新编【跨越一本线】高三数学问题：2.3如何利用导数处理参数范围问题含答案

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1、 高三数学跨越一本线精品 问题三 如何利用导数处理参数范围问题 导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从新教材将导数引进高中数学教材以来,有关导数问题便成为每年高考的必考试题之一,且相当一部分是高考数学试卷的压轴题.其中以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及应用的试题,已成为最近几年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.随着高考对导数考查的不断深入,运用导数确定含参数函数中的参数取值范围成为一类常见的探索性问题,由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而

2、且在众多的教辅资料中也很少有系统介绍,本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助.一、与函数单调性有关的类型用导数研究函数的单调性,这是导数最为基本的运用,相关结论是：若函数在区间上可导,则在区间上递增；递减.根据函数单调性求参数（函数中含参数或区间中含参数）的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）,一般步骤是：首先求出后,若能因式分解则先因式分解,讨论=0两根的大小判断函数的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.【例1】已知函数f(x)exlnxaex(aR),若f(x)在(0,)上是单调函数,求实数a的取值范围【分析】利用导数判断函数的单

3、调性,先确定在此区间上是单调增还是单调减函数若 f(x)为单调递减函数,则f(x)0,若f(x)为单调递增函数,则f(x)0,然后分离参数a,转化为函数求最值.【解析】由(1)知f(x)(alnx)ex,若f(x)为单调递减函数,则f(x)0,在x0时恒成立即alnx0,在x0时恒成立所以alnx,在x0时恒成立令g(x)lnx(x0),则g(x)(x0),由g(x)0,得x1；由g(x)0,得0x0时恒成立,即alnx0,在x0时恒成立,所以alnx,在x0时恒成立,由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(,1【点评】已知函数单调性,求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：

4、yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增,则f(x)0；若函数单调递减,则f(x)0”来求解【小试牛刀】 【20xx重庆理20（2）】设函数.若在上为减函数,求的取值范围.【答案】二、与不等式有关的类型以导数作为工具,以含有参数的不等式作为载体在知识交汇处命题已成为如今各地联考和高考命题的热点之一,在利用不等式恒成立求参数取值范围时,常利用以下结论：若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.【例2】已知函数（）判断函数的单调区间；（）若对任意的,都有,求实数的最小值.【分析

5、】（）先求导可得,因为分母,可直接讨论分子的正负即可得导数的正负,根据导数大于0可得其单调增区间,导数小于0可得其单调减区间.（）可将转化为,设函数,即转化为对任意的, 恒成立,即函数的最大值小于0.先求函数的导数,讨论其正负得函数的单调区间,根据单调性求其最值,根据函数的最大值小于0即可求得的范围.（）等价于,设函数,对于函数,不妨令.所以, 当时,在时,所以在为增函数,所以,不符合题意；当,在时,所以在为增函数,所以,不符合题意；当时,在时,所以在为减函数,所以,即在上成立,符合题意；综上,实数的最小值为.【点评】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最

6、值、恒成立问题等数学知识,考查综合分析问题解决问题的能力和计算能力,考查函数思想和分类讨论思想.利用“要使成立,只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立,只需使函数的最大值恒成立即可”.在此类问题中分类讨论往往是一个难点,这需要经过平时不断的训练和结累方可达到的.【小试牛刀】【20xx河南百校联盟高三质检】已知函数,.（）记的极小值为,求的最大值；（）若对任意实数恒有,求的取值范围.【答案】（）（）的取值范围是.【解析】（）函数的定义域是,.,得,所以的单调区间是,函数在处取极小值,. ,当时,在上单调递增；当时,在上单调递减.所以是函数在上唯一的极大值点,也是最大值点,所以. 三、与极值有关的

7、类型极值这个概念在高中数学中可以说是一个与导数紧密相连的概念,基本上只要提到极值或极值点就会想到导数,极值点个数的判定,一般是转化为使方程根的个数,一般情况下导函数若可以化成二次函数,我们可以利用判别式研究,若不是,我们可以借助图形研究.在完成此类题目时一定要注意极值与最值的区别,它们有本质的不同：极值是一个局部的概念,而最值是一个整体的概念.【例3】【20xx湖北荆州高三上学期第一次质量检测】已知函数,为自然对数的底数.（1）当时,试求的单调区间；（2）若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.【分析】(1)借助题设条件运用导数求解；(2)依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求.【

