复变函数习题答案第3章习题详解

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1、第三章习题详解1.沿下列路线计算积分3iz2dzo01）自原点至3i的直线段;解：连接自原点至3i的直线段的参数方程为:dz3idt3i2132zdz3itdt001313t3033i032）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为:dzdt3z2dz03 2133t2dt-t30330连接自3铅直向上至3 i的参数方程为:itdzidt3 iz2dz31213 it idt 3 it033 iz2dz03 212t2dt 3 it idt00130-33333i33331313-3 i 333333）自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至解：连接自原点沿虚轴

2、至i的参数方程为：zitdzidtiz2dz0连接自i沿水平方向向右至i的参数方程为:dzdti3iz2dz21tidt-ti33iz2dz0iz2dz0:iz2dz01.3-i32.分别沿yx2算由积分1131i02xiydz;13的值解：yx.2.iyxixdz1idxix2iydz2xixdx1i1x33iy.2ixdzi2xdxiydzx21i2xdx1i5iz dz 0 , o ImC举例说明。f z dz3.设fz在单连通域B内处处解析,线。问二RefC如果不成立,C为B内任何一条正向简单闭曲0是否成立？如果成立，给生证明;解：不成立。例如:z,C:zeiRefzCdz2cosdc

3、os0isindz2sindcos0isin4.利用在单位圆上1的性质，及柯西积分公式说明zzdzCzdzC为正向单位圆周1dz2f02cz05.计算积分的值,其中C为正向圆周:1)2；解：在2上，z2ei22eid2ei0222id0i222)解：在4上，z4eio-z-dz24d4ei24idi428i0406.试用观察法得由下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么?是正向的圆周dz1):cz2解：fz3在C内解析，根据柯西古萨定理,二士0cz2dz2)Cz2z解：fz1z22z4在C内解析，根据柯西-古萨定理dz0cz22z4dz3)Ccosz解：fz,在C内解析，根据柯西一古萨定理,c

4、oszdz二0Ccosz解：fz1在C内解析,Z0if5)解:-zezdzCfzzez在C内解析，根据柯西一古萨定理,zezdzC6)口Cdz2解:力在C内解析，Z0#C内，CCdzz1z222ifi1iT2-27.沿指定曲线的正向计算下列各积分:ze1)口dz,C.Cz2解：z2在C内,ez在C解析，根据柯西积分公式:ze2二dz2iecz2dz22adzo22c z a1a2 adziz e3)再dz,2i，在C解析，根据柯西积分公式：za在C解析，根据柯西积分公式：ziizecz-dz1ize,zi4dz一czie解：z3不在C内，f z六在C解析，根据柯西古萨定理:z口 dz 0cz

5、3z4);dz-23,z1z1解:1fzz21z31在C解析，根据柯西一古萨定理:dz002.3.0Cz1z16）二C解：z3coszdz,C：为包围z0的闭曲线fzz3cosz在C解析，根据柯西一古萨定理:3zcoszdz0Cdz37)Cz21z24C-z2解：zi在C内，fz在C解析，根据柯西积分公式:4dz1z24sinz仆8)门dz,Cz1cz解：z0在C内，fzsinz在C解析，根据柯西积分公式：sinz口dz2isin00Czsinz9)02dz,C：Cz-2sinz在C解析，根据高阶导数公式：解：z在C内，fz2sinz-ndz2isin022C4z2ze.一10)门dz,C：z

6、1cz解：z0在C内，fzez在C解析，根据高阶导数公式：ze-dzcz2if44!4!8.计算下列各题：1) ,e2zdz3i3i2z12z16i2i用牛.edzeee0i2i202) ch3zdz；60.解：ch3zdz-sh3z-0shi-秘3i32363)isin2zdz；i解:isin2zdzi1cos2z.dz221-sin2z44)zsinzdz;-sh22解:1zsinzdz1zdcosz1zcosz01coszdz0coslsin15)dz；解:zdzde0ezdzi.iie6)tgz2cosdz（沿1到i的直线段）解:i1tgz121coszdz1i1tgzdtgztgz9

