高等数学第六版(同济版)第九章复习资料全

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1、第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n元函数上去.第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念1 .平面点集:E(x,y)|(x,y)具有性质P例如：C(x,y)|x2y2r2P|OP|r,其中点P表示点(

2、x,y).2 .邻域：Po(xo,yo)R2.邻域：U(Po,)P|PoP|(x,y),(xxo)2(y%)2(z4)2)oo.去心邻域：U(Po,)P0|F0P|U(Po)3.坐标面上的点P与平面点集E的关系：PR2,ER2.点：若0,使U(P,)E,则称P为E的点.外点：若0,使U(P,)E，则称P为E的外点.边界点：若0,U(P,)E，且U(P,)E,则称P为E的边界点.边界：E的边界点的全体称为它的边界，记作E.o.聚点：若0,U(P,)E，则称P为E的聚点.导集：E的聚点的全体称为它的导集.注：1.若P为E的聚点，则P可以属于E,也可以不属于E.、一一,、.一一一.、一2.点一止是聚

3、点；外点一止不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：Ei(x,y)1x2y22；E2(x,y)1x2y22(0,0).4.一些常用的平面点集：.开集：若点集E的点都是其点，则称E为开集.闭集：若点集E的边界EE,则称E为闭集.开集加边界,.连通集：若E中任何两点都可用属于E的折线连接，则称E为连通集.开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.例如：Ei(x,y)1x2y22为区域.E2(x,y)1x2y22为闭区域.有界集：若r0,使EU(O,r),则称E为有界集.无界集：若r0,使EU(O,r),则称E为无界集.二、n维空间：对取定的自然数n,

4、称n元数组(X,x2,4)的全体为n维空间，记为Rn.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间.三、多元函数的概念zf(x,y)1 .定义：一，或zf(P),其中P(x,y)D.因映自变变量射量定义域：D.值域：f(D)zzf(x,y),(x,y)DR.注：可才t广：n元函数：uf(x1,x2,xn),(x,x2,xn)DRn.例：1.zarcsin(x2y2),D(x,y)x2y21.2 .zln(xy),D(x,y)xy0.2.几何表示：函数zf(x,y)对应空间直角坐标系中的一曲面：F(x,y,z)zf(x,y)0.四、二元函数的极限1 .定义：设函数f(x,y)的定义域为D,点P

5、o(xo,yo)为D的聚点，若oAR,0,0,P(x,y)DU(Po,)，满足|f(x,y)A|，则称A为f(x,y)当P(x,y)P0(x0,y。)时的极限，记作limf(x,y)A,称之为f(x,y)的二重极限.(x,y)(x0,y0)，求证(，叫。,。)”。0.j.、r991例1.设f(x,y)(xy)sin2xy证明:0,要使不等式成立，只须取于是,0, , P(x,y)、.2D U(0,)，总有(x21y)sin 22x y0，即例2.证明lim f (x, y) 0.(x,y) (0,0)xy2(xyl)叫。)f (x,y)不存在，其中 f (x,y) x yx,y ,0,证明：当

6、P(x,y)沿直线y kx(k 0)趋于O(0,0)时，总有kx2lim f (x, y) lim 2-(x,y) (0,0)x 0 x2k2x2y kxk1 k2f(x,y)随着k的不同而趋于不同的值，故极限(x,y)im(0,0)f(x,y)不存在.(0,0)例3.求极限(Jim(0,2)Wysin xysin xy角单： limlimy(x,y) (0,2) x (x,y) (0,2) xysinxy lim - xy 0 xy1ym2丫122.五、二元函数的连续性1.二元函数的连续性：设函数f(x, y)的定义域为D，点B(x0,y0)为D的聚点，且P D，若limf(x,y)“%,丫

