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1、2019-2020学年苏教版数学精品资料综合检测(三)第3章空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1在长方体ABCDA1B1C1D1中，等于_【解析】.【答案】2若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系是_【解析】u2a，au，l.【答案】l3已知向量a(0,2,1)，b(1，1,0)，则a与b夹角的余弦值为_【解析】cosa，b.【答案】4直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.【解析】cab.【答案】abc图15如图1，四边形ABCD为矩形
2、，PA平面ABCD，则下列各组向量中，数量积一定等于0的个数为_与；与；与.【解析】平面ABCD，.，.，.【答案】36设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是_(1，2,5)；(1,1，1)；(1,1,1)；(1，1，1)【解析】(1,2,1)(1,1，1)1210，(1,1,2)(1,1，1)1120，(1,1，1)为法向量，其余均不符合条件【答案】7如图2，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于_图2【解析】建立如图所示的空间直角坐标
3、系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.【答案】图38如图3所示，在平行六面体ABCDABCD中，AABAAD，BAD，ABADa，AAb，则对角面BBDD的面积为_【解析】由题意知，又AABAAD，ABADa，AAb，()ab(cosAADcosAAB)0，AABD，由题意知AADD，DDBD，BAD，ADABa，BDa，又DDAAb，四边形BBDD是矩形，它的面积是BDDDab.【答案】ab图49如图4所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面B
4、B1C1C的位置关系是_【解析】建系如图，则M(a，a，a)，N(a，a，a)，(，0，a)平面BB1C1C的一个法向量为(0，a,0)，0，又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.【答案】平行10如图5所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_图5【解析】建系如图，A(2,0,0)，C1(0,2,1)，(2,2,1)，又平面A1B1C1D1的一个法向量为n(0,0,1)，sin |cos，n|.【答案】11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，则二面角A1ECA的余弦值为_【解析】建立如图所示的坐标系，
5、设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，E(1，0)，C(0,1,0)(0,0,1)，(0，1)，(1,1，1)DD1垂直于平面AEC，为平面AEC的一个法向量设平面A1EC的法向量为n(x，y，z)，则即取n(1,2,1)，cos，n，二面角A1ECA的余弦值为.【答案】图612空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_【解析】由题意知()84cos 4586cos 601624.cos，.OA与BC所成角的余弦值为.【答案】13正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B
6、B1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_【解析】建系如图，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1，)，(1,0,0)，(1,1，)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y,1)，由得.n(0，1)，F(0，0)，(0，1)，d.【答案】14已知动点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上一点，记.当APC为钝角时，则的取值范围为_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以(1,1，1)，由题意可设(，)，连结D1A，D1C，则(1,0，1)，(0,1，1)，所以(
7、，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)，显然APC不是平角，当APC为钝角时，cosAPCcos，0.由此得出(，1)【答案】(，1)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图715(本小题满分14分)如图7，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求、的值【解】()().，.图816(本小题满分14分)如图8所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的
8、大小【解】建系如图，则O(0,0,0)、O1(0,1，)、A(，0,0)、A1(，1，)、B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)设异面直线所成的角为，则cos .故异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.图917(本小题满分14分)如图9，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB.【证明】四边形ABCD为正方形，ABBC.又EFAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC，FH平面ABCD.以H为坐标原点，为
9、x轴正向，为z轴正向建立如图所示的坐标系设BH1，则H(0,0,0)，A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1，0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)(1)设AC与BD的交点为G，连GE，GH，则G(0，1,0)(0,0,1)，又(0,0,1)，.GE平面EDB，HF平面EDB内，FH平面EDB.(2)(2,2,0)，(0,0,1)，0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.图1018(本小题满分16分)如图10，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：EFCD；(3)若PDA
10、45，求EF与平面ABCD所成角的大小【解】如图，建立空间直角坐标系Axyz.设AB2a，BC2b，PA2c，则A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)E为AB的中点，F为PC的中点，E(a,0,0)，F(a，b，c)(1)(0，b，c)，(0,0,2c)，(0,2b,0)，()与、共面又E平面PAD，EF平面PAD.(2)(2a,0,0)，(2a,0,0)(0，b，c)0.EFCD.(3)若PDA45，则有2b2c，即bc.(0，b，b)，(0,0,2b)cos，.，45.AP平面ABCD，是平面ABCD的法向量EF与平面ABCD所成
11、的角为90，45.19(本小题满分16分)如图11，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AD，CD的中点，AB2AA14a.图11(1)求异面直线ED1与AC1所成的角的大小；(2)求二面角EFD1D的余弦值；(3)在直线BB1上能否找到一点M，使DM平面EFD1.若能，确定M的位置；若不能，请说明理由【解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E(2a,0,0)，F(0,2a,0)，D1(0,0,2a)，A(4a，0,0)，C1(0,4a,2a)(1)cos，异面直线ED1与AC1所成角为45.(2)如图，取D1F的
12、中点N，连接DN，EN，则DND1F，END1F，END为二面角EFD1D的平面角在RtEND中，tanEND，二面角EFD1D的余弦值为.(3)假设在直线BB1上能找到一点M(4a,4a，z)，满足DM平面EFD1.则(4a,4a，z)，0，z4a.由z4a，得(0，2a,2a)(4a,4a,4a)0，当z4a，即BM4a时，DM平面EFD1.即能在直线BB1上找到一点M，使DM平面EFD1，且M点的坐标为(4a,4a,4a)图1220(本小题满分16分)(2013课标全国卷)如图12，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A
13、1CD.(2)求二面角DA1CE的正弦值【解】(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1 CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.
苏教版高中数学选修21综合检测【3】及答案