7、.计算下列积分:1)C32i（其中C：|z解:3z2idz六dz2i2-z（其中C解:2i,2i-dz1CzizCdzi3)CC1C2弩dz,（其中Ci：z解:dz4):cz2tg2ztgi2tg2itg115tg214为正向）3.dzCz2iC6为正向）zdzi2i43142iizLdzczi2为正向哼在所给区域是解析的,z1（其中C为以22izi2izi,C2：z3为负向）根据复合闭路定理:CC1cosz,3-dzC2z解：在所给区域内，fz6i为顶点的正向菱形）5有一孤立奇点,由柯西积分公式:zidz:2cziz- e 5) 口rdz,c z ae 2!（其中a为a1的任何复数，C：|z

8、1为正向）。z解：当za,fz_丁在所给区域内解析，根据柯西一古萨基本定zaz理：ddz0当|za|,fzez在所给区域内解析，根据高阶导数公式:ze.:3dzcza10.证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，。口dz0。cz证明：当C所围成的区域不含原点时，根据柯西一古萨基本定理：1.口-2dz0,cz当C所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：1.，dz2if00;cz11,下列两个积分的值是否相等？积分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？为什么？z1） 一dz|z|2zz2） 一dz|z|4z解：1）Qzdz22e-2ieid0；2）0-dz24e-4ieid0|z|2z02

9、e|z4z04e由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为fz三在复平面上处处不解析z12.设区域D为右半平面，z为D内圆周|z1上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与Z,证明Re：4dr提示：可取从原点沿实轴到1 ,再从1沿圆周|z1到z的曲线作为C o证明：因为f在D内解析，故积分：一d与路径无关，取从 10 1原点沿实轴到1,再从1沿圆周z 1至峻的曲线作为C,则:z 12 d0121 i10 kde arctgx 0- i ie2- d0 1 e1i：d 40 e e 4i 02sec dz 1Re Ld01413.设C1和C2为相交于M

10、、N两点的简单闭曲线,它们所围的区域分别为B1与B2。B1与B2的公共部分为8。如果2在B1 B与B2B内解析,在C1、C2上也解析，证明: f z dz f z dz oC 1C2证明：如图所示，f z在B1B与B2 B内解析，在C1、C2上也解析，由柯西一古萨基本定理有:f z dz 0NOMP1Nf z dzMRNP2Mf z dz fNOMP1NMRNP2Mf z dzNOMf z dzMP1NfMRNz dzf z dzNP2 Mf z dzNOMf z dzNP2Mf z dzMRNf z dzMP1Nf z dzNOMf z dzMP2Nf z dzMRNf z dzNP1Mf

11、z dz f z dzC2C114.设C为不经过与的正向简单闭曲线,为不等于零的任何复数,试就与跟C的不同位置，计算积分解：分四种情况讨论:1）如果与都在C的外部，则fz丁，在C内解析，柯西一古 z布基本定理有-z-2dz0Cz2）如果与 都在C的内部，由柯西积分公式有2 z 2dz c zzz dzC zCzdz 2 i z3）如果在C的内部,都在C的外部，则3在C内解析, z由柯西积分公式有zz,z,-22dzdzCzCz4）如果在C的外部,都在C的内部，则在C内解析, z由柯西积分公式有z心-z2dz c-zdzC zC z15.设Ci与C2为两条互不包含，也不相交的正向_2zsin z

12、dz dzC1 z zoC2z zoz2,当zo在Ci内时，sin z0,当z0在C 2内时。证明：因为Ci与C2为两条互不包含，也不相交,故Ci与C2只有相离的位置关系，如图所所示。0Cl1）当zo在Ci内时，f z气在C2内解析，根据柯西-古萨基本定2)理以及柯西积分公式:2zsin z: dz dzC1z zoC2z zo122 iz 2 iz Z0-2ozo当Zo在C2内时，f2在柯解析，根据柯西一古萨基本定z zo理以及柯西积分公式:1 O 2 i C1z2 z dzzosin z dzC2zzo10 2 i sin z2 iz Zosin z01 z2-dz2 i C1zzosin

13、 z-dzC2zzoz2,当zo在Ci内时,sinzo,当zo在C2内时。16 .设函数fz在oz1内解析，且沿任何圆周C：|zr,or1的积分等于零，问fz是否必需在zo处解析？试举例说明之。解：不一定。例如：fz3在zo处不解析，但04dzo。z|zr1z17 .设fz与gz在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D。如果fzgz在C上所有的点处成立，试证在C内所有的点处fzgz也成立。证明：设z是C内任意一点，因为fz与gz在C及C内解析，由柯西积分公式有：fz-0-d,gz-d2icz2icz又fg在C上所有的点处成立，故有：f-dg-dCzCz即fzgz在C内

