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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!数列求和方法等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.下面我们结合具体实例来研究求和的方法.一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.例1 求解：原式由等差数列求和公式，得原式二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求的和分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1，故采用倒序相加法求和解：设则
2、两式相加，得 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.例3 已知，求的和分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和.解：，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.四、
3、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.例4 求的和解：当时，；当时，小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例5 求数列，的前项和分析：此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解解：小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!求通项公式的
4、十种方法一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用例2若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解： 2分 当 当4分练习：1. 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=
5、3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 2（2006年全国卷I）设数列的前项的和，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I），解得：所以数列是公比为4的等比数列所以：得： （其中n为正整数）（II）所以： 三、累加法例3 已知
6、数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例5已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。四、累乘法例6 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：
7、本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例7已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。五.构造等差或等比或例8（2006年福建卷）已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列。即例9已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以练习.已知数列满足，且。（1）求；如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）六
8、、待定系数法例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例12 已
9、知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。七、对数变换法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是
10、通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。八、迭代法例14已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。九、数学归纳法例15已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
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