第一章量子力学的诞生

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1、第一章量子力学的诞生1 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为11.5m2时的窗子所衍射2 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半

2、径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂3导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）0介子的寿命；( 9 ）-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命4指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子

3、性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射5考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启6验算三个系数数值：（1）；（2）；（3）hc第二章：函数与波动方程1 试用量子化条件,求谐振子的能量谐

4、振子势能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E则 代入公式得: 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,(1)改写为: (2)积分得:遍乘得乙法也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分: (4)求积分: (5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得 正整数#2一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。解 首先将归一化，求归一化系

5、数A。（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令 代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：一维的傅里叶变换的系数是而不是。傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速

6、度,能量是利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有 (1)说明是量子化的 (.) (2)代入能量公式,得能量量子化公式: (3)#4有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: (1)又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 (2)即 (3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代入前式得运动电荷的磁势能= (符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势

7、能=E= ( )#5对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出: (1) (2)试根据哈密顿量 (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,因而 (4)从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方, 又用于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定 （是频

8、率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：， （7）#6（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常数，因

9、而，存在约束条件： （2）求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)再求（2）的变分 (3)与(4)消去和得 (5)乙法见同一图,取为变分参数,取0为原点，则有: 求此式变分,令之为零,有： 这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度应等于光波的群速度光程原理作,依前题相速,而,是折射率,是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前一非难是将光子的传播速度看作相速度的误解.#7当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是 将方程式左边加

10、减相等的量得: 这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。#8设粒子势能的极小值是 (证)先求粒子在某一状态中的平均值能量其中动能平均值一定为正: = =用高斯定理: =中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量平均值 因此令(本征态)则而 得证# 9设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。证明试将此式对时间求偏导数，再利用，所满足的薛定谔方程式，有：因 最后一道等号是利用高斯定理将题给的体积分（）变换成（）的包围面S的面积分，若1，2满足平方可积条件 等，可使这面积分等于零。所以体积分是与时间无关的。#10 考

11、虑单粒子的薛定谔方程式： V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间一定体积中粒子出现的总几率，按Born假设，总几率是 求总几率的时间变化率 （1）再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出和，有 （2）将（2）代入（1），化简后得 利用高斯定理将右方第一项变形： （3）如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处，因而（3）式的面积分等于0。 （4）这证明总几率不守恒，因为。如果考察有限体积之内总几率的变化率，令：（3）式改写为： （5）是空间内粒子几率减少或增加的速

12、度，右方是指的包围面S上几率流动的速度（流进或流出），右方指由虚数势能引起的，附加的几率变化速率，题目所指的是这一项。 11对于一维自由运动粒子，设求。 （解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是，能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令应有 （2）但按题意，此式等于。但我们知道一维函数一种表示是： （3）将（2）（3）二式比较：知道，并且求得，于是（1）成为 （4）这是符合初条件的波函数，但之间尚有约束条件（因为是自由粒子，总能量等于

13、动能），代入（4） （5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： 利用积分 ： 写出共轭函数（前一式变号）： 本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。# 12证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即 （证明）薛定谔方程式为： （1）根据它的解和它的共轭波函数可写出几率密度和几率流密度： 速度算符 因而证明v是一个标量场的对数的梯度。梯度是非旋的。 第三章： 一维定态问题1对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明 并证明当时上述结果与经典结论一致。解写出归一化波函数： （1）先计算坐标平均值：利用公式： （2）得 （3

14、）计算均方根值用以知，可计算利用公式 （5） （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。故当时二者相一致。2试求在不对称势力阱中粒子的能级。 解 （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下：(x0区)： （1）（0xa区）： （3）但 写出在连接点x=0处连续条件 （4） （5）x=a处连续条件 （6） （7）（4）（5）二式相除得（6）（7）二式相除得从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系 解出，得 （8）最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：（乙法）在0x0区）中仅有透射波 (2)但 考虑在

15、原点0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有： 即 (3) 即 (4)因按题意要计算反射系数， 同理 (5)，若求比值，可从（）（）消去，得到： #5试证明对于任意势垒，粒子的反射系数满足。（解）任意的势垒是曲线形的，如果（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示（x）满足二点特性： (1) (2) 我们近似地认为当时波函数的解是 时波函数的解是 但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度 应等于反射的 和透射的 的和，即： (1)仿前题的算法，不必重复就可以写出： (2)这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除得： 即

16、 得证将（2）式遍除得另一种形式：#6设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： 描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是 （1）题给波函数可用本征函数展开： 因此 是非本征态，它可以有二种本征态，处在态上的几率是。这时能量是，处在态上的几率是，这时能量是。 （乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C，其余同。按一般原理，将已知函数 展开成算符的分立本 数谱时，有 在本题中，有 按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1，或3。，其余与甲法同。#7设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系： （解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，

