数列求和7种方法(方法全_例子多)

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1、.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： Snn(a1an )na1 n(n 1) d22na1( q 1)2、等比数列求和公式：Sna1 (1qn )a1an q(q1)1q1qn1n(n 1)n1n(n 1)(2n 1)3、 Snk4、 Snk2k12k 16nk 3 1n( n 1) 25、 Snk12例 1已知 log3x1，求 xx2x3xn的前 n 项和 .log 2 3解：由 log 3x1log3xlog 3 2x1log 2 32由等比数列求和公式得Sx x2x3xn（利用常用公式）n11 x(1xn ) 2

2、(12n ) 1 11x112n2例 2设 Sn 1+2+3+ +n， n N * ,求 f (n)Sn的最大值 .(n32)Sn 1解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn1 (n1)( n 2)（利用常用公式）22 f (n)Sn2n32) Sn 134n64(nn111648250n34(n50n)n 当n8，即 n 8 时， f (n)max1850.c.题 1.等比数列的前项和S 2 ，则题 2 若 12+2 2+(n-1) 2=an3 +bn2+cn，则 a=,b=,c=.c. = na nbnn a n b n .例 3Sn13x5x 27 x3(2n 1)x n 1

3、 ( 2n1)x n 1 2n 1 xn 1 xSn1x3x25x 37 x4(2n1) xn .（设制错位）(1 x) Sn12x2x 22x32x42x n 1(2n1) xn（错位相减(1x)Sn12x 1xn 1( 2n1)x n1x.c.Sn(2n1) xn 1(2n 1) xn(1 x)(1 x)2例2462nn.42,22 ,23,2n,2n2n1n2n 2Sn2462n223n2221Sn2462n（设制错位）22223242n 1(11 )Sn222222n（错位相减222223242n2n 1212n2 n12n 1Sn4n22n11annSn.c.练习题 2的前 n 项和

4、为 _答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）数列相加，就可以得到n个 (a1an ) .例 5求证： C n03C n15C n2(2n 1)Cnn(n 1)2n证明： 设 SnC n03C n15C n2(2n1)C nn.把式右边倒转过来得Sn(2n 1)C nn( 2n 1)C nn 13C n1C n0又由CnmCnn m 可得，再把它与原（反序）.c.Sn(2n1)C n0(2n 1)C n13C nn1Cnn.+2S( 2n2)(C 0C 1C n1C n ) 2(n1) 2n（反序相加）nnnnnSn(n 1)2 n

5、例 6sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 .Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1.（反序）sin xcos(90x), sin 2 x cos2 x 1+（反序相加）2S(sin 2 1 cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89S 44.51.c.（ 1）证明：；（2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（ 2）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，.c

6、.两式相加得：.c.所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7求数列的前 n 项和： 1117,13n2 ，1,4,2n 1aaa解：设 Sn(11)( 14)( 127)(1n 13n 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得111（分组）Sn(1a a 2an 1 )(1 4 73n 2)当 a 1 时， Snn(3n1)n(3n1) n（分组求和）22.c.11(3n1) naa1 n(3n1)n当 a1时， Snan2121a1a例 8求数列 n(n+1)(2n+1

7、)的前 n 项和 .解：设 akkk1)( 2k1)k3k 2k(23nn Snk(k 1)(2k 1) (2k33k 2k)k 1k1将其每一项拆开再重新组合得nn3n2n（分组） 2k3kkSk1k1k 1 2(1323n3 )3(1222n2 )(1 2n)n2 (n1) 2n(n1)( 2n1)n(n1)（分组求和）222n(n 1)2 (n2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项） 如：（ 1） anf (n1)f ( n)（ 2）sin 1tan(n

8、1)tan n1)cosn cos(n111（ 4） an(2n) 21111（ 3） an1)nn1(2n1)( 2n 1)(2n)n(n21 2n 1（ 5） an11111)(n2)21)( n1)(nn(nn(n2)n 212(n 1) n 111,则 Sn1(6) ann(n 1)2nn 2n 1( n 1)2n1n(n 1) 2 n(n 1) 2n（ 7） an1111)B)( AnC )CB(BAnC( AnAn（ 8） an1n1nn1n.c.例 91,1,1, 的前 n 项和 .求数列2n123n1解：设 an1n 1n（裂项）nn1则 Sn111（裂项求和）223nn11

