定积分元素法

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1、1第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法 第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积 内容提要：重点：难点：定积分的元素法定积分的元素法, , 平面图形的面积的求法平面图形的面积的求法. .定积分的元素法定积分的元素法, , 平面图形的面积的求法平面图形的面积的求法. .定积分的元素法定积分的元素法, ,第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2xoyab)(xfy 和和我们知道求由我们知道求由0, ybxax)(xfy 所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形的面积的面积 A 须经过以下四个步骤：须经过以下四个步骤： （2）近似计算：）近似计算：iiixfA )( );(1iiixx ;)()(1

2、0lim baniiidxxfxfA （4）取极限：）取极限： （3）求和：）求和： niiixfA1)( iA niiAA1,ba分成分成n个小区间，个小区间，（1）分割）分割: 把把设第设第 i 个小曲边梯形的面积为个小曲边梯形的面积为则：则：第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法ix1ix3（2）A对于区间对于区间a,b具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于 所有小曲边梯形面积的和。所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中，所求的量面积在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质：有如下性质：（1）A是一个与变量是一个与变量x的区间的区间a,b有关的量；有

3、关的量；;)( badxxfA即：即：A的精确值，的精确值，iixf )( 近似代替部分量近似代替部分量iA 时，它们只相差一比时，它们只相差一比ix高阶的无穷小，因此和式高阶的无穷小，因此和式 niiixf1)( 的极限就是的极限就是（3）以）以4A （3）写出）写出A的积分表达式，即：的积分表达式，即：dxxfAba)( 求求A的积分表达式的步骤可简化如下：的积分表达式的步骤可简化如下：（1）确定积分变量）确定积分变量x及积分区间及积分区间a，b；A以以dxxf)(作为作为的近似值。的近似值。,dxxx （2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间即：即：dxxfdA)(dxxf)(叫做面积

4、元素叫做面积元素,记为记为dxxfA)(xyo)(xfy badxx xdxdA5具体步骤是具体步骤是： 那么这个量就可以用积分来表示。那么这个量就可以用积分来表示。叫做叫做积分元素积分元素 badxxfU)(（3）写出）写出 U 的积分表达式，即：的积分表达式，即： （1）根据具体问题，选取一个变量例如）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定为积分变量，并确定 它的变化区间它的变化区间a,b；dxxfdUU)(（2）在）在a,b上任取小区间上任取小区间 x, x+ dx，求出，求出 U 在这个小区间上在这个小区间上的近似表达式的近似表达式这种方法叫做这种方法叫做 定积分的元素

5、法。定积分的元素法。一般地，如果某一实际问题中的所求量一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a，b有关的量；有关的量；（2）U对于区间对于区间a，b具有可加性；具有可加性；iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( （3）部分量）部分量6一、直角坐标情形一、直角坐标情形例例计算由计算由22,xyxy所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 这两条抛物线所围成的图形如图所示这两条抛物线所围成的图形如图所示 22xyxy和和得抛物线的两个交点得抛物线的两个交点)0 , 0() 1 , 1 (取取x为积分变量

6、，积分区间为为积分变量，积分区间为1 , 0在在上任取小区间上任取小区间,dxxx 面积元素为面积元素为.)(2dxxxdA 故所求面积为故所求面积为 .01)(31332210323 xxdxxxAyox) 1 , 1 (11dxx x第二节平面图形的面积第二节平面图形的面积解解解方程组解方程组1 , 0，7注：注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即3110210 dxxdxxAyox) 1 , 1 (11xyodxxx)(x )(x ba所所围围成成的的图图形形的的面面积积一一般般地地，由由)(),(,xyxybxax dxxx

7、Aba )()( 8xyo例计算抛物线例计算抛物线xy22 与直线与直线4 xy所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。注注：当然这个题也可以用元素法来解。：当然这个题也可以用元素法来解。这个图形如右图所示，这个图形如右图所示，以以y为积分变量，所求的面积为为积分变量，所求的面积为 1824244 )4(62422214232 yyydyydyyA 解解得交点得交点 422xyxy)2, 2( )4 , 8(解方程组解方程组)2, 2( )4 , 8(9例例3 求椭圆求椭圆12222 byax所围成的图形的面积所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程 tbytaxsincos 应

8、用定积分换元法，令应用定积分换元法，令taxcos则：则：tdtadxtbysin,sin 当当 x 由由 0 变到变到 a 时，时，t 由由2变到变到0，所以：，所以：1A设椭圆在第一象限部分的面积为设椭圆在第一象限部分的面积为 aydxAA0144ababtdtabtdtabdttatbA 221020204sin4sin4)sin(sin42221A解解则椭圆的面积为则椭圆的面积为。椭椭圆圆变变为为圆圆，时时，当当2aAba 10一般地，当曲边梯形的曲边一般地，当曲边梯形的曲边:), 0)( ,baxxf )(xfy 由参数方程由参数方程 )()(tytx 给出时，给出时， 则由曲边梯形

9、的面积公式及定积分的换元公式可知，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知， 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 dtttdxxfAba)( )()(在在, （或（或）上具有连续导数，）上具有连续导数，)(tx 适合：适合：)(,)(,)(tba 如果如果)(ty 连续连续11二、极坐标情形二、极坐标情形 下面我们求下面我们求这个曲边扇形的面积。这个曲边扇形的面积。所以曲边扇形的面积为：所以曲边扇形的面积为： dA221)( 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 ,围成一图形（称为围成一图形（称为曲边扇形）。曲边扇形）。 ddA221)( 面积元素为：面积元素为： 为为,d取极角取极角积分变

10、量，积分区间为积分变量，积分区间为任取小区间任取小区间，。)(在在,上连续，且上连续，且0)(假设假设。 221RA圆扇形面积公式为圆扇形面积公式为 ddxo)( r12例例4 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 ar )0( a上相应于上相应于 从从0 变到变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积。的一段弧与极轴所围成的图形的面积。在此区间上任取小区在此区间上任取小区间间 ，, d dadA221)(于是所求面积为于是所求面积为 322032202234322aadaA d xoa 2面积元素为面积元素为 解解积分变量为积分变量为2 , 0积分区间为积分区间为13 例例5 计算心形线计算心形线)cos1 ( ar)0(a所围成的图形面积。所围成的图形面积。因此所求图形的面积因此所求图形的面积 A 是极轴以上部分图形面积是极轴以上部分图形面积 的两倍，的两倍，1A注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。 d xoa2222302sin41sin223aa 12AA 022)coscos21(da 02)22cos1cos21(da 解解 如图所示，这个图形关于极轴对称如图所示，这个图形关于极轴对称,即即 022)cos1(212da