7、0),则称2f(x,y)在点吊(xo,yo)连续.(x,y)(xo,yo)2 .二元函数的间断点:设函数f(x,y)的定义域为D,点Po(xO,yo)为D的聚点，若f(x,y)在点Po(xo,yo)不连续，则称P0(xo,yo)为f(x,y)的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3 .性质：设D为有界闭区域.有界性：M0,(x,y)D,有|f(x,y)|M.最值性:/士/日f(P)maxf(P)|PD一P,P2D,使得f(P2)minf(P)|PD,PD,有f(P)f(P)也以.介值性：Cf(n),f(P2),P(x,y)D,使得f(x,y)C.4 .二元连续函数的运算性质

8、.和、差、积仍连续；.商连续;.复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性.二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.二元初等函数在其定义区域连续例4.求(xM,2)x yxy解：令 f (x, y)，则2) “皿 1例 5.求(Jim(0,0)xy 1xy(x,y)m(o,o)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率一导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为

9、例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率这就是数学上的偏导数.、偏导数的相关概念1 .偏导数：设函数zf(x,y)在点Po(xo,yo)的某邻域有定义，把y暂时固定在y,而x在x0处有增量x时，z相应地有增量f(xox,yo)f(xo,y0).若极限1mli0x，y0)f(x0,yo);-;x xox x xoy yoy yo存在,则称此极限值为函数zf(x,y)在点Po(xo,yo)处对x的偏导数，记为二xzxxxo或fx(x0,y0).yyo、一 .汪：1 . fx(x0, yo)x, yo) f(xo, yo)x-f (x, yo

10、) x dxxo .一， 、2 . fy(x0, yo)lim f(xo,yoy) f(xo,yo)y oyd 、-f (xo，y) y dyyo .2 .偏导函数：若函数zf(x,y)在区域D每一点(x,y)处对x或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数，也简称为偏导数，记为z,f,zx或fx(x,y);z,f-,zy或fy(x,y).xxyy注：可推广：三元函数uf(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为f(xx,y,z)f(x,y,z)fx(x,y,z)lim-3一l一i.xox例1.求zx(x,y)(o,o) xy(x,y)(0,0)xy( 、xy 1 1)3xyy2在(1,

11、2)处的偏导数.解：先求偏导函数：2x3y,二3x2y.xy再求偏导数：zXz8, x 1yy 2)7.X 1 y 2例2.求zX2sin2y的偏导数.z_._z_2一解：2xsin2y,2xcos2y.xy例3.求rMy2z2的偏导数.解：2X X 2,x2 y2 z2-.由轮换对称性可知 r3.偏导数的几何意义.偏导数fx（Xo,yo）是曲线f（X，y）在点Mo（Xo,yo, f（Xo,yo）处的切线关于x轴的斜率.V。.偏导数fy（Xo, y）是曲线f（X，y）在点Mo（Xo,yo, f（X0,y。）处的切线关于y轴的斜率.Xo4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续

12、之间无必然的蕴含关系.函数z f（x, y）在点Po（x。, y。）处偏导数存在，但它在点Po（Xo,y。）却未必连续.例如：函数xy 222-2,xyz f (X, y) x y0,0在点（0,0）的两个偏导数都存在，即0fx(0,0)fy(0,0)lXm000,M0 0.limf(0x,0)f(0,0)x0Xlimf(0,0y)f(0,0)y0y但二重极限（xylim（00）f（X,v）不存在，故zf（x,y）在点（0,0）不连续.函数zf（x,y）在点PO（X0,y）连续，但它在点/（如y0）处却未必存在偏导数.例如：函数zf（x,v）x2y2在点（0,0）连续，但它在点（0,0）对x及

13、y的偏导数都不存在这是因为：limf(0x,0)f(0,0)lim1,x0x0xx0x1,x0.f(0,0V)f(0,0).Iy1,v0lim-lim,y0vx0V1,V0即zf(x,y)在点(0,0)对x及y的偏导数都不存在二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数zf(x,y)对x及y的偏导数fx(x,y)及fy(x,y)对x及y的偏导数也存在，则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数2记作：z-fxx(x,y);zxxxyy2zzzfxy(x,y);yxxyxy二阶纯偏导数fyy(x,y)；二阶纯偏导数fyx(x,y).二阶混合偏导数、.一一.-注：1.一般地，二兀函数zf(x,y)的n1阶偏导

