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1、二次根式的化简求值第八讲 二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和 统称有理式有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简 求值的重点与难点这类问题包容了有理式的众多知识， 又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要 概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等 重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件 化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形， 有时需把已知条件和待求式同时变形例题求解【例 l 】已知 ，那么 的值 等于 （ 河北省初中数学创新与知识应用竞赛题 ）思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条
2、件和待 求式的被开方数都用 的代数式表示【例 2】 满足等式 的正整数对 （x ，y） 的个数是A 1 B 2 C 3 D （全国初中数学联赛题 ） 思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形， 将问题转化为求不定方程的正整数解分式例 3】已知 a、b 是实数，且 ，问 a、b 之间有怎样的关系 ?请推导（ 第 20 届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改 编 ）思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程 中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方 法是有理化【例 4】 已知： （0a1） ，求代数式 的值（ 四川省中考题 ）思路点拨 视 为整体，把 平 方 ，移项用含 a 代 数式表示 ，注意
3、 0a1 的制约【例 5】 （1） 设 a、 b、c、 d 为正实数， ab，cd，bcad ，有一个三角形的三边长分别为， ， ，求此三角形的面积；（ “五羊杯”竞赛题 ）（2）已知 a, b 均为正数，且 a+b=2,求 U=的最小 值（ 北京市竞赛题 ）思路点拨 （1） 显然不能用面积公式求三角形面积 （ 为什么 ?） ， 的几何意义是以 a、c 为直角边的直角三角 形的 斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为 几何问题加以解决；（2）用代数的方法求 U 的最小值较繁， 运用对称分析，借助图形求 U 的最小值.学力训练1已知 ， ，那么代数式 值为 2若 (0a1) ，则 = 3已
4、知 ，则 的值(2 武汉市中考题 )4已知 a 是 的小数部分，那么代数式 的值为( 黄石市中考题 )5若 ，则 的值是 ( )A 2 B4 C6 D 8 ( 河南省竞赛题 )6已知实数 a 满足 ，那么 的值是 ( )A 1999 B 2000 C 2001 D 20027设 ， , ，则 a、 b 、 c 之间的大小关系是 ( )A abc Bcba C cab D acb8设 ，则 的值为 ( )A B C D 不能确定9若 a0， b0， 且 ，求 的值10已知 ，化简 11已知 ，那么 = ( “信利杯”全国初中数学竞赛题 )12已知 ，则 = 13已知 的最小值为 = (“希望杯”
5、邀请赛试 题)已知 ，则 = （ 江苏省竞赛题 ）15. 1+a2 如果，那么 a3b3 c3 的值为（）A 2002 B 200 1 C 1 D 0（ 武汉市选拔赛试题 ）16.已知，,，那么 a、b、c 的大小关系是（）A ab c B bac C cba cab（ 全国初中数学联赛题 ）17当 时，代数式 的值是 （ ）A 0 B 一 1 C 1 D 22003 （2002 年绍兴市 竞赛题 ）18设 a、 b、 c 为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c 的值是（）A 1999 B 2000 C 2001 D 不能确定（ 全国初中数学联赛试题 ）19.某船在点 0 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 60的方向，船向西航行 20 海里到达 B 处，测得电视塔 在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近 ?20.已知实数 a、b 满足条件，化简代数式，将 结果表示成不含 b 的形式21已知 （a0） ，化简：22已知自然数 x、y、 z 满足等式 值 （ 加拿大“奥求 x+y+z 的林匹克”竞赛题 ）
二次根式的化简求值