9、( 21)(32)( n 1n )n11例 10在数列 a n 中， an12n，又 bn2，求数列 b n 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1anan 1解： an12nnn1n1n12 bn211（裂项）nn18()nn 12 2 数列 b n 的前 n 项和Sn8(111111(11)(3) ()nn（裂项求和）22341 8(11) 8nn1n 1例 11求证：111cos1cos1 cos2cos88cos89sin 2 1cos0 cos1解：设 S111cos1cos2cos88cos89cos 0 cos1sin1tan(n1)tan n（裂项）1)cos n cos(n

10、 S111（裂项求和）cos1cos1 cos2cos88cos89cos 01(tan 1tan 0)(tan 2tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89tan 88 sin 11(tan 89tan 0 )1cos1cot 1 sin 1sin 1sin 2 1原等式成立.c.练习题 1.答案：.练习题 2。=.c.答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179的值 .解：设 S

11、n cos1 + cos2 + cos3 + cos178 + cos179 cos ncos(180 n )（找特殊性质项） Sn （ cos1 + cos179） +（ cos2+ cos178） + （ cos3+ cos177） +（ cos89 + cos91） + cos90（合并求和） 0例13 数列 a ： a1 1,a23, a32, an 2an 1an ，求 S .n2002解：设 S2002 a1a2a3a2002由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,a6 k 11, a

12、6k 23, a6k 32, a6 k 41, a6k 53, a6 k 62 a6k1a6k2a6k3a6 k4a6 k 5a6 k 60（找特殊性质项）S2002 a1a2a3a2002（合并求和）.c. ( a1 a2 a3a6 ) ( a7a8a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6 k 1a6k 2a6k 3a6 k4 5例 14在各项均为正数的等比数列中，若a5 a69,求 log 3 a1 log 3 a2log 3 a10 的值 .解：设 Sn lo

13、g 3 a1log 3 a2log 3a10由等比数列的性质mn pqamanap aq（找特殊性质项）和对数的运算性质log a Mlog a N log aM N 得Sn(log 3 a1log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )（合并求和） (log 3 a1 a10 )(log 3 a2a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 10练习、求和：.c.练习题1设，则 _答案： 2.练习 题 2 若 S =1-2+3-4+ +(-1)n-1n，则 S17+S3350等于()n.c.A.1B.-1C

14、.0D .2解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=答案：A练习 题 31002-992+982-972+22-12 的值是A.5000B .5050C.10100D .20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案： B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例 15求 111 1111111之和 .n 个1解：由于 1111199991 (10 k1)（找通项及特征）k个19k个19 1111111111n个1 1 (10

15、11)1 (1021)1 (1031)1 (10 n1)（分组求和）9999 1(10110 210310 n )1(1 111)99n个1.c.n 1 10(101)n91019 1 (10n 1109)81n例 16已知数列 a n ： an8,求(n1)(anan 1 ) 的值 .(n1)(n3)n 1解： (n1)(anan 1 )8(n1)11（找通项及特征）3)( n2)( n( n 1)(n4) 811（设制分组）(n2)(n4)(n3)(n4) 4(11)8 (11（裂项）2nn 3n)n44( n1)(anan1 )4(11)8( 11 )（分组、裂项求和）n 1n 1 n2

16、 n 4n 1 n3 n 4 4( 11 )81344133提高练习 ：1 已知数列 an中， Sn 是其前n 项和，并且 Sn 14an2(n1,2, ), a1 1，设数列 bnan12an (n1,2,) ，求证：数列bn是等比数列；设数列 cnan, (n1,2,) ，求证：数列cn是等差数列；2n2 设二次方程an x 2 - an +1x+1=0(n N)有两根和，且满足6-2 +6=3 (1) 试用 an 表示 a n 1 ；.c.3数列an 中，a18, a42 且满足 an 2 2an 1 an n N *求数列 an的通项公式；设 Sn| a1 | | a2| an |，求 Sn ；说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。.c