(x)=q(x)g(x)+s(x)zx) q(x) 2 g(x)g(x)S(x)=1+x 4+x6+x8+X9 (d)e(x)g(x)m(x) q(x)s(x)g(x)因此s(x)是e(x)除g(x)得到的余数，所以当我们用g(x)去除x8+x10+x13得, 1+x4+x6+x8+x9这个结果和才(c)中得到的结果是一致的(e)U(x)=m(x)q(x)Z(x)=U(x)+e(x)Z(x)=q(x)g(x)+s(x)e(x)=U(x)+Z(x)=m(x)g(x)+q(x)g(x)+s(x)=m(x)+q(x)g(x)+s(x)综合s(x)得Z(x)与g(x)的模运算是和e(x)与g(x)的模运算是一致的。(f)15115151051531544513654它的纠错率为33%(g)dmin 2+ +1对于(15, 5) dmin=2t+1=77 2+ +1=2 +3所以 =2,并且这个代码必须以减少一个纠错的代价。