14、数的偏导数称为它的n阶偏导数.2.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数4-,3.二兀函数zf(x,y)的n阶偏导数至多有2个.例4.设zx3y23xy3xy1,求它的二阶偏导数解：3x2y2xc3zc3c23yy;2xy9xyx;y6xy2;2x318xy;2zc26xyxy9y22z_2-21;-6x2y9y21.yx22总结：从这一例题，我们看到：一-J,即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.xyyx那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如:z f(x, y)2y2 y22xy2xy-2,xxy0，在点(0,0),0y)fx(0,0);y有fxy(0,

15、0)fyx(0,0)，事实上，fxy(0,0)fyx(0,0)fy(0limx0x,0)fy(0,0)x而fx(0,0)limf(0x,0)f(0,0)x0x0,fy(0，0)limf(0，0y)f(0，0)0,y0yfx(0,y)limf(0x,y)f(0,y)x0xxylimx0x)2(x)2xfy(x,0)limy0f(x,0y)f(x,0)limy022x(y)yx2x2(y)2x.y于是，fxy(0,0)fyx(0,0)lim y1,y 0 y2.偏微分：称 fx(x,y) x与 fy(x, y) y 为zlimfx(0，0y)fx(0，0)y0ylimfy(0x，0)fy(0，0)

16、x0x即fxy(0,0)fyx(0,0).那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理:2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数fxy(x,y)与fyx(x,y)在区域D连续，则它们在D必相等，即fxy(x,y)fyx(x,y).一.一.一注：1.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.一.-.,一一2.一般地，若二兀函数zf(x,y)的高阶混合偏导数都连续，则zf(x,y)的n阶偏导数只有n1个.第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称xZf(xx,y)”*,丫)为函数2f(x,y)对x的偏增量；称yZf(x,y

17、y)f(x,y)为函数zf(x,y)对y的偏增量.f(x,y)对x及y的偏微分.注：f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y.但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量x、y时，相应的函数增量z与自变量的增量x、y之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3 .全增量：称zf(xx,yy)f(x,y)为函数zf(x,y)在点P(x,y)对应于自变量增量x、y的全增量.一般来讲，计算全增量z是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用x、y的线性函数来近似代替函数的全增量z,为此,引入了全微分.4 .全微分：若函数zf(x,y)

18、在点P(x,y)的某领域有定义，且在P(x,y)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)可表示为zAxByo()，其中A、B不依赖于x、y,而仅与x、y有关，&x)2(y)2,则称zf(x,y)在点P(x,y)可微分，而称AxBy为zf(x,y)在点P(x,y)的全微分，记作dz,即dzAxBy.若zf(x,y)在区域D每一点都可微分，则称zf(x,y)在D可微分.注：dzzo().我们知道，当一元函数yf(x)在点x的微分dyAx存在时，Af(x)，那么，当二元函数zf(x,y)在点P(x,y)的全微分dzAxBy存在时，A、B又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系

19、，从中得到A、B的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1.函数可微分的必要条件定理1.若函数zf(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y)及fy(x,y)必定存在，且zf(x,y)在点P(x,y)的全微分dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy.证明：由于zf(x,y)在点P(x,y)可微分，则有zAxByo(),其中y(x)2(y)2,当y0时，有xzf(xx,y)f(x,y)Axo(|x|)，从而limf(Xx，y)f(X，y)limAxo(|x|)A,x0xx0x即Afx(x,y),同理可得Bfy(x,y),于是dzfx(x,y)x

20、fy(x,y)y.特殊地，令f(x,y)x,有fx(x,y)1,fy(x,y)0,从而有dxx,同理令f(x,y)y,有fx(x,y)0,fy(x,y)1,从而有dyy.于是有dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy,也称之为二元函数微分学的叠加原理.注：定理说明：函数zf(x,y)可微分，zf(x,y)一定可偏导，且全微分可用偏导数表示.但反之未必，即偏导数存在，函数zf(x,y)未必可微分.xy22c22,xy0例如：zf(x,y)qxy在点(0,0)处两个偏导数都存在，且0,x2y20fx(0,0)fy(0,0)，但zf(x,y)在点(0,0)却不可微分.事实上，假设zf(x,y)在点(

