计算机数值方法试题

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1、数值计算方法试题一、填空（共20分，每题2分）1、设 疋23149541，取5位有效数字，则所得的近似值x=.小八一竺二如2耳二2、 设一阶差商， _阳_眄2 1则二阶差商 / g= 3、 数值微分中，已知等距节点的函数值（勿风汎珂小）（勺宀）则由三点的求导公式，有 八和=一4、 求方程 疋廿0的近似根，用迭代公式x=Jil笳，取初始值可，近似解的梯形公式是那么两二一5、解初始值问题6、1一了丿，则A的谱半径Q（A）=7、设他）二玉+5,耳二M上=02，则低，耳=和1l+1 n+2 * 芸 n+=&若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代都9、解常

2、微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为T0a01aa1_10、设对角线元素，当肚二；：-二足条件时，必有分解式一，其中L为下三角阵，当其时，这种分解是唯一的。（1）试求I在上的三次Hermite插值多项式H （x）使满足、计算题（共60分，每题15分）乂二量二一 小、H（ x）以升幕形式给出。（2）写出余项: 1 - :-的表达式2、 已知 工二誓（工）的讥工）满足|讥工）耳Cl，试问如何利用 （工）构造一个收敛的简单迭代函数 . .,使：0 , 1收敛？3、 试确定常数A, B, C和，使得数值积分公式匸了必宙型（一 +毋 +OS有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公

3、式代数精度是多少？它是否为Gauss型的?4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式:尸曲 1+討;m +4丁；三、证明题1、设（1）写出解广；二的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I - CA如果|. ，证明：（1） A、C都是非奇异的矩阵参考答案:1、2、填空题2.31504-163、2h4、1.55、h 九近6、XA)7、&收敛9、0( h)応（10、來工护力（丄）1 = 6;十必）/(m 九)+ /(%2啊)沁1，兀“ =? J %,兀匚+立，J1 = 0*、计算题1、1、 (1)1 5 -191 5(2)2、由，.，可得.：；.【一X =（力）二料to因；：

4、 二 L I ：故k=0,1,收敛求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 / ,在区间一上积分，得.，记步长为h,对积分- i /陰心-|用Simpson求积公式得号I7衣JIJ 了（7*（对）必闽下/（兀（+4了（务+ _/（耳“卜/3；+4刃+丿；（L53所以得数值解公式：-；,，-1一_三、证明题1、证明：（1）因，故- - ，由 Newton迭代公式:F1, 广（心）木:, n=0,1,血兀（召一巧 百兀(2)因迭代函数，而h - ，o ox& J又 - ，贝y 厂-|_ - .-. - .1636 J 2故此迭代格式是线性收敛的 I -

5、 ：故：| - 1 -则有(2.1 )因 CA=I -R,所以 C= (I - R A1，即 = (I - R) -1C又 raa1 - C,故屮-0卜网I才*1剛(1R尸IIP由厂|-匚(这里用到了教材98页引理的结论)(2.2)结合(2.1 )、(2.2)两式，得模拟试题一、填空题(每空2分，共20分)1、解非线性方程f(x)=O的牛顿迭代法具有收敛2、迭代过程、r ,(k=1,2,)收敛的充要条件是3、已知数e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是的迭代格式中求则p(x)是不超过二次的多项式5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足次代数精度.

6、6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有QJt-C7、插值型求积公式的求积系数之和t-0Jt-t2108、 =12a,为使A可分解为A=LLt,0a2其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围9、若1-30则矩阵A的谱半径刃(A)= 10、解常微分方程初值问题.1 /： I 一 L的梯形格式加 1 二几十 1/ （% 片）+ Jgl 加1）是阶方法计算题(每小题15分，共60分)1、 用列主元消去法解线性方程组2 葢-可+ 3xj - 1 4x1 + 2x2 十 = 4I可+ 2叼Y2、已知y=f (x)的数据如下x023f （x）132求二次插值多项式S&) 及f (2.5 )3、用牛

7、顿法导岀计算的公式，并计算取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值，小数点后保留5位.三、证明题 (20分每题10分)1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、 若证明用梯形公式计算积分参考答案：/(所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。填空题1、局部平方收敛5、三阶均差为07 、b-a9、110二阶方法二、计算题1、2、/（2 5） -|x（2.5）3 +2x2,5+! = 2.6667.25992(精确到,即保留小数点后5位)作南数/(9 = x3-a，则f(x =0的正根即为血,由牛顿江有迭代格式兀申=%8分令日二氏 取初值斗丸乳 计算出列=1.2963

