高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)[共30页]

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1、数学知识点总结高中数学 必修 1 知识点第一章 集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有 确定性、互异性和无序性 .（2）常用数集及其记法N 表示 自然数集， N 或 N 表示 正整数集， Z 表示 整数集， Q 表示 有理数集， R 表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一 .只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等 。（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 .列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 .描述法： x| x具有的性质

2、 ，其中 x为集合的代表元素 .图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集 .含有无限个元素的集合叫做无限集 .不含有任何元素的集合叫做空集 ( ). 把研究的对象统称为元素 ，把一些元素组成的总体叫做 集合 。【1.1.2 】集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集 。记作 A B .2、 如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A，则称集合 A 是集合 B 的 真子集 .记作： A B.3、 把不含任何元素的集合叫做 空集 .记作： .并规定：空集合

3、是任何集合的子集 .4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有n n2 个子集， 2 1个真子集 .5、子集、真子集、集合相等名称记号 意义性质示意图A B(1)A A子集（或B A)A 中的任一元素都属于 B(2) A(3) 若 A B且 B C ，则A C(4) 若 A B且 B A，则A BA(B)B A或A B（1） A（A为非空子集）A B ，且 B中至真子集 少有一元素不属于B A（或 B A）(2) 若 A B且 B C ，则A C A第 - 2 -页共 18 页集合相等A BA 中的任一元素都属于 B，B中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)6、已知

4、集合 A 有n(n 1)个元素， 则它有 2n 个子集， 它有 2n 1个真子集， 它有 2n 1个非空子集， 它有 2n 2非空真子集 .【1.1.3 】集合的基本运算1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集 . 记作： A B .2、 一般地，由属于集合 A且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集. 记作： A B .3、 全集、补集 C A x |x U ,且x U U名称 记号 意义 性质 示意图AI B交集 x |x A,且（1） AI A A（2） AIA B（3） AI B Ax BAI B BAU B并集

5、 x |x A,或（1） AU A A（2） AU AA B（3） AU B Ax BAU B B补集eU Ax| x U ,且x A痧U ( AI B) ( U A) U (?U B)痧(A U B) ( A) I (? B) U U U1 ( )AI e AU2 ( )AU e A UU【1.2.1 】函数的概念1、函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B中都有惟一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B 为集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作： y f x , x A .函数的三要素 : 定义

6、域、值域和对应法则如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称 这两个函数相等【1.2.2 】函数的表示法2、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 .3、映射的概念第 - 3 - 页 共 18 页设A、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记作f

7、 : A B 给定一个集合 A到集合 B 的映射，且 a A,b B 如果元素 a和元素 b对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象 判定方法如果对于属于定义域 I 内 （1）利用定义某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 , 当 x1yy=f(X)f(x )2（2）利用已知函数的单调性函数的x2时，都有 f(x)f(x)，1 2那么就说f(x) 在这个区间上是 增函数 of(x )1x1 x2x（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复

8、合函数单调性 （1）利用定义 如果对于属于定义域 I 内y y=f(X)（2）利用已知函数某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当 x1x2时，都有 f(x12那么就说f(x) 在这个区间上是 减函数 f(x )1f(x )2o x x12x的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 y f g (x) ，令 u g(x) ，若 y f (u)为增， u g( x)为增，则y f g(x)为增；若y f (u)为减， u

9、g( x)为减，则y f g(x)为增；若yy f (u)为增， u g( x)为减，则y f g(x)为减；若y f (u)为减， u g(x)为增，则y f g( x)为减a（2）打“”函数 ( ) ( 0)f x x ax的图象与性质oxf (x) 分别在 ( , a 、 a, ) 上为增函数，分别在第 - 4 -页共 18 页 a,0) 、 (0, a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f (x) M ；（2）存在 x0 I ，使得 f (x0) M 那么，我们称 M 是函数 f (x