21、0,0)可微分，则dzfx(x,y)xfy(x,y)y,又zdzo()，从而-z-dz0,当0时.而zdzf(0x,0y)f(0,0)0=xy2,有(x)(y)limfxx,y)f(x,y)lim：y22不存在，更谈不上等于0,从而假设不成x0x(x，y)(0，0)(.(x)2(y)2)2立，即zf(x,y)在点(0,0)不可彳散分.2 .函数可微分的必要条件定理2若函数zf(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在点P(x,y)连续.证明：由于zf(x,y)在点P(x,y)可微分，有zAxByo()，其中V(x)2(y)2,于是有，lim0z0.又zf(x,y)的全增量为zf(xx,yy)f(

22、x,y),从而limf(xx,yy)f(x,y)0,即limf(xx,yy)f(x,y),这说明(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)zf(x,y)在点P(x,y)连续.注：函数连续，未必可微分.例如：函数zf(x,y)(X2y2在点(0,0)连续,但由于偏导数不存在，从而不可微分.3 .函数可微分的充分条件定理3若函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)与fy(x,y)在点(x,y)都连续，则zf(x,y)在点(x,y)可微分.注：反之未必.例如：z f (x, y)(x20,21y )sin2 x y22x y 0在点(0,0)可微分，但fx(x, y)与22x y 0fy(x,y)在点

23、(0,0)都不连续.先说明zf(x,y)在点(0,0)可微分.设(x,y)fx(0,0)xfy(0,0)y0,因为 fx(0,0)lim)f(02x 0xfy(0,0)lim - f(0,0)y 0y2 .1x sin 2 lim-x 0 x0,2.1y sin -lim- 0 ,y 0 y令 u f(0x,0_ _22y) f(0,0) ( x) ( y) sin2-2.1sin 由于lim (x y) lim 0,其中00V( x)2( y)2 ,于是u ( x, y) o( ) fx(0,0) x fy(0,0) y o()，由全微分的定义知z f (x, y)在(0,0)可微分.再说明

24、偏导数fx(x,y)及fy(x, y)在点(0,0)不连续.12x122c易知 fx(x, y) 2xsin -22 l2cos-22 ,x y 0 ,x y x y x y由于二jay)lxm0fx(x，x)y x. . c .1lim 2xsin2 x 02x21 -cos x12不存在，从而fx(x,y)在点(0,0) 2x不连续.同理可知fy(x,y)八.12ysin -22x y2y -22 cos-2x y x(x2y2 0)在点(0,0)也不连续.例1.计算函数y2的全微分.解：dz dxxdyy22xydx (x 2y)dy.例2.计算函数zexy在点(2,1)处的全微分.解：

25、由于 xxy zye ，- yxy， z xe ，有一x2e2,所以dz22 .x 2 e dx 2e dy .y 1例3.计算u xsin -2eyz的全微分.解：du dxxTdyu .dz dxzcos22yzyzze dy ye dz.第四节多元复合函数的求导法则元函数与多元函数复合的情形定理1.若函数u及v在点t都可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z f (t), (t)在点t可导dudt,5 .全导数公式 v dt注：可推广：z f(u,v, ),u (t) , v，复合而成的函数z f (t), (t), (t)在ddt点t可导，且*二业二业二d

26、tudtvdt、多元函数与多元函数复合的情形定理2.若函数u(x,y)及v(x,y)在点(x,y)具有对x及y的偏导数，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zf(x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，口zzuzvzzu且一一一一一；一一xuxvxyuy注：可推广：由 z f (u,v, ) , u (x, y) , v (x, y),(x,y)复合而成的函数z f (x, y), (x, y), (x, y)在点(x, y)两个偏导数都存在，且z zu z v zz z u z v一 一 一 一 一,一 一 一 一 一 xuxvx x y u y v

