2016年河北省衡水市故城高中高三上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

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1、2015-2016学年河北省衡水市故城高中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每小题5分）1若集合P=x|2x4，Q=x|x3，则PQ等于（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x32复数（3+2i）i等于（）A23iB2+3iC23iD2+3i3以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A2BC2D14设命题p：xR，x2+10，则p为（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+105已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，

2、则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn6将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为Cy=f（x）的图象关于直线x=对称Dy=f（x）的图象关于点（，0）对称7已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）8已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A21B42C63D849要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该

3、容器的最低总造价是（）A80元B120元C160元D240元10设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D411设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD12已知圆C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域=，若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A49B37C29D5二填空题（共4题，每题5分）13在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于14函数f（x）=的零点个数是15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为三解

4、答题（共6题，17题10分，其它各题12分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积18已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值19在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点（）求证：平面ABEB1BCC1；（）求证：C1F平面ABE；（）求三棱锥EAB

5、C的体积21设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（）设函数m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值22已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省衡水市故城高中高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、

6、选择题（共12题，每小题5分）1若集合P=x|2x4，Q=x|x3，则PQ等于（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x3【考点】交集及其运算【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4故选A2复数（3+2i）i等于（）A23iB2+3iC23iD2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=2+3i故选：B3以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A2BC2D1【考点】旋转体（圆柱、圆锥

7、、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：121=2，故选：A4设命题p：xR，x2+10，则p为（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+10【考点】命题的否定【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解命题p：xR，x2+10，是一个特称命题p：x0R，x02+10故选B5已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下

8、列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，n，则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对【解答】解：在正方体ABCDABCD中：令底面ABCD=A、令m=AB，n=BC，满足m，n，但mn不成立，A错误；B、令m=AA，n=AB，满足m，mn，但n不成立，B错误；C、令m=AB，n=AD，满足m，mn，但n不成立，C错误；故选：D6将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）Ay=f（x）是奇函数By=f（x

9、）的周期为Cy=f（x）的图象关于直线x=对称Dy=f（x）的图象关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（）=0即可得到正确选项【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx即f（x）=cosxf（x）是周期为2的偶函数，选项A，B错误；cos=cos（）=0，y=f（x）的图象关于点（，0）、（，0）成中心对称故选：D7已知函数f（x）=log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A（0，1）B（1

10、，2）C（2，4）D（4，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】可得f（2）=20，f（4）=0，由零点的判定定理可得【解答】解：f（x）=log2x，f（2）=20，f（4）=0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C8已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A21B42C63D84【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解：a1=3，a1+a3+a5=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a

11、7=3（2+4+8）=42故选：B9要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A80元B120元C160元D240元【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则长方形容器的容器为4m3，高为1m，底面面积S=ab=4，y=20S+102（a+b）=20（a+b）+80，a+b2=4，当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C

12、10设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D4【考点】向量在几何中的应用【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，M是平行四边形ABCD的对角线的交点，=2=4故选：D11设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD【考点】平行向量与共线向量【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由=；故选：A12已知圆C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域=，若圆心C，且圆

13、C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A49B37C29D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1圆心C，且圆C与x轴相切，b=1，则a2+b2=a2+1，要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C二填空题（共4题，每题5分）13在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于1【考点

14、】余弦定理【分析】利用余弦定理计算即可【解答】解：由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ABACcosA，即3=4+AB22AB，解得AB=1，故答案为：114函数f（x）=的零点个数是2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论【解答】解：当x0时，由f（x）=0得x22=0，解得x=或x=（舍去），当x0时，由f（x）=0得2x6+lnx=0，即lnx=62x，作出函数y=lnx和y=62x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x0时，函数有1个零点故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：215某几何体的三视图如图所示，则该几何体

15、的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，该几何体的体积为：V=故答案为：16设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为2【考点】基本不等式【分析】将z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2yz的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23

16、xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+323=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y0），x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz的最大值为2故答案为：2三解答题（共6题，17题10分，其它各题12分）17ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：

17、（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=18已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中x的范围

18、，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxcosx）=所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x，得，2x，则，当=时，即=1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为19在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（）把（）中求得的an代入bn=log3an，得

19、到数列bn的通项公式，由此得到数列bn是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得；（），bn=log3an，则数列bn的首项为b1=0，由bnbn1=n1（n2）=1（n2），可知数列bn是以1为公差的等差数列20如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点（）求证：平面ABEB1BCC1；（）求证：C1F平面ABE；（）求三棱锥EABC的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分

20、析】（）证明ABB1BCC1，可得平面ABEB1BCC1；（）证明C1F平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1FEG；（）利用VEABC=，可求三棱锥EABC的体积【解答】（）证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，BB1AB，ABBC，BB1BC=B，AB平面B1BCC1，AB平面ABE，平面ABEB1BCC1；（）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，F是BC的中点，FGAC，FG=AC，E是A1C1的中点，FGEC1，FG=EC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG，C1F平面ABE，EG平面ABE，C1F平面ABE；（）解：AA1=AC=2，BC=

21、1，ABBC，AB=，VEABC=21设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（）设函数m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值

22、，由零点存在定理，即可判断存在k=1；（）由（）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求【解答】解：（）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f（x）=lnx+1+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为f（1）=1+a，由切线与直线2xy=0平行，则a+1=2，解得a=1；（）由（）可得f（x）=（x+1）lnx，f（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h（x）=，当x（0，1），h（x）0，h（x）在（0，1）递减，当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）递增当x=1时，h（x）min=h（1）=20，即f（x）0，f（x）在（0，+）递增，即有f（x

23、）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为g（x）=，当x（0，2），g（x）0，g（x）在（0，2）递增，当x2时，g（x）0，g（x）在（2，+）递减则x=2取得最大值，令T（x）=f（x）g（x）=（x+1）lnx，T（1）=0，T（2）=3ln20，T（x）的导数为T（x）=lnx+1+，由1x2，通过导数可得lnx1，即有lnx+1+2；ex1+x，可得，可得lnx+1+2+=0，即为T（x）0在（1，2）成立，则T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（）由（）知，m（x）=，其中x0（1，2），且x

24、=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，则有m（x）的最大值为m（2）=22已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围【考点】带绝对值的函数；其他不等式的解法【分析】（）不等式等价于，或，或分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a1|4，解此不等式求得实数a的取值范围【解答】解：（）不等式f（x）6 即|2x+1|+|2x3|6，或，或解得1x，解得x，解得x2故由不等式可得，即不等式的解集为x|1x2（）f（x）=|2x+1|+|2x3|（2x+1）（2x3）|=4，即f（x）的最小值等于4，|a1|4，解此不等式得a3或a5故实数a的取值范围为（，3）（5，+）2016年8月14日