中考数学总复习基础讲练：图形的相似

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1、 第27讲图形的相似考试-目标锁定考纲要求备考指津1.了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题2.了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用3.了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明基础自主导学考点一比例线段1比例线段的定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或abcd)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比

2、例线段2比例线段的性质：(1)基本性质：adbc；(2)合比性质：；(3)等比性质：若(bdn0)，那么.3黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比考点二相似多边形1定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等2性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比；(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方考点三相似三角形1定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形2判定：(1)平行于三

3、角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似3性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方考点四图形的位似1定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比2

4、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比3画位似图形的步骤(1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形1若，则()A B C D2如图所示的两个四边形相似，则的度数是()A87B60 C75 D1203如图，ABC中，点D在边AB上，满足ACDABC，若AC2，AD1，则DB_.4如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若ABC与A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_5如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形

5、的顶点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：ACBDCE；(2)求证：EFAB规律-方法探究一、相似图形的性质【例1】 如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm2解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得()2，S阴影8(cm2)答案：C相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积二、相似三角形的性质与判定【例2】

6、如图，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由解：(1)ABCADE，ABDACE.(2)证明ABCADE.BADCAE，BADDACCAEDAC即BACDAE.又ABCADE.ABCADE.证明ABDACE.ABCADE，又BADCAE，ABDACE.判断两三角形相似时，首先看是否存在两对对应角相等；若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E. (1)求证：ABDC

7、ED(2)若AB6，AD2CD，求BE的长三、位似图形【例3】 如图，ABC与ABC是位似图形，点O是位似中心，若OA2AA，SABC8，则SABC_.解析：位似图形一定是相似图形，并且对应点到位似中心的距离之比等于位似比OA2AA，.ABC与ABC的位似比是23.()2.SABC8，SABC18.答案：18位似图形一定是相似图形，利用相似多边形的性质解决所要求的问题四、相似三角形的应用【例4】 问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60

8、 cm.乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH与O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径(友情提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式156220822602)解：(1)如题图，ABCDEF，AB80 cm，AC60 cm，DF900 cm，.DE1 200(cm)，即DE12 m.故学校旗杆的高度是12 m.(2)如题图(3)

9、，连接OM，设O的半径为r cm.与(1)类似得，即.GN208.在RtNGH中，根据勾股定理得NH2156220822602，NH260.NH切O于M，OMNH.则OMNHGN90，又ONMHNG.OMNHGN.又ONOIINOI(GNGI)r8，解得r12.景灯灯罩的半径是12 cm.应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解知能优化训练1(2012贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为21，则下列结论正确的是()AE2KBBC2HIC六边形ABCDEF的周长六边形GHI

10、JKL的周长DS六边形ABCDEF2S六边形GHIJKL2(2012重庆)已知，ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_3(2011浙江湖州)如图，已知梯形ABCD，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，AOD与BOC的面积之比为19，若AD1，则BC的长是_4(2011山东菏泽)如图，BD为O的直径，ABAC，AD交BC于点E，AE2，ED4，(1)求证：ABEADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BFBO，连接FA，试判断直线FA与O的位置关系，并说明理由1如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是()2如

11、图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：BC2DE；ADEABC；，其中正确的有()A3个 B2个 C1个 D0个3如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，若ADAB34，AE6，则AC等于()A3 B4 C6 D84一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()A第4张 B第5张C第6张 D第7张5已知ABC与DEF相似且对应中线的比为23，则ABC与DEF的周长比为_6如图，12，添加一个条件：_，使得ADEACB7如图

12、，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG1，BF2，GEF90，则GF的长为_8张明同学想利用树影测量校园内的树高他在某一时刻测得小树高为1.5 m时，其影长为1.2 m当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1.4 m，那么这棵大树高约为_ m.9如图，直角梯形ABCD中，ADC90，ADBC，点E在BC上，点F在AC上，DFCAEB(1)求证：ADFCAE；(2)当AD8，DC6，点E，F分别是BC，AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积参考答案基础自主导学自主测试1D2.A334

13、.(9,0)5证明：(1)，.又ACBDCE90，ACBDCE.(2)ACBDCE，ABCDEC.又ABCA90，DECA90.EFA90，EFAB.规律方法探究变式训练解：(1)证明：ABC是等边三角形，BACACB60，ACF120，CE是外角平分线，ACE60，BACACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)作BMAC于点M(如图)，ACAB6，AMCM3，BMABsin 603.AD2CD，CD2，AD4，MD1.在RtBDM中，BD2.由(1)ABDCED得，即2，ED，BEBDED3.知能优化训练中考回顾1B2.913.34解：(1)证明：ABAC，ABCC，CD.ABCD.又BAEEAB.ABEADB.(2)ABEADB，AB2ADAE(AEED)AE(24)212.AB2.(3)直线FA与O相切理由如下：连接OA，BD为O的直径，BAD90，BD4，BFBOBD2，AB2，BFBOAB，OAF90，直线FA与O相切模拟预测1A2.A3.D4.C 5236DC(答案不唯一)7389.49解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，DAFACE.DFCAEB，DFAAEC，ADFCAE.(2)由(1)知：ADFCAE，.AD8，DC6，ADC90，AC10.又F是AC的中点，AFAC5.，CE.E是BC的中点，BC2CE.直角梯形ABCD的面积661.