14、所有的点处成立。18 .设区域D是圆环域，fz在D内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周Ki与K2,K2包含Ki,Zo为Ki,K2之间任一点，试证3.14仍成立，但C要换成KiK20证明：19 .设fz在单连通域B内处处解析，且不为零，C为B内任何一条简单闭曲线。问积分cUdZ是否等于零？为什么？cfZ解：因为fz在单连通域B内处处解析且不为零，又解析函数fZ的导数fz仍然是解析函数，故二在B内处处解析。根据柯西一古萨基fz本定理，有“Udz0cfz20 .试说明柯西一古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线？解：如C不是简单闭曲线，将C分为几个简单闭曲线的和。如CCiC2,则Ci,C2是简单

15、闭曲线。fzdz-fzdz-fzdz000CC1C221 .设fz在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D内但不在C上的任意一点z0,等式。：dz0fdz成立。czz0czz0证明：分两种情况：1）如果z。在C的外部，-和一-在C内解析，故z4zz0fz,fzdz2dz0czz0czz02）如果z0在C的内部，在C内解析的函数fz,其导函数fz仍是C内的解析函数，根据柯西积分公式有：z zo2 ifzo由高阶导数公式有:-f z 2 dz 2 if z c z zozzo2 if zo22.如果证明:jz c z zox,y和x, y和yx xyxyx, yyxf z2Z

16、ox,ydz都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程,y , HE末 s it 是 xiy的解析函数。sxxxyxyxs一 yyyxyxyyyx,y都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等,yx。x,y满足拉普拉斯方程:xx yy o 5 xx yy 0xxyyy yxy故s it是xiy的解析函数23.设u为区域D内的调和函数及it,问f是不是D内的解析函数？为什么?解：设fsit,2u因为u为区域D内的调和函数,具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯2x方程f是D内的解析函数。24.函数Vx y的共辗调和函数吗？为什么?解：- xv.v.1,一1xy故函数vx y不是v x y的共辗调和函数。25

17、.设u和v都是调和函数，如果v是u的共辗调和函数，那末u也是V的共辗调和函数。这句话对吗？为什么?解：这句话不对。如果v是u的共辗调和函数，则u iv是解析函数,满足柯西一黎曼方程:即u是v的共辗调和函数,u就不是v的共辗调和函数。26 .证明：一对共辗调和函数的乘积仍为调和函数。证明:27 .如果f z u iv是一解析函数，试证:1) if z也是解析函数;证明:2) u是v的共辗调和函数;证明:23）一4 u22Vx证明:28 .证明；ux2y2和v，方都是调和函数，但是uiv不是解析函数。xy证明29 .求具有下列形式的所有调和函数u:1) ufaxby,a与b为常数；解：2) uf丫

18、。提示：1)1令taxby,因口打uyy0,从而有f“t0；2)x令t?。x解：30 .由下列各已知调和函数求解析函数fzuiv。,、22一1) uxyx4xyy;解：y2) v-,f20；xy解：3) u2x1y,f2i;解：y4) varctg,x0ox解：31 .设vepxsiny,求p的值使v为调和函数，并求生解析函数fzuiv。解：32 .如果ux,y是区域D内的调和函数，C为D内以Z0为中心的任何一个正向圆周：zzr,它的内部全含于D。试证：提示：利用平均值公式3.5.3。1)ux,y在uXo,yoxo,122oyo的值等于ux,y在圆周C上的平均值uxorcos,yorsind；

19、证明:2)ux,y在xo,yo的值等于ux,y,在圆域uXo,yo1ro002ouxorcos,yorsinrddr。证明:33.如果fiv在区域D内处处解析,的内部全含于Dr0上的平均值，即C为D的正向圆周:点，并令R%,试证zdzfoczR?do。证明:34.根题33的结果，证证明:35.如dzR2zux,yurcos松积分zR2,rsinR2zzfzR2，其中C为ReireizzR2id2-R2Rrcos2irfRe2R2Rrcos”d并由34题的结果,2212Rrurcos2oR22Rrcos,rsin2rdo这个积分称为泊通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。证明:36.设fz在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数1）试用柯西积分公式证明：fznoJId。2icz证明：2）设M为|fI在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试1用积分估值公式3.1.10于1）中的等式，证明不等式：fzmW2d证明：3）令n,对2）中的不等式取极限，证明：|fz|M,这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。证明：【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】121itidtitcz2u2y