8、*岭=1.2609,勺=1.2599. 2、a选择题（每题2分）210)、(lii 0三、1、( 8分)T11AT 22192252解方程组 atac、（1） 解：13121382ATy其中3、span1, x2(1)(3)19.032.3 49.0 73.33391A 3：91 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.05010252、( 15 分)T(8)-f(a)2解：隔f72 f(Xk)k 1所以詈-5）0.9255577,1 112 82e0f(b)0.05010250.0013027681 216(0.88249690.77880080.6065

9、30660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.6329434四、1、（15 分）解：（1）11(X)尹 1（W O.18 1，故收敛;(X)(2)2x2(3)(x)3x21 1x ,(1.5)(1.5)0.17231.55故发散。1，故收敛;选择(1):XoX51.5 为1.324761.3572x2 1.3309X31.3259x4 1.3249 1.32472X6Steffe nsen迭代:Xk 1Xk2(Xk) Xk)(Xk) 2 (Xk)XkXk计算结果:Xo1.5 , x-!33 Xk1.324899(3 Xk 1 Xk)21123 Xk

10、 11X2 1.324718有加速效果。x(kx2k 1)2、( 8分)解:Jacobi迭代法:1)丄(24 3x2k)41 (30 3x1(k)41)丄(244k 0,1,2,3,x3k)x2k)Gauss-Seidel迭代法:0BjD 1(L U) 340(k 1)X1k1) (1-(24 3x2k)4k1)-(30 3x1(k 1)4、，(k 1)(k 1)X11-(24 40,1,23(kX2x3k)1)340340340(Bj)58(或0.790569(1)x；k)(24 3x2k)4)x2k)(30 3x；k 1)x3k)4x3k 1) (1)x3k) -( 24 x2k 1)4S

11、OR迭 代法：k 0,1,2,3,五、1、( 15分)解：改进的欧拉法：yn0)1yn hf(Xn,yn) 0.9yn 0.1hyn 1 yn 一 f(Xn,yn) f (Xn 1 , y n )0.905 yn 0.0952所以 W。1) Y1 1 ；经典的四阶龙格一库塔法:hyn 1 yn -k1 2k2 2k3 kq6k1f (Xn , yn)k2f (Xnh2yn2k1)k3f (Xnh2，*号k2）k4f (Xnh,ynhk3)k1k2k3 k40，所以 y(0.1)y11。H3(Xi)f(Xi)2、（ 8 分）解：设H3（x）为满足条件H3(Xi)f (Xi)i0,1的Hermit

12、e插值多项式，则 P(x)H3(x)k(xx)2(x X1)2代入条件P（X2）f(X2)得:kf (X2)H3（X2）(X：2X0)2 2(X2X1)六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将 f(X) 1,X,X ,X3A 2分布代入公式得：H3（Xi） f（Xi）i20，B20,b 滸d120构造Hermite插值多项式H3（x）满足 出任）f （xj 上（4）（）-Ux2（x4!0,1其中Xo0, X11则有:10 xH 3(X)dX S(x)f(x) H3(x)1)2R(x)10xf (X) S(x)dxf(4)()4!；x3(x 1)2dx/ 丄X34!f(4)()4! 602(X

13、1) dX：(4)()14402、解:Rn,hy(Xnh2 y(Xn) hy (Xn) y2!h2 y(Xn)1(y(Xn) hy (Xn) y (Xn)h21 )yn 1(Xn)3!h3y (Xn)(Xn)hy(Xn) (1)(y(Xn) hy (Xn)(Xn)h3 /、 亍（Xn）(1h20(21)y(Xn)h(111 1 )y (Xn)21)y (Xn)h3Q6 614)y (Xn) O(h ) 210 1 0011010131 1 0所以222主项:I2h3y (Xn)12该方法是二阶的数值计算方法试题、（24分）填空题（1） （1）（2分）改变函数f（x） x 1 x （ x 1）的

