2016-2017年甘肃省天水二中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

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1、2016-2017学年甘肃省天水二中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x240，B=x|1x5，则A（RB）=（）A（2，0）B（2，1）C（2，1D（2，2）2（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D3（5分）设D为ABC所在平面内一点，=3，则（）A=+B=C=+D=+4（5分）若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD5（5分）函数y=sin（2x）在区间，的简图是（）ABCD6（5分）在ABC中，内

2、角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30B60C120D1507（5分）已知f（x）=ax2xc，若不等式f（x）0的解集为x|2x1，则函数y=f（x）的图象为（）ABCD8（5分）已知函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x32x，则f（2）+g（2）=（）A4B4C2D29（5分）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD10（5分）已知数列an满足：a1=2，an+1=1，设数列an的前n项和为Sn，则S2017=（）A1007B1008C1009.5D101011

3、（5分）若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，212（5分）定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）若实数a，b满足，则ab的最小值为14（5分）数列an中，a1=1，an+1=，则数列an的通项公式an=15（5分）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于nN*，1+2+n+2+1=16（5分）已知实数x，y满足，则z=（x1）2+

4、y2的最小值是三、解答题（本大题共6题，写出相应的解答过程）17（10分）已知向量=（cosx，1），=（sinx，cos2x），函数f（x）=+若x0，f（x）=，求cos2x的值18（12分）已知等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6（1）求数列an的通项公式an（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn19（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S20（12分）已知函数f（x）=x2+（a1）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn，且Sn

5、=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn21（12分）已知数列an是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列bn满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1）求数列an，bn的通项公式（2）数列an的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）bn+73n对一切nN*恒成立，求实数的取值范围22（12分）已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为1（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x0时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（

6、x0，+）时，恒有xcex2016-2017学年甘肃省天水二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016秋麦积区校级期末）已知集合A=x|x240，B=x|1x5，则A（RB）=（）A（2，0）B（2，1）C（2，1D（2，2）【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行运算即可【解答】解：集合A=x|x240=x|2x2，B=x|1x5，RB=x|x1或x5，A（RB）=x|2x1=（2，1故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2（5分）（20

7、13上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题3（5分）（2016春澄城县期末）设D为ABC所在平面内一点，=3，则（）A=+B=C=+D=+【分析】根据向量减法的几何意义便有，而根据向量的数乘运算便可求出向

8、量，从而找出正确选项【解答】解：；故选A【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算4（5分）（2016秋麦积区校级期末）若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：故选：D【点评】本题主要考查等差数列的性质，如果两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，仿照本题解析的方法一定有关系式5（5分）（2017西青区模拟）函数y=sin（2x）在区间，的简图是（）ABCD【分析】根据函数解析式可得当x=时，y=sin（20，故排除A，D；当x=时，y=sin0=0，故排除C，从而得解【解答】解：

9、当x=时，y=sin（2=sin（）=sin=0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2）=sin0=0，故排除C；故选：B【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题6（5分）（2014濮阳二模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30B60C120D150【分析】先利用正弦定理化简得 c=2b，再由 可得 a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值【解答】解：由及正弦定理可得 c=2b，再由 可得 a2=7b2 再

10、由余弦定理可得 cosA=，故A=30，故选A【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题7（5分）（2016秋麦积区校级期末）已知f（x）=ax2xc，若不等式f（x）0的解集为x|2x1，则函数y=f（x）的图象为（）ABCD【分析】由已知可得函数f（x）的图象开口朝下，且有零点2和1，结合函数y=f（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于y轴对称，可得答案【解答】解：不等式f（x）0的解集为x|2x1，则函数f（x）的图象开口朝下，且有零点2和1，函数y=f（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于y轴对称，故函数y=f（x）的图象开口朝下，且有零

11、点2和1，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的零点，函数的对称变换，难度中档8（5分）（2016秋麦积区校级期末）已知函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x32x，则f（2）+g（2）=（）A4B4C2D2【分析】利用函数f（x）是偶函数可得f（x）=f（x），g（x）是奇函数可得g（x）=g（x），构造方程组，求解f（x）和g（x）的解析式，即可求解f（2）+g（2）的值【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）g（x）=x3+2x，那么：f（x）g（x）=x3+2x，由可得：f（x）=（2x+2x），g

12、（x）=（2x3+2x2x）f（2）+g（2）=（4+）+（16+4）=4故选：B【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力9（5分）（2016平度市三模）已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A2BCD【分析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SOAB，垂足为O，SO底面ABCD，SO=2，底面为边长为2的正方形，几何体的体积V=22=故选：B【点评】本题考查了由三视图

13、求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键10（5分）（2016秋麦积区校级期末）已知数列an满足：a1=2，an+1=1，设数列an的前n项和为Sn，则S2017=（）A1007B1008C1009.5D1010【分析】依题意，可求得an是以3为周期的数列，且S3=2+1=，从而可求得S2017的值【解答】解：a1=2，an+1=1，a2=1=；a3=12=1，a4=1（1）=2，数列an是以3为周期的数列，又S3=2+1=，2017=3672+1，S2017=672+2=1010故选：D【点评】本题考查数列递推式的应用，求得数列an是以3为周期的数列是关键，考查推理与运