27、y、其它情形1.函数u (x, y)在点(x, y)对x及y的偏导数都存在，函数及v(y)在点t可导，z f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z f (x, y), y在点(x, y)的两个偏导数都存在，且zz uz dvxu xv dxzuz八-0 uxvzzuzdvyuyvdy2.函数u(x,y)在点(x,y)具有对x及y的偏导数，zf(u,x,y)在点(u,x,y)具有连续偏导例 1.设 z eusinv,而 u xy, v x数，则复合函数zf(x,y),x,y在点(x,y)的两个偏导数都存在，且解： xz _u u x_ u _ . _e sinv yeucosv 1

28、exyysin(xy) cos(x y);_zyzuz vu yvyu _ . _e sinv xeucosv 1 exyxsin(xy) cos(x y).例2.设uf(x,y,z)2ex y2u ux sin y ,求及. x y解： xf dx f dyx dxy dx222xex yz2o x22zey2 z22xsin y2x(12x2 sin2 y)ex24 -2y x sin y22x y2ye2zex2x cosy2(y.224.24x y x sin yx sin ycosy)ezfufdxfdyfuf1xuxxdxydxux1?xzfufdxfdyfu1yuyxdyydyu

29、yyy,求-z及-z.例3.设zuvsint，而uet,vcost，求求导数.dtdzdzzduzdvzdtt他半：一一一一一veusintcostdtudtvdttdtetcostetsintcostet(costsint)cost.四、全微分形式不变性：若函数zf(u,v)具有连续偏导数，则有全微分生du/dv.若函dtuv数u(x,y)及v(x,y)也具有连续偏导数，则复合函数zf(x,y),(x,y)的全微分为dx-zdy,有dzdudvzdx-zdy,称此性质为全微分形式不变性.dtxydtuvxydzz.z.zuzv.zuzv.事头上：dxdydxdydtxyuxvxuyvyzu.

30、u.zu.v.zzadxdy一dxdydudv.uxyvxyuv例4.利用全微分形式不变性求-u与-u,其中zeusinv,uxy,vxy.xy解：由于dzd(eusinv)eusinvdueucosvdv,而dud(xy)ydxxdy,dvd(xy)dxdy,dxxy)dx exyxsin(x y) cos(x y)dy,于是dz(eusinvyeucosv)dx(eusinvxeucosv)dy,即dyexyysin(xy)cos(xy比较两端dx、dy的系数得:-exy ysin(x xy) cos(x y),exyxsin(xy)cos(xy).第五节隐函数的求导公式一、隐函数：称对应

31、关系不明显，而是隐含在方程中的函数为由方程确定的隐函数，.一i，一注：i.f(t)在点to可导fi(t)、f2(t)、f3(t)点to都可导.一_,-_，f_，ff(t)fi(t)if2(t)jf3(t)k.、-r-f-2.一兀向量值函数的导向量的几何意义：f(to)lim。1是向量值函数rf(t)的终端曲线在点M(to)处的一个切向量，其指向与t的增长方向一致.例i.设f(t)(cost)i(sint)jtk,求limf(t).二i 二j -k.224t/4解：limf(t)(limcost)(limsint)j(limt)kt/4t/4t/4t/4例2.设空间曲线的向量方程为rf(t)(t

32、21,4t3,2t26t),tR,求曲线在点to2相应的点处的单位切向量.解：由于不(t)(2t,4,4t6),有千(2)(4,4,2)，进而|f(2)|42226,于是1221,ni1(4,4,2)2,2,-为指向与t的增长方向一致的单位切向量.6333221一，、，、，n22,2,1为指向与t的增长方向相反的单位切向量333、空间曲线的切线与法平面X1.参数式情形：设空间曲线 的参数方程为yz ,t,假设、以及在,上可导，且三个导数不同时为零.切线：曲线 上的一点M(xo,yo,zo)处的切线方程为:X Xo y yo7rnz-，参数to对 (t)应点M(xo,yo,zo).(t)，由向量