10、) 的最大值，记作 fmax (x) M 一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数 m满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（ 2）存在 x0 I ，使得 f (x0) m 那么，我们称 m是函数 f (x) 的最小值，记作 fmax (x) m 【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象 判定方法如果对于函数 f(x) 定义（1）利用定义（要域内任意一个 x，都有先判断定义域是否f(x)=f(x), 那么函关于原点对称）数 f(x) 叫做 奇函数 （2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)

11、 定义（1）利用定义（要域内任意一个 x，都有先判断定义域是否f( x)=f(x), 那 么函 数关于原点对称）f(x) 叫做 偶函数 （2）利用图象（图象关于 y轴对称）若函数 f (x)为奇函数，且在 x 0处有定义，则f (0) 0奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图平移变换y f x y f x h ( ) h 0, h ( )( ) h 0, h (

12、)左移 个单位右移 | 个单位h 0, h|0,上移 个单位y f x y f x k( ) k k ( )下移 | 个单位k 0, k|伸缩变换0 1,伸y f (x) y f ( x)1,缩( ) 0 A 1, ( )缩y f x y Af xA 1,伸对称变换x轴y f (x) y轴y f ( x) y f (x) y f (x)第 - 5 -页共 18 页原点 直线y x 1y f (x) y f ( x) y f (x) y f (x)去掉轴左边图象yy f (x) y f (| x |)保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象y y保留轴上方图象y f x y f x( ) x | (

13、 ) |将轴下方图象翻折上去x第二章 基本初等函数 ( )2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算1、根式的概念n（ 1） 一般地，如果 x a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n 1,n N .n n（ 2） 当 n为奇数时， a a；（ 3）当 n为偶数时，n n a a( 0)a |a|a (a 0)（ 4） 我们规定：n m nm* ma a a 0, m, n N , 1 ；a1n ；0nna（ 5） 运算性质：r s r s r s rs r r r a a a (a 0,r, s R) (a ) a (a 0,r, s R) (ab ) a b (a 0,b

14、0,r R)注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数x定义函数 ( 0 y a a 且 a 1)叫做指数函数a 1 0 a 1yx x y y a y a图象y 1 y 1(0,1)(0,1)O Oxx定义域 R第 - 6 -页共 18 页值域 (0, )过定点图象过定点 (0,1) ，即当 x 0时， y 1奇偶性 非奇非偶单调性 在 R 上是增函数 在 R上是减函数xa 1 (x 0)xa 1 (x 0)函数值的变化情况xa 1 (x 0)xa 1 (x 0)xa 1 (x 0)xa 1 (x 0)a变化对图象的影响 在第一象限内

15、， a越大图象越高；在第二象限内， a越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义x若 a N(a 0,且a 1) ，则x叫做以 a为底 N 的对数，记作 x loga N ，其中 a叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数x对数式与指数式的互化： x log N a N(a 0, a 1,N 0) a（2）几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a 1，loga Na N （3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 ）（4）对数的运算性质如果 a 0

16、,a 1,M 0,N 0，那么加法： loga M loga N log a (MN ) 减法： log log logM Na a aMNn数乘： n log M log M (n R) a aloga Na Nnn log log ( 0, )b aM M b n Rab换底公式：log Nblog ( 0,且 1)N b balog ab 倒数关系：1log b a 0, a 1,b 0,b 1 .a logab【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数第 - 7 -页共 18 页定义 函数 y log x(a 0 且a 1) 叫做对数函数aa 1 0 a 1x 1

17、x 1y yy loga x y loga x图象(1,0)O (1,0) Ox x定义域 (0, )值域 R过定点 图象过定点 (1, 0) ，即当 x 1时， y 0奇偶性 非奇非偶单调性 在(0, ) 上是增函数 在 (0, ) 上是减函数log x 0 (x 1)alog x 0 (x 1)a函数值的变化情况log x 0 (x 1)alog x 0 (x 1)alog x 0 (0 x 1)alog x 0 (0 x 1)aa变化对 图象的影响 在第一象限内， a越大图象越靠低；在第四象限内， a越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数 y f (x) 的定义域为 A ，值域为 C

