高中数学人教A版必修四教学案：1.6 三角函数模型的简单应用 含答案

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1、 讲一讲1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s6sin.(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？尝试解答(1)利用“五点法”可作出其图象(2)因为当t0时，s6sin3，所以此时离开平衡位置3 cm.(3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时

2、尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法练一练1交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解：(1)当t0时，E110(V)，即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V，当100t，即t s时第一次取得最大值讲一讲2心脏跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值设某人的血压满足函数式p(t

3、)11525sin 160t，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数p(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数尝试解答(1)由于160，代入周期公式T，可得T(min)，所以函数p(t)的周期为 min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f80(次)(3)列表：t0p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言

4、”，这个过程就是数学建模的过程(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题练一练2如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是h.+(1)求h与间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为，故B点坐标为.h5.64.8sin.

5、(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1，得t2k，kN，tmin30(s)即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒讲一讲3已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作：yf(t)下表是某日各时的浪高数据t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数yf(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间

6、可供冲浪爱好者进行运动？尝试解答(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)Acos tb，并且周期T12，.由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0.A0.5，b1.ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪爱好者开放，cos t11.cos t0.2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)0t24，故可令中k分别为0，1，2，得0t3或9t15或210，0)，则解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又当t6时，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100s

7、in800.(2)当t2时，y100sin800750，即当年3月1日动物种群数量约是750.题组3建立三角函数模型解决实际问题7设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可近似地看成函数ykAsin(t)的图象下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是()Ay123sin t，t0，24By123sin，t0，24Cy123sin t，t0，24Dy123sin，t0，24解

8、析：选Ayf(t)的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k12，A3.周期T12，所以.又t0时，y12，t3时，y15.所以0.因此，y123sin t，故选A.能力提升综合练1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至()A甲 B乙C丙 D丁解析：选C该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2如图是函数ysin x(0x)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是()解析：选A当x时，f(x)2x；当

9、x时，f(x)2x，故选A.3如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析：选CP0(，)，P0Ox.按逆时针转时间t后得POP0t，POxt.此时P点纵坐标为2sin，d2.当t0时，d，排除A、D；当t时，d0，排除B.4如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是()解析：选C令AP所对圆心角为，由|OA|1，则l，sin ，d2sin 2sin ，即df(l)2sin (0l2)，它的图象为C.5

10、一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s3cos，t，则小球摆动的周期为_解析：T.答案：6据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元根据以上条件可确定f(x)的解析式为_解析：由条件可知，B7，A972.又T2(93)12，.3月份达到最高价，3，0.所以f(x)的解析式为f(x)2sin x7.答案：f(x)2sin x7(1x12，xN)7如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条

11、运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0，4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.求A，的值和M，P两点间的距离解：依题意，有A2，3，即T12.又T，.y2sin x，x0，4当x4时，y2sin 3.M(4，3)又P(8，0)，MP5(km)即M、P两点间的距离为5 km.8在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式dAsin(t

12、)h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?解：(1)依题意知T12，故，h12.2，A1612.23.8，所以d3.8sin12.2；又因为t4时，d16，所以sin1，所以，所以d3.8sin12.2.(2)t17时，d3.8sin12.23.8sin 12.215.5(m)(3)令3.8sin12.210.3，有sin，因此2kt2k(kZ)，所以2kt2k2，kZ，所以12k8t12k12.令k0，得t(8，12)；令k1，得t(20，24)故这一天共有8 h水深低于10.3 m.