8、解析】（1）函数的定义域为,.当时,对于恒成立,所以,若,若 ,所以的单调增区间为 ,单调减区间为 .（2）由条件可知,在上有三个不同的根,即在上有两个不同的根,且,令,则,当单调递增,单调递减,的最大值为,而.【点评】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,

9、使得问题获解.【小试牛刀】若函数f(x)x2x1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是()A(2,) B2,) C(2,) D2,)【答案】C【解析】若函数f(x)在区间(,3)上无极值,则当x(,3)时,f(x)x2ax10恒成立或当x(,3)时,f(x)x2ax10恒成立当x(,3)时,yx的值域是2,)；当x(,3)时,f(x)x2ax10,即ax恒成立,a2；当x(,3)时,f(x)x2ax10,即ax恒成立,a.因此要使函数f(x)在(,3)上有极值点,实数a的取值范围是(2,)四、与方程有关的类型在现在高中数学命题中常出现有关参数的方程问题、根的分布问题,有时甚至出现在一些

10、高考试题的压轴题中.完成此类问题正确的转化是解题最为关键的地方,基础较差的学生可能出现复杂问题简单化的现象（当然是错误的理解而已）,这种题型往往能很好的考查学生运用所学知识解决新问题的能力,这也正是它的魅力所在.【例4】【20xx河北省“五个一名校联盟” 高三教学质量监测】已知函数（）.（）若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围；（）若,且关于的方程在上恰有两个不等的实根,求实数的取值范围.【分析】（）求出的定义域及导函数,由函数在定义域内单调递增知,0在定义域内恒成立,通过参变分离化为在定义域内恒成立,求出的最小值,即即为的取值范围；（）先将关于的方程在1,4上恰有两个不等实根转化为方程

11、 =在1,4上恰有两个不等实根,即函数y=（x1,4）图像与y=b恰有两个不同的交点,利用导数通过研究函数y=（x1,4）的单调性、极值、最值及图像,结合y=（x1,4）的图像,找出y=（x1,4）与y=b恰有两个交点时b的取值范围,即为所求【解析】（）函数的定义域为,依题意在时恒成立,则在时恒成立,即,当时,取最小值-1,所以的取值范围是 【点评】本题考查了常见函数的导数、导数的运算法则、导数函数单调性关系、导数的综合应用和利用导数证明不等式,考查了学生的转化能力和运算求解能力.在某一区间内有关方程根的分布情况,所涉及方程往往有两类：一类为一元二次方程,它可充分利用三个二次的关系进行处理问题

12、；另一类为非一元二次方程,此时一般要构造新的方程或函数进行研究,运用导数作为工具,数形结合处理此类问题.【小试牛刀】 【20xx河北石家庄第一次质检】若存在正实数,使得关于的方程有两个不同的根,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是 （ ）A B C. D【答案】D【解析】当时,方程只有一个解,不满足题意,所以,所以原方程等价于方程有两解令,则设,则,当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,且当时,当时,所以要使存在两解,则需,所以且,即,所以的取值范围为,故选D【迁移运用】1.【20xx湖北荆州高三上学期第一次质量检测】若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是（ ）A B C.

13、 D【答案】C【解析】因,故由题设在上恒成立,故,即.故应选C.2.【20xx江苏徐州丰县民族中学第二次月考】已知函数,当时,的取值范围为,则实数的取值范围是 【答案】3.【20xx江西抚州七校联考】已知函数的图像上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C 【解析】时,；时,.设且,当或时,故,当时,函数在点处的切线方程为,即当时,函数在点处的切线方程为,即,两切线重合的充要条件是,且,消去得：,令,则,构造函数,所以在单调递减,在单调递增,又所以,所以在单调递减,所以,即,故选C.4.【20xx辽宁盘锦市高中11月月考】设函数（）,若不等

14、式有解,则实数的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】,令,故当时,当时,故在上是减函数,在上是增函数；故；故选：A5.【山西临汾一中等五校高三第三联考,12】设函数,若不等式在上有解,则实数的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】,令,故当时,当时,故在上是减函数,在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C6.【四川自贡普高一诊,12】设函数,其中,若有且只有一个整数使得,则的取值范围是（ ）A B C. D【答案】D7.【20xx江西省临川一中高三上学期期中】若函数不是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意知,要使函数不是单调函数,则需方程在上有解