14、形式，使计算结果较精确（2）（2分）若用二分法求方程fx 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次(3)(2f X分)设(4)(3Sx分）设数，贝Sa= , b=,c=。2 2X1 X2X1X2，则 f X2x3,0 x 132x ax bx c, 1 x 2是3次样条函(5) (5)（3分）若用复化梯形公式计算e dX，要求误差不超过16，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。x-i 1.6x21（6） （6）（6 分）写出求解方程组.4X1 X2 2的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。5 4（4 分）设A 4 3 ,贝y A Cond A(8

15、) (8)（2分）若用Euler法求解初值问题V 10y，y 0 1 ,为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为二.(64 分)(1)(1)（6分）写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。(10分)求f xex在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。(10分）用复化Simpson公式计算积分近似值，要求误差限为0.5 10 5。(5)(10分）用Gauss列主元消去法解方程组:捲 4x2 2x3243x x2 5x3342x 6x2 x327I(5)1 sin

16、 x dx0 x 的(8)(6)(8(811分）求方程组1X1X2521的最小二乘解。分）已知常微分方程的初值问题:dy dx y(1) 2x y,1.2用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h 0.2。三. （12分，在下列5个题中至多选做3个题）(1) (1)（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足:p1 15p 120p 130 p 257 p 272 (2) (2)（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:xf x dxoA0f -A, f 1210 1 A（3）（3）（6分）用幕法求矩阵1 1的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征

17、值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0。（4）（4）（6分）推导求解常微分方程初值问题y x f x, y x , a x b, y ay0的形式为yyi h 0fi1fi 1 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中fifXi,yi, Xia ih, i=0,1,N,（5）（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题ypxyqxy r x 0, a x bya a yb 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案、一、判断题：（共10分，每小题2分）1、（X）2、（V）3、（X）4、（V）5、（X）6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X

18、）二、填空题：（共10分，每小题2 分）1、9 8!、0 2、 二 3、 二4、_16、90_ 5、7、0三、三、简答题：（15分）1、1、 解：迭代函数为（X）ln（4 x）/ln2（x）1 14 x In 2丄丄142 In22、（k）2、答: Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素akk全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为 0,即使det（A）0，贝y消元 过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0,但若主元素的绝对值很 小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差 的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的(k)-(k)技术，可避免

19、主元素akk =0或akk很小的情况发生，从而不会使计算中断 或因误差扩大太大而使计算不稳定。四、3、3、1 COSXf(x)四、解:2!f (x)COSX241 x x 2!4!42nX(1)n 1 x -4!(2n!)2n 2(1)n1:“(2n!)4!解:2X2!2 X(1)n1显然精确成立;hh厶hf(x)x时，0xdx2畀hh2 .h3h sf (x)X2时，X02dx3畀h3h4hf (x)X3时，X0dx4畀h4 .丄h皿f (x)4 - rX4dx0x时，0522h 1 1h2h20 2h2nX丽h33-12亠2 -h h 03h 125h41h204h3-126 ；2所以，其

20、代数精确度为3Xk 11(Xk& 1 2-Xka/ ak 0,1,2五、五、证明：2Xk2Xk故对一切k1,2,Xka。xk 11 “a、1川1) 1-(1)-(1又Xk2Xk所以Xk1Xk即序列xk是单调递减有卜界，从而迭代过程收敛六、六、解：x 2 P(x)1 2 2 1330P(x)dx -f(1)f(1)因为f(x)在基点f(2)2。其代数精度为1、2处的插值多项式为1。七、七、证明：由题意知：AX b,AX b r1A(X X) r X X A rAX b b AX A X又X X A r|1|AX b八、解:设 H(x) N2(x) ax(x 1)(x 2)1N2(x) f (0)

21、f0,1(x 0)f0,1,2(x0)(x 1)1 2x(x 0)(x 1)21H(x) 1 2xx(x 1) ax(x 1)(x2)所以21a 由 H (0) 3得：4所以H(x)-x3-x2 3x 1442f(t) H(t) k(x)t (t 1)(t 2)令R(x) f(x) H(x)，作辅助函数g(t)则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：t X，0,1,九、反复利用罗尔定理可得:所以R(x) f(x) H(x)k(x)(4)()k(x)x2(x 1)(x2)4!x2(x 1)( x 2)bn 1a f(x)w(x)dxAk f (xk)九、证明：形如k 1有的高斯(