33、值函(t)(t),记向量值函数f(t)(t),(t),(t)数导数的几何意义知：向量Tf(to)(to),(to),(to)即为曲线在其上的点M(xo,yo,zo)处的一个切向量从而曲线在其上的点M(xo,yo,zo)处的切线方程为:xXoyyozzo.(to)(to)(to).法平面：通过曲线上的点M(Xo,yo,zo)而与曲线在点M处的切线垂直的平面方程称为曲线在点M处的法平面，方程为(to)(xXo)(to)(yyo)(t)(zz0)o.其中法向量为Tf(to)(to),(to),(to).2.特殊式情形：设空间曲线的方程为y推导：由于曲线 的参数方程为yz，且(X)、(X)在点XXo处

34、可导，曲线的z(X)xx方程可改写为y(x),x为参数，从而曲线在点M(Xo,yo,Zo)处的切线与法平面方程分别z(x)为：线方程：)xo yyoz zo一(xo)(xo).法平面方程：(x xo)(xo)(y yo)(x0)(z Zo) o .3. 一般式 情形：设曲线的方程为F(x，y，z) o,M(x0,yo,zo)为曲线上的一点,G(x,y,z) o又设F、G有对各个变量的连续偏导数，且(F,G)(y,z)。,这时方程组在点M (xo, yo,zo)的某一邻域确定了一组隐函数(x)(),从而曲线(x)x x的参数方程为y(x) ,x为参数，于是切向量z(x)为 T (1, (xo),

35、(xo).切线方程:FyGyFzx xo1FyGyFzFzGzFxFxGxM, GxFyGyMyyo,(xo)z z,(xo).法平面方程：(x xo),(xo)(y yo)(xo)(z zo) o .例3.求曲线6， .在点(1, 2,1)处的切线与法平面万程解：在方程组6两端对x求导，得dycdz八dydz2x2y2z一oyz一xdxdx整理得dxdx1dydzo皿dy也1dxdxdxdxz x dyy z dx(1, 2,1)T (1, 0,1)，从而所求切线方程为:0;dzdxx y dzz dx1,故切向量为(1, 2,1)法平面方程为(x1) 0(y 2)三、曲面的切平面与法线1.

36、定义.切平面：若曲面 上通过点M的一切曲线在点M为曲面在点M的切平面.法线：通过点M且与切平面垂直的直线称为曲面2.切平面与法线方程，或(z1)0 或x z 0.的切线都在同一个平面上，则称此平面在点M的法线. 一般式情形：设曲面 的方程为F (x, y, z) 0 ,点M (x0, y0,zO)为其上一点，且函数F(x,y,z)的偏导数在点M连续.切平面方程：Fx(M)(x x)Fy(M)(y y) Fz(M)(z 4) 0；法线方程:x X。y yz zFx(M ) Fy(M ) Fz(M )推导：在曲面 上过点M任意引一条曲线x，设其参数方程为yz(t)，且函数x (t)、y以及z(t)

37、在tto都可导,tto对应点M(x0,y0,z0),有方程F(t),(t),(t)0,两端对x求导，在tt0处，有Fx(x0,y0,z)(t0)Fy(x0,y0,z0),(t0)Fz(x0,y0,z)(t0)0.记N5*(%)0,4)6(%,丫0,4)罕(,丫0,4).又T(t0),(to),&)为曲线在点Md,丫0,4)处的切向量，由上式可知NT0,即曲面上通过点M(x0,y0,z)的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面在点M(x0,y0,z)的且平面存在，该切平面以向量NFx(X0,y0,Zo),Fy(Xo，y0,Zo),Fz(%,y0,Z0)为一法线

38、向量.特殊式显函数情形：曲面：zf(x,y),且函数f(x,y)的偏导数在点(Xo,y)连续.切平面方程：fx(X0,y)(X%)fy(x0,y)(yy)(zz)0.法线方程：?A_0y_x.fx(x0,yo)fy(xO,yo)1推导：记F(x,y,z)f(x,y)z0,有Fx(x,y,z)fx(x,y),Fy(x,y,z)fy(x,y),Fz(x,y,z)1,故有法向量nfx(%,y0),fy(%,y0),1.例4.求球面x2y2z214在点(1,2,3)处的且平面及法线方程.解：设F(x,y,z)x2y2z214,有Fx(x,y,z)2x,Fy(x,y,z)2y,Fz(x,y,z)2z,故