18、，从式子 y f (x) 中解出 x，得式子 x ( y) 如果对于 y 在C 中的任何一个值， 通过式子 x ( y) ，x在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子 x ( y) 表示 x是 y的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数，记作x f y ，习惯上改写成 1 ( )1 ( )y f x 1( )1( )（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 y f (x) 中反解出x f y ； 1( )1( )将x f y 改写成 1( )1( )y f x ，并注明反函数的定义域 1 ( )1 ( )（8）反函数的性质原函数 y f (x

19、) 与反函数y f x 的图象关于直线 y x 对称 1( )1( )函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数y f x 的值域、定义域 1( )1( )若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则P b a 在反函数 ( , ) ( , )y f x 的图象上 1( )1( )第 - 8 - 页 共 18 页一般地，函数 y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x为自变量， 是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 幂函数是偶函数时，

20、图象分布在第一、二象限 (图象关于 y轴对称 ) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 ) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 0, ) 上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与 y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中 p,q 互质， pq qp p和 q Z ），若 p为奇数 q为奇数时， 则y x 是奇函数， 若 p为奇数 q为偶数时，则y x 是偶

21、函数， 若 p 为qp偶数 q为奇数时，则 y x 是非奇非偶函数图象特征：幂函数 y x , x (0, ) ，当 1时，若 0 x 1，其图象在直线y x 下方，若 x 1，其图象在直线y x 上方，当 1时，若 0 x 1，其图象在直线y x 上方，若 x 1，其图象在直线y x 下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：2f (x) ax bx c(a 0) 顶点式：2f (x) a(x h) k(a 0)两根式：f (x) a(x x )(x x )(a 0)1 2（2）二次函数图象的性质b对称轴方程为,x2a顶点坐标是2b 4ac b( , )2a 4ab当 a 0

22、时，抛物线开口向上，函数在 ( , 2ab上递减，在 , )2a上递增，当xb2a时，第 - 9 -页共 18 页f (x)min24 ac b4ab；当a 0时，抛物线开口向下， 函数在 ( , 2a b上递增，在 , ) 2a上递减，当xb2a时，f (x)max24ac b4a二次函数2f (x) ax bx c(a 0) 当2 4 0b ac 时，图象与 x轴有两个交点（3）一元二次方程2 0( 0)ax bx c a 根的分布设一元二次方程2 0( 0)ax bx c a 的两实根为x1,x2 ，且 x1 x2 令2f (x) ax bx c ，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向

23、： a 对称轴位置：xb2a判别式： 端点函数值符号（4）二次函数2f (x) ax bx c(a 0) 在闭区间 p, q上的最值设 f (x) 在区间 p,q 上的 最大值为 M ，最小值为 m，令 （）当 a 0时（开口向上）1x ( p q) 02若b2ap，则 m f ( p) 若bp q2ab，则 m f ( )2a若b2aq，则 m f (q)ff ffOfb( )2 afOf b( ) 2 axff b( ) 2 a若b2ax0 b，则 M f (q) x0 2a，则 M f ( p)Ofxg0fb( )2 afxxg0ffOfb( )2 ax( ) 当a 0时( 开口向下)若

24、b2ap ，则 M f ( p) 若bp q2ab，则 M f ( )2a若b2aq，则 M f (q)fb( )2 afff b( ) 2 afb( )f2 aO x O xf ff若b2ax0f，则 m f (q) f b( ) 2ab2ax0，则 m f ( p) fb( )f2ax0gx0g第 - 10 - 页 共 18 页f f高中数学 必修 4 知识点第一章 三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角o o o第一象限角

25、的集合为 k 360 k 360 90 , ko o o o第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , ko o o o第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , ko o o o第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , ko 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,ko o 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,ko终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , ko3、与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数

26、的绝对值是 lroo ，1 180 57.36、弧度制与角度制的换算公式： 2 360o，1 o 1807、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S，则 l r ， C 2r l ，1 12S lr r 2 2y8、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 x, y ，它与原点的距P T离是2 2 0r r x y ，则 sinyr，cosxry，tan x 0xO M xA第 - 11 - 页 共 18 页9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： sin ，cos