14、算能力，属于中档题11（5分）（2015武汉模拟）若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，2【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax42x2+4x，可化为（a2）x2+2（a2）x40，当a2=0，即a=2时，恒成立，合题意当a20时，要使不等式恒成立，需，解得2a2所以a的取值范围为（2，2故选B【点评】本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题12（5分）（2013湖州二模）定义为n

15、个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD【分析】由已知得a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n2时，an=SnSn1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和【解答】解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，=+（）+（）=1=故选C【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）（2016秋麦积区校级期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为【分析】利用基本不等式的性

16、质即可得出【解答】解：实数a，b满足，a，b0，解得ab，当且仅当b=2a=时取等号则ab的最小值故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）（2016秋麦积区校级期末）数列an中，a1=1，an+1=，则数列an的通项公式an=【分析】由a1=1，an+1=，两边取倒数可得：=，即=，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由a1=1，an+1=，两边取倒数可得：=，即=，数列是等差数列，首项为1，公差为=1+（n1），解得an=故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）

17、（2016秋麦积区校级期末）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于nN*，1+2+n+2+1=n2【分析】由已知中1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，进而可得答案【解答】解：由已知中：1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，故答案为：n2【点评】归纳推理的一般步

18、骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）16（5分）（2016秋麦积区校级期末）已知实数x，y满足，则z=（x1）2+y2的最小值是2【分析】作出不等式组对应的平面区域，则z=（x1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=（x1）2+y2的几何意义为动点P（x，y）到定点（1，0）的距离的平方，过点A（1，0）作AB垂直直线x+y3=0，则|AB|的距离最小，则圆心A到直线x+y3=0的距离d=，此时z=d2=2，故答案为：2【

19、点评】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键三、解答题（本大题共6题，写出相应的解答过程）17（10分）（2016秋麦积区校级期末）已知向量=（cosx，1），=（sinx，cos2x），函数f（x）=+若x0，f（x）=，求cos2x的值【分析】函数f（x）=+，根据平面向量数量积运算求出f（x），化简，找出与cos2x的关系即可求解【解答】解：由题意：函数f（x）=+，=，当x0，f（x）=，即=【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题18（

20、12分）（2016秋麦积区校级期末）已知等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6（1）求数列an的通项公式an（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）知bn=32n1=，再利用等比数列的定义及其通项公式、求和公式即可得出【解答】解：（1）等比数列an的各项均为正数，设公比为q，由a32=9a2a6，可得=9可得a3=3a4，q=，又2a1+3a2=1，2a1+3a1=1，解得a1=，an=（2）由（1）知bn=32n1=，=9与n无关，故bnz是等比数列，公比为9，首项为3Sn=【点评】本题考查了数列递推关系

21、、等差数列与等比数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2016秋麦积区校级期末）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA2cosC）sinB=（2sinCsinA）c

22、osB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）因为A+B+C=，所以sinC=2sinA因此=2（6分）（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c22accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a24a2解得a=1，从而c=2因为cosB=，且sinB=，因此S=acsinB=12=（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题20（12分）（2016秋麦积区校级期末）已知函数f（x）=x2+（a1

23、）x+b+1，当xb，a时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列an的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）依题意，可求得a=1，b=1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=SnSn1=2n+1（n2），观察即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得Tn=5【解答】解：（1）函数f（x）的图象关于y轴对称，a1=0且a+b=0，解得a=1，b=1，f（x）=x2，Sn=f（n+1）1=（n+1）21=n2+2n即有an=SnSn1=2n+1（n2），a1=S1=1也满足，an=2

24、n+1；（2）由（1）得bn=，Tn=+，Tn=+，得Tn=+=+2=+2=Tn=7【点评】本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题21（12分）（2016湖南四模）已知数列an是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列bn满足bn+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1）求数列an，bn的通项公式（2）数列an的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）bn+73n对一切nN*恒成立，求实数的取值范围【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列an的通项公式；数列bn为等差数列，公差d=1，可求数列bn的通项公式；（2）不等式nl

25、og2（Tn+4）bn+73n化为n2n+7（n+1），可得对一切nN*恒成立，利用不等式，即可得出结论【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，则是a2和a4的等差中项，q1，q=2，依题意，数列bn为等差数列，公差d=1又，b1=2，bn=n+1（6分）（2）不等式nlog2（Tn+4）bn+73n化为n2n+7（n+1）nN*（9分）对一切nN*恒成立而当且仅当，即n=2时等式成立，3（12分）【点评】本题考查数列的通项于求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题22（12分）（2014福建）已知函数f（x）=exax（a为

26、常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为1（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x0时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=exx2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则exx2x，即xcex即得结论成立【解答】解：（1）由f（x）=exax得f（x）=exa又f（0）=1a=1，a=2，f（x）=ex2x，f（x）=ex2由f（x）=0得x=ln2，当xln2时，f（x）0

27、，f（x）单调递减；当xln2时，f（x）0，f（x）单调递增；当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln22ln2=2ln4f（x）无极大值（2）令g（x）=exx2，则g（x）=ex2x，由（1）得，g（x）=f（x）f（ln2）=eln22ln2=2ln40，即g（x）0，当x0时，g（x）g（0）0，即x2ex；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=0当x（x0，+）时，由（2）得exx2x，即xcex对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x（x0，+）时，恒有xcex【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想属难题2017年2月18日