39、所求切平面的法向量为N2x,2y,2z|(1,2,3)(2,4,6),于是所求切平面方程为：2(x1)4(y2)6(z3)0,即x2y3z140,法线方程为：”,即个卫巳123123例5.求旋转抛物面zx2y21在点(2,1,4)处的切平面即法线方程.解：设f(x,y)x2y21,有fx(x,y)2x,fy(x,y)2y,于是所求切平面的法向量为N2x,2y,11214)(4,2,1).,从而所求切平面方程为4(x2)2(y1)(z4)0,即4x2yz60,法线方程为修口二.421第七节方向导数与梯度引入:由函数f(x,y)在点P0(x),y)的偏导数的几何意义可知：偏导数fx(x0,y0)、

40、fy(x0,y)只是函数f(x,y)过点P0(x0,y)沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数f(x,y)在点P0(x0,y0)沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度.、方向导数1 .定义：设函数f(x,y)在点Po(Xo,yo)的某个邻域U(P0)有定义，Po(Xotcos,ytsin)为过点Po(xo,yo)的射线l上另一点，且PU(Po).若极限limf(X0tcos,y0ttsin)f(X0,yo)存在，则称此极限为函数zf(x,y)在点B(x,y。)沿方向l的方向导数,记作.l(X0,y)注：若函数f(x,y)

41、在点P0(X0,yO)的偏导数存在，且e(1,0)i,则f.f(x0t,y)f(M,y0)一、lim-fx(x0,%).l(。)t0t若函数f(x,y)在点P0(x0,yO)的偏导数存在，且el(0,1)j,则fy(X0, %).f.f(%,y0t)f(x0,y)liml(X。,y)t0t2 .方向导数的存在性定理：若函数f(x,y)在点P0(X0,yO)可微分，则函数f(x,y)在点F0(x,y)沿任意方向l的方向导数都存在,且有ffx(X0,%)cosfy(X0,%)cos，其中cos、cos的方向余弦.l(飞)0)汪：1.可推广：右函数f(x,y,z)在点P0(X0,y0,z0)可微分，

42、则f(x,y,z)在点P0沿方向el(cos,cos,cos)的方向导数为ffx(%,y0,4)cosfy(x0,y0,4)cosfz(x,y,%)cos.1 (X0，y0，z0)、4.2 .方向导数存在，函数未必可微分.例如：f(x,y)x2y2在点(0,0)沿方向el(cos,cos)的方向导数都存在，但f(x,y)在点(0,0)不可彳取分.f(0tcos,0tcos)f(0,0)t22一事头上：由于lim二-lim-1,从而f(x,y)qxy在点(0,0)t0tt0t沿方向el的方向导数都存在.但 f (x, y) . x2y2在点(0,0)的两个偏导数都不存在，从而不可微分.例1.求函

43、数zxe2y在点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,1)方向的方向导数.zx (1,0)e2y(1,0)2xe2 yy (1,0)(1,0)2,解：由题可知方向l就是向量PQ(1,1)的方向，有&一、，z11J：故所求方向导数为-1，2二-l(1,0)V2222例 2.求 f (x, y,z)xyyzzx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为ooo60,45,60.121斛：由题可知与方向l同向的单包向重为el(cos60,cos45,cos60)-,，一,222又 fx(1,1,2) (y z)(112)3,fy(1,1,2) (x,z) (1,1,2)3,fz(1,