27、， tan 11、角三角函数的基本关系：2 21 sin cos 12 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin ；sin2 tan cossin tan cos ,cossintan（3） 倒数关系： tan cot 112、函数的诱导公式：1 sin 2k sin ， cos 2k cos ， tan 2k tan k 2 sin sin ， cos cos ， tan tan 3 sin sin ， cos cos ，tan tan 4 sin sin ，cos cos ， tan tan 口诀：函数名称不变，符号看象限5 sin cos2， cos sin2 6 sin co

28、s2，cos sin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左 （右）平移 个单位长度， 得到函数 y sin x 的图象； 再将函数 y sin x1的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数y sin x 的图象1数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数y sin x 的图 象；再 将函数 y sin x 的图象上 所有点 向左（ 右）平 移 个单 位长度， 得到函 数y s

29、in x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 y sin x 的图象14、函数 y sin x 0, 0 的性质：振幅： ； 周期：2； 频率：1f ； 相位： x ； 初相： 2函数 y sin x ，当 x x1 时，取 得最小值 为 ymin ；当 x x2 时 ，取得 最大 值为 ymax ， 则第 - 12 - 页 共 18 页121y y ， ymax ymin ， x2 x1 x1 x2 max min2 215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性质函数y x y cos x y tan x y=co

30、txsiny y=cotx图象-2o2322x定义域R R x x k ,k x x k ,k22值域 1,1 1,1 R Rx k k当 22当 x 2k k 时最值时， ymax 1； kx k当 22y 1 ； max当 x 2k k既无最大值也无最 既无最大值也无最小小值 值时， ymin 1 时， ymin 1周期 2 2性奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数性单调在 2 ,2k k2 2k 上是增函数； 在在 2k ,2k k 上是 增 函 数 ； 在在 ,k k2 2性32k , 2k2 2k 上是减函数2k ,2k k 上是减函数k 上 是 增 函数对称性对 称 中 心对 称

31、中 心k ,0 kk ,0 k2对 称 轴对 称 中 心k,0 k2对 称 中 心k,0 k2x k k2对称轴 x k k无对称轴 无对称轴第 - 13 - 页 共 18 页第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 0的向量单位向量：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点r r rr r r三角形不等式： a b a b a br rr r运算

32、性质：交换律： a b b a；r rr r r r结合律： a b c a b cr rr r r； a 0 0 a aC坐标运算：设ra x y1, 1，rb x2, y2，则rra b x1 x2 ,y1 y2ra18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量rbr坐标运算：设 a x1,y1设 、 两点的坐标分别为rrr，b x2, y2，则 a b x1 x2, y1 y2uuurx1, y1 ， x2 , y2 ，则 x1 x2, y1 y2r u uur u uur uuurra b C C19、向量数乘运算：实数 与向量 ar 的积是一个向量的运算叫做向

33、量的数乘，记作 ar r r a a；r当 0时， ar的方向与 ar的方向相同；当 0时， ar的方向与 arr的方向相反；当 0时， a 0r r运算律： a ar r r； a a ar rr r； a b a br坐标运算：设 a x,yr，则 a x, y x, yrr r20、向量共线定理：向量 a a 0r与 br r共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a设ra x1, y1，rb x2, y2r r，其中 b 0r，则当且仅当 x1y2 x2 y1 0 时，向量 ar r r、b b 0共线ur21、平面向量基本定理：如果 e1uur、 e2是同一平面内的两个不共线向量，那

34、么对于这一平面内的任意向量 ar ，有ur uurr且只有一对实数 1、 2 ，使 a 1e1 2 e2（不共线的向量 ure1、uure2作为这一平面内所有向量的一组基底）uuur uu ur22、分点坐标公式：设点 是线段 1 2 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 x1, y1 ， x2, y2 ，当 1 2时，第 - 14 - 页 共 18 页点 的坐标是x x y y1 2 , 1 21 1（当 1时，就为中点公式。）23、平面向量的数量积：r r r r rr r ro o a b a b cos a 0,b 0,0 180零向量与任一向量的数量积为 0 r性质： 设ar 和 b