17、应先写出归一化波函数： 但 （1）于是 （2）为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式： （3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘，重复用公式 （4）将此式代入（2）此式最后一式第一项。第三项都和 的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化 再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式： （是振子质量）将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：= 因m=0, 而#8 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。(解)在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的

18、能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。 但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：（n=1,2,3,）这种解是能量本征态，相应的能量按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开：（1） （1） （2）利用积分公式： 于（2）式，可求得： （3）此式只有为奇数时才不为0，故只有量子数奇数的态 （4）仍是归一化的，故粒子具有能级：的几率是 （5）（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算： （n奇数） （6） 根据福利衰级数可计算(n奇) 有几种方法，例如： ()上式中令x=0立刻得 (7)代(6)式得 另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值: 能够这样

19、的原因是是厄米算符.(3)能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果,既的值来计算. 但关于此求和式也用福利衰级数 （展开区间）此式中可取,代入得, （补白）：本题若直接用积分求要利用厄米性： #9一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。 （解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式: 利用不定积分公式 用于前一式： (n奇数) ， (n偶数)动量几率密度分别是 ， （n奇数）， (n偶数)#10写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布。 （解）（一）主要方法是利用一维动量波函数的变换式： （1）

20、先写出座标表象的薛定谔方程式： （2）遍乘，再对坐标求积分，的到一种关系式：利用分部积分，并使用 的边界条件，分别计算（3）各项： (4) (5)将（4）（5）代入（3）再加整理后，得到动量表象的薛定谔方程式： (6)最后一式已将偏导数改成导数，（6）和（2）的形式相似，因此如果在（2）式中作以下替代，就得到（6）式： （二）动量波函数的计算 根据动量表象的薛定谔方程式（6），先设法将（6）变形，形成为和坐标衰象薛定谔方程式形式一样，首先使二阶导数形式相同，将（6）遍除m22得： (7) 和（2）比较系数，发现若将动量表象式（3）中换成，（7）式变成： （8）但 ，这样（8）和（2）形式全同，

21、它们的解的形式也同，但（2）的解是： （9）因此（8）或（7）的解是： （10）但动量的分布，即动量几率密度是： （11）本题是第一章第15题的特例，又因为势能的形式很特殊，所以能用类似方法求解。假使换了别种形式的势能。常要用积分方程求解。（11） 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。解：(1) (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 # （12）.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

22、 令 当为几率最小位置 是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数 （13）证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 式中为单位矢量 中的和部分是实数。 可见， （14）一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 取其解为 (可正可负可为零)由波函数的单值性，应有 即 m= 0，1，2，转子的定态能量为 (m= 0，1，2，)可见能量

23、只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 A为归一化常数，由归一化条件 转子的归一化波函数为 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为 (式中设为的本征函数，为其本征值) 令 ，则有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是重简并的。（15） 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 （16）一维运动粒子的状态是 其中，

24、求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 动量几率分布函数为 (2) 第四章 力学量和表象变化1指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ； ； 答案： 是； 不是 ； 是 2 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 答案：不是； 是 ； 是 3 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？ ， ， ，答案：不是；是,本征值是1；是,本征值是-1;是,本征值是-1;是,本征值是-1。4 试求算符的本征函数。答案：5 设波函数，求答案：6 证明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的。7 问下列算符是否是厄米算符：； 。答案：不是；是。8

25、如果算符满足关系式，求证9 求 ； ； 答案：0；10 设是的可微函数，证明下述各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）11 证明以下诸式成立： (1) (2) (3) (4) 12为粒子角动量。F为另一力学量，证明： 其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。13 设算符A，B与它们的对易式A，B都对易。证明(1) (2)14 证明 15 证明 是厄密算符16 证 (A 等是实数)是厄密算符17 证明（实数）是厄密算符。18证明，若 当大时并不趋于0，则 不一定是厄密算符。19 证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。A,B是经典力学中的pois

26、son括弧在多变量情形i=1,2,3.i自由度20 设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明： ; 整函数是指，是数值系数第五章：对称性及守恒定律证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式遍乘即得待证式。证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本5.1）（）今代表的本征态，故满足本征方

27、程式（为本征值）（）又因为是厄密算符，按定义有下式（需要是束缚态，这样下述积公存在）（）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（）（）代入（）得：因，而设粒子的哈密顿量为。证明。证明：对于定态（证明）（），运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：（）分动量算符仅与一个座标有关，例如，而不同座标的算符相对易，因此（）式可简化成：（）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： （）（）将（）（）代入（），得：代入（），证得题给公式：（）（）在定态之下求不显含时间的力学量的平均值，按前述习题的结论，其结果是零，令则（）但动能平均值由前式4证明，对于一维波包：（解）一维波包的态中