15、,即,所以,故选C8. 【20xx黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试】已知,若,使得成立,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,当时,取得最小值,；当时,取得最大值为,即实数a的取值范围是 9. 【20xx安徽省合肥市八中高三上学期第一次段考】若关于的不等式在（0,+）上恒成立,则实数的取值范围是 【答案】【解析】函数在（0,+）大于零不恒成立,所以有,在（0,+）上恒成立不等式恒成立可得,;不等式即在（0,+）恒成立,用导数法可求函数的最小值,所以综合得,另当,时,解得因此实数的取值范围是10.【20xx重庆八中二调】已知函数（1）讨论的单调性；

16、（2）若,对于任意,都有恒成立,求的取值范围【答案】（1）若,则在上单调递增,在单调递减,若,则在上单调递增,若,则在上单调递增,在单调递减；（2）.【解析】（1）、若,则在上单调递增,在单调递减；、若,则在上单调递增；、若,则在上单调递增,在单调递减；（2） 由（1）知,当时,在上单调递增,在单调递减,所以,故,恒成立,即恒成立即恒成立,令,易知在其定义域上有最大值,所以.11.【20xx山西省运城高三上学期期中】已知函数,且（1）求的值；（2）若对于任意,都有,求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对求导,得,所以,解得（2）由,得,因为,所以对于任意,都有设,则,令,解得,当变

17、化时,与的变化情况如下表：1增极大值减所以当时,因为对于任意,都有成立,所以,所以的最小值为12. 【辽宁省抚顺市一中高三上学期第一次模拟】已知函数（）讨论的单调性；（）当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围【答案】（）详见解析；（）（）由（）知,当,则,所以在无最大值；当时,在取得最大值,最大值为因此等价于令,则在单调递增,于是,当时,；当时,因此,的取值范围是13.【20xx福建厦门一中上学期期中】已知函数是自然对数的底数（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时,若存在,使得,求实数的取值范围（参考公式：）【答案】（1）在上单调递增；（2）.（2）,因为存在,使得,所以当时,当时,由,可知

18、,；当时,由,可知,；当时,在上递减,在上递增,当时,而,设,因为（当时取等号）,在上单调递增,而,当时,当时,即,设,则,函数在上为增函数,既的取值范围是14. 【20xx山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知函数（）当时,求在区间上的最值；（）讨论函数的单调性；（）当时,有恒成立,求的取值范围【答案】（）；（）当时,在单调递增；当时,在单调递增,在上单调递减当时,在单调递减；（）的取值范围为【解析】（）当时,的定义域为,由 得在区间上的最值只可能在取到,而,（）当,即时,在单调递减；当时,在单调递增；当时,由得或（舍去）在单调递增,在上单调递减；综上,当时,在单调递增；当时,在单调递增,

19、在上单调递减当时,在单调递减；（）由（）知,当时,即原不等式等价于即整理得,又,所以的取值范围为15. 【20xx浙江省“六市六校”联盟高考模拟考试】已知函数, （1）求函数在上的最小值；（2）若存在是自然对数的底数,使不等式成立,求实数的取值范围解析：（1） 在为减函数,在为增函数当时,在为减函数,在为增函数, 当时,在为增函数, （2）由题意可知,在上有解,即在上有解令,即 在为减函数,在为增函数,则在为减函数,在为增函数 16. 设函数,且. 曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在,使得,求的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是.【解析】（1）,由曲线在点处的切线的

20、斜率为,得,即,； 4分（2）由（1）可得, 令,得,而, 当时,在上,为增函数,令,即,解得. 当时,极小值,不合题意,无解, 当时,显然有,不等式恒成立,符合题意, 综上,的取值范围是. 17.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为（1）求实数的值；（2）若对任意成立,求实数的取值范围；（3）当时,证明：【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）,又的图象在点处的切线的斜率为,即,；（3）令,则,由（2）知,是上的增函数,即,即,.18.【20xx河南八市重点高第三次测】已知函数.（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】(1) 综上，当时在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；（2）.（2）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，再取，则，故在上单调递增，而，故在上存在唯一实数根，故时，；时，故，故