35、r rr r都是非零向量， 则 a b a b 0r当 ar 与 br rr r同向时， a b a br；当 ar 与 b反向时，r rr ra b a b；r r r r2a a a a2r r r或 a a ar rr r a b a br rr r运算律： a b b ar r rr r r； a b a b a br rr r r r r； a b c a c b cr坐标运算：设两个非零向量 a x1, y1r，b x2, y2，则 rra b xx y y1 2 1 2r若 a x, y，则r2 2 2a x y，或r2 2a x y设ra x y1, 1rb x y2, 2，则

36、rra b x x y y1 2 1 2 0r设 ar、b都是非零向量，ra x y1, 1rb x2, y2，r， 是 ar与 b的夹角， 则cos rra b x x y y1 2 1 2rr 2 2 2 2a b x y x y1 1 2 2平面的法向量的求法（待定系数法） ：建立适当的坐标系r设平面 的法向量为 n (x, y, z)求出平面内两个不共线向量的坐标r ura (a ,a ,a ), b (b ,b ,b )1 2 3 1 2 3根据法向量定义建立方程组r rn a 0 r r .n b 0解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量 .（如图）1、 用向量方法判定空间中的

37、平行关系线线平行r r r设直线 l1,l2 的方向向量分别是 a、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 ar br r，即 a kb (k R).即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。线面平行r（法一）设直线 l 的方向向量是 ar，平面 的法向量是 ur r，则要证明 l ，只需证明 a ur r，即 a u 0.即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二） 要证明一条直线和一个平面平行， 也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.第 - 15 - 页 共 18 页面面平行r若平面 的法向量为 ur，平面 的法向量为 vr，要证 ，

38、只需证 ur vr r，即证 u v.即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直r r r r r r设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 l1 l2 ，只需证明 a b，即 a b 0.即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。线面垂直r（法一）设直线 l 的方向向量是 ar，平面 的法向量是 ur，则要证明 l ，只需证明 ar ur r，即 a u.r（法二）设直线 l 的方向向量是 aur uur，平面 内的两个相交向量分别为 m n、 ，若r ura m 0, l .r r 则a n 0即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的

39、法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直r若平面 的法向量为 ur，平面 的法向量为 vr r，要证 ，只需证 u vr r，即证 u v 0.即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知 a,b 为两异面直线， A，C与 B，D分别是 a,b 上的任意两点， a,b所成的角为 ，u uur u uur AC BD则 cos .u uur uuurAC BD求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角r求法： 设直线 l 的方向向量为 ar，平面 的法向量为 ur，直线

40、与平面所成的角为 ，ar与 u的夹角为 ， 则为 的余角或 的补角的余角 . 即有：r r a usin cos r . a u如果 是锐角，则 cos cosur rm nur r ，即 arccosm nur rm nur r ；m n 如果 是钝角，则 cos cosur rm nur r , 即 arccosm nur rm nur r .m n第 - 16 - 页 共 18 页第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： cos cos cos sin sin ； cos cos cos sin sin ；sin sin cos cos sin ；sin sin co

41、s cos sin ；tantan tan1 tan tan（ tan tan tan 1 tan tan ）；tantan tan1 tan tan（ tan tan tan 1 tan tan ）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2 2sin cos 1 sin 2 sin2 cos2 2 sin cos (sin cos )22 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin升幂公式1 cos22 cos2,1 cos 2 sin2 2降幂公式2 cos2 1 2cos，sin2 1 cos 22 万能公式 :26、sin12 2tan 1 tan2 2; cos 2 2tan 1 tan2 2tan 22 tan21 tan27、半角公式 :cos21cos 2;sin21cos2tan211coscos1sincos1cossin 2 是 的二倍； 4 是 2 的二倍； 是的二倍； 是 的二倍；2 2 4o15o45o o30 60o45o302；问：sin ；12cos ；12 ( ) ； )(4 2 4；第 - 17 - 页 共 18 页 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ；等等4 4第 - 18 - 页 共 18 页