28、，势能不存在故（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：（）但（）因（）代入（）式，得到待证的一式。5求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符应满足：（）又对于自由粒子，有（不随时间变化）令为海氏表象座标算符；代入（）（）但 （）代入（），得：积分得将初始条件时，代入得，因而得到一维座标的海氏表象是：6求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。（解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：（）解法同于前题，有关坐标的运动方程式是：（）将等式右方化简，用前一题的化简方法：（）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，与有

29、关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：化简右方 = 将对时间求一阶导数,并与式结合,得算符的微分方程式:这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率，它的解是： ，待定算符，将它求导，并利用： 将t=0代入：x(0)=A P（0）=B，最后得解： 在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:1.1.p.47-48 Addison-Wesley7 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：证明：总动量为守恒。证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求：

30、 =+ 最后一式的第一个对易式中，因为： ， ，故整个 至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式 =又式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和动量算符永远能够对易，式又能简化成： =再运用对易式（第四章11题） 代入上式得： =满足式，故式得征。8 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。证明与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能： 要考察合力矩是否守恒，可以计算的分量看其是否等于零。 最后一式中，因为 因而可以化简： 用对易关系： 最后一式第一求和

31、式用了等，第二求和式用了：见课本上册P111，最后的结果可用势能梯度内力表示，因内力合矩为零，故有 同理可证 因此是个守恒量。9证明：对经典力学体系，若A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。 证明先证第一总分，设qi 为广义坐标，pi为广义动量，A qi ，pi和B qi ，pi 是任意力学量, i=1,2,3,为坐标或动量编号，s自由度，则经典Poisson括号是：（前半题证明c.f.Goldstein：Clessical Mechanlcs）在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是 或写作：将哈密

32、顿正则方程式组： 代入前一式得 因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是： 假定以上两条件都适合，我们来考察A，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：为了考察前一式，可令：将此式用泊松括号的定义展开得：仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵消，只留下H的一阶导数的项，化简形式如下： 式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数(这不失普遍性，F与H无关)，代入式后有前式中的值可在中，作替代AB，B得到，求法类似。再在式中，令H=，得：I=F（A，B）因而得： 同理令H=得：将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到

33、：A，B，HB，A，H这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形，守恒的条件是 再考察 将此式加减后得到：若，是守恒量，前一式等号右方，左方所以也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若是守恒量，则有共同本征态，在此态中测得的值为确定值A0和B0（初始时刻的值），的值为0。 10对于平面转子（转动惯量I），设：试求 解平面转子的定位坐标是转角，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，自变量的情形。首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I，角动量（相当于）和动量T的关系是T=，转子的势能是零，又在球面极座标中导得，故转子

34、哈氏算符： 根据本章5.1的状态的波函数采用海森伯表象时记作，采用薛定谔表象时是,则二者有函数变换关系是： 本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据式有： 将式运算于题给的海森伯表象波函数注意到： 还是非归一化的波函，要将归一化，应乘常数。 11证明周期场中的Bloch波函数（3.4） ，是的本征函数，相应的本征值是。（证明）是位移算符，它的本征态具有空间的移动（或平移）的对称性，假使是这种态，则同时是有运动对称性的： 将作用于Bloch函数：第六章 中心立场1 质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标及相对坐标为：= (1) ；r (2)试求总动量及总角动

35、量在, 表象中的算符表示。答案：；2 证明 ，3 中心力场中的经典粒子的哈密顿量是其中。当过渡到量子力学时，要换为 问是否厄米算符？是否厄米算符。答案： 参考：CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(1973) 和CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961)4 经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？答案：经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。5 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。答案：; ; 6 在动

36、量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。答案： （3）式中 7 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（EV）=T0 的几率。答案：8 证明，对于库仑场，（是总能量）9 对于氢原子的，计算 答案：详见C.f.Mott.Sneddon:Wave Mechanics and its Applica tions.p.380-381。10 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+e-的束缚态）的能级。（2）介原子的能谱。（3）介子素（指+-e-束缚态）的能谱。答案：；11 在（）表象中，的子空间是几维？求在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出本征值及征

37、矢。答案：三维；本征值本征失： ， ， 12 证明能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。13 证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l0的能级的条件是：V0与a应满足 14 采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。答案：15 设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a，求粒子的能量。答案：16 粒子在半径为，高为的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。答案：17 设，求粒子的能量本征值。答案：第七章：粒子在电磁场中的运动1证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： （1） （2） （3）证明根据正则方程组： ，同理 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： = （4）正则动量与梯度算符相对应，即 ，因此 又仅与点的座标有关 （因）其余二式依轮换对称写出。2利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）（解）设磁场沿Z轴方向，矢势的一种可能情形是在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）速度算符间的对易式是：根据（），分别和，对易，因此与对易，而：与有共同的本征函数，的本征值是本征值之和。 但，这和有心力势场一样是完全集合，（6