22、Gauss)型求积公式具最高代数精度2n+1次，它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式 均精确成立1)n 1bA k(Xi) j(Xi) a k(x) j(x)w(x)dx 0 i 1十、2)因为li(x)是n次多项式，且有 jbn 1a lk(x)lj (x)w(x)dxAilk(Xi)lj(Xi)所以ai 12取f(x) li (X)，代入求积公式：因为bn 12ali(x)w(x)dxAjli(Xj)2 a所以n 1 b 2 lk (x)w(x)dx ak 1 故结论成立 十、解：3)j 1n 1Akk 1bw(x)dxa0(2li (x)是2n次多项式,j)fX,X1, ,Xp

23、pf(Xi)pi 0(Xi Xj)(n 1)fXo,Xi,Xn 1(n 1)!数值计算方法试题一、(24分)填空题(9) (1)(2分)改变函数f(x) x 1 x ( x 1)的形式，使计算结果较精确(10) (2)(2分)若用二分法求方程fx 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。(11) (3)(2f x分)设2 2 x1x2x1x2，则fxSx2x3,0x 132bx c,1 x 2是3次样条函(12) (4)(3分)设x ax数，贝Sa= , b=,c=。(13) (5)(3分)若用复化梯形公式计算10e dx，要求误差不超过10 6，利用余项公式估计，至少用

24、个求积节点。为 1.6x21(14) (6)(6 分)写出求解方程组0.4x1 x2 2的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。5 4(15) (7)(4 分)设 A 4 3 ,贝 y A ，Cond A(16) (8)(2分)若用Euler法求解初值问题V 10y，y 0 1 ,为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为二. (64 分)(9) (1)(6分)写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(10) (2)(12 分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。(11) (3)(

25、10分)求fx ex在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。I 1沁 dx(12) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分0 x 的近似值,要求误差限为0.5 10 5。(13) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：X14x22x3243捲X25x3342x6x2X3271 351 22彳.x2(14) (6)(8分)求方程组1 11的最小二乘解(15) (7)(8分)已知常微分方程的初值问题：dy dx x y, 1 x 1.2y(1) 2用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h 0.2。三. (12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6) (1)(6分

26、)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：p1 15 p 120p 130 p 257 p 272 (7) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:1xf x dx010 1 A(8) (3)（6分）用幕法求矩阵1 1的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0 T。（6分）推导求解常微分方程初值问题y x f x, y x ,ab, y a y的形式为yi 1 yi hi1 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高,其中i f xi, yixi a ih(9) i=0,1,N,(10) (

27、5)(6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y p x y y a0,0, a x b所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案(24(1) (2x 1 x (2) (2分)10(22x1X22x2X1(4k 1X1k 1X29 91(3 分)3 -31 1.6x2k0爲，k 0,1,2 0.4x1k 101 (5) (3分)477(8) (2分)h hyiy - kik22 0.10.5 0.52380952.10714292三. (12分)(1)差分表:11520115152071152214282573072257p x 15 20 x 115 x,23,317 x 1x 1

28、x 25 4x 3x2 2x34 x其他方法：设P x152320 x 115 x 1x 1 ax b令 P 257，p 272求出a和b 取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得:A0A111 A。A A。 * A 62 ,233,6f(x)=x 2 时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24二公式的代数精度=2U1Av10(1)1U1, V010.00V1U10.9950U10.09950u2 Av110.051.095u2, V|10.108 ,U2U20.99410.1083U3Av21.102(3)1U3, V2(2)1(3)10.0020.05X10

29、.9940110.110.1090h2亠3y Xihy Xi2y XiO hy XiohyXi1hyXi1h2y1 01 hyXi11 h2y Xi21令10 10,21 0得。局部截断误差二y h 1 yi 110.110JV33U3 20.10903XiO h3O h3312 12U30.9940hf计算公式为yi 1 yi 2 3fi fi 1,i=0,1,2,局部截断误差h3y xi=12O h4(5)记 h (b a)/N ,xiaihPiP Xiqiq Xirir Xiyiy k ,i=0.Nyi12 %yi1Pi2hyiyiqiyirih2Pi yi12 h2qi yih2Pi yih2i,i=1.N-1(1)3y 4y1 y20,与（1）取i=1的方程联立消去y2得2 22 2 5 y 2 h q1 2hp1 % hyN 0，与（1）取i=N-1的方程联立消去yN得h qN 1yN 11hPn 2 y N 22