44、1,2)(y x) (1,1,2)2,故所求方向导数为-f313二(1,1,2)222 1 g(5 3际.、梯度1.梯度的定义：设函数f(x,y)在平面区域D具有一阶连续偏导数，对每一个点F0(x,y)D,称向量fx(x0,y)ify(Xo,y)j为函数f(x,y)在点Fx。,y)的梯度，记作gradf(%,yO)，或f(x0,y0),即gradfd山)f(x0,y0)fx(x0,y)ify(x0,y)j.注：可才t广：gradf(x0,y0,4)“4。？。)fx(%,yO,zjify(x0,丫。，)jfz(x,y,%)k.2.梯度与方向导数的关系.沿梯度方向，方向导数达到最大值；.梯度的模为

45、方向导数的最大值.推导：设ei(cos,cos),若函数f(x,y)在点P0(x0,y)可微分，则f(x,y)在点F0沿方向l的方向导数为f lfx (X0, y) cosfy (X0, y) cos(%，%)|gradf(xo,yo)|e|cos.1.当 0时,fl|grad f (xo,y) |.(X0,y0)这说明函数f(x,y)在一点(x,y)的梯度gradf(x,y)是这样一个向量，它的方向是f(x,y)在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值.2.当时，有e与gradf(x,y)的方向相反，函数f(x,y)减小最快,f(x,y)在这个方向上的方向导数达到最小值,

46、|gradf(xo,yo)|.1(xo,yo)3.当一时，有&与gradf(x0,y0)的方向正交，函数f(x,y)的变化率为零，即2|gradf(xo,yo)|cos0.1(x0,yo)1例3.求grad-2-.xy1 2x2y斛：令f(x,y)-22,有fx(x,y)2-2,fx(x,y)受，于THxy(xy)(xy)d12i2；grad22,22、2i,22、2j.xy(xy)(xy)122例4.设f(x,y)-(xy),P0(1,1)，求2.f(x,y)在P0处增加最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数；.f(x,y)在P0处减少最快的方向以及f(x,y)沿这个方向的方向导数；

47、.f(x,y)在P。处变化率为零的方向.解：.f(x,y)在点P(1,1)处沿一f(1,1)的方向增加最快，由于,f(1,1)(xiyj)(1,1)ij,故所求方向可取为n|一f(1,1)|-Xi;1方向导数为f11,1)|2.f(1,1)7222n(1,1).f(x,y)在点F0(1,1)处沿f(1,1)的方向减少最快，故所求方向可取为-1-1,、，一.n1nij,方向导数为,2,2I f(1,1)l2.n(1,1)n21:11：1：京T2jn3宕五厂.f(x,y)在点P0(1,1)处沿垂直于f(1,1)的方向变化率为零，故所求方向为第八节多元函数的极值及其求法引入：在一元函数微分学中，我们

48、讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问一、二元函数的极值与最值1 .极值：二元函数f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的点，若存在P0的某个邻域U(B)D,P(x,y)U(Po),且P(x,y)P0(x0,y。),都有f(x,y)f(x0,y0),则称f(x,y)在点P0有极大值.点P0(x。，y。)称为函数f(x,y)的极大值点,则称f(x0,yO)为f(x,y)在D上的最大值最小值.、一.、.、-.注：1.极值是一个局部概念，最值是一个整体概念.2.极值与最值的关系：极值可以是最值，

49、但最值未必是极值例1.函数z3x24y2在点(0,0)取得极小值也是最小值.例2.函数z&y2在点(0,0)取得极大值也是最大值.例3.函数zxy在点(0,0)既不取得极大值也不取得极小值.由此可见,并不是每一个函数在其定义域上都有极值点,那么什么样的点可能是函数的极值点呢？又如何判断函数在该极值点处取得极大值还是极小值呢？下面我们来学习极值点的必要条件和充分条件,从中得到这些问题的答案.二、极值点的条件定理1.若函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)具有偏导数,且在点P0(x0,y0)处取得极值,则有fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.注：1.称使?，0，%)，成立的点(Xo,yo)为f(x,y)的驻点或稳定点.fy(x0,y0)02.可偏导函数的极值点一定是其驻点,但反之未必.例如：函数zxy,在点(0,0)是其驻点，但zxy在点(0,0)却不取得极值.那么什么样的驻点才能是极值点呢？下面的极值点的充分条件回答