2017年北京市海淀区高三上学期期中考试数学理试题（解析版）

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1、海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科） 2016.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，则A. B. C. D. 或2. 已知向量，则与A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数的最小值为A. 1 B. 2 C. D. 44. 已知命题，方程 有解，则为 A. ，方程无解B. 0，方程有解 C. ，方程无解D. 0，方程有

2、解5. 已知函数的图象如图所示，则 A. B. C. D. 6. 设是两个向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，下列结论中错误的是A. 是偶函数 B. 函数最小值为 C. 是函数的一个周期 D. 函数在内是减函数 8如图所示，是函数的图象上的动点，过点作直线平行于轴，交函数的图象于点，若函数的图象上存在点使得为等边三角形，则称为函数上的好位置点. 函数上的好位置点的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知数列的前项和，

3、则_.10. 若角的终边过点，则_.11. 已知正方形边长为1，是线段的中点，则_.12. 去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数（为常数）. 若6月份的月平均气温约为，12月份的月平均气温约为，则该地8月份的月平均气温约为 .13. 设函数，且.若，则函数的值域为_； 若在上是增函数，则a的取值范围是_.14. 已知函数的定义域为. ，若此函数同时满足：当时，有；当时，有，则称函数为函数.在下列函数中：；.是函数的为_.（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知数列是公差为2的等差数列，数列满

4、足，且.（）求数列的通项公式；（）求取得最小值时的值.16.（本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求函数的最小正周期和单调递增区间.17.（本小题满分13分）已知函数，函数.（）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.18. （本小题满分13分） 如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且,.（）求的长；（）求的值.19. （本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间； （）求证：当时，函数存在最小值.20.（本小题满分14分）已知数列是无穷数列，满足（）.（）若，求的值；（）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充

5、要条件；（）求证：在数列中,使得. 海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）答案解析 2016.11一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，则A. B. C. D. 或【考点】集合的运算，一元二次不等式。解析：集合Bx|1x3，所以，故选B。2. 已知向量，则与A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。解析：因为，所以，两个向量平行，且方向相反。选D。3. 函数的最小值为A. 1 B. 2 C. D. 4【考点】基本不等式，指数函数的性质。解析：因为0，

6、所以，有，当且仅当，即时取得最小值。选C。4. 已知命题，方程 有解，则为 A. ，方程无解B. 0，方程有解 C. ，方程无解D. 0，方程有解【考点】命题的否定。解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A。5. 已知函数的图象如图所示，则 A. B. C. D. 【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。解析：根据幂函数的性质，由图可知：0b1，由指数函数图象的性质，知：，又当x1时，2，所以，；由对数函数图象的性质，知，又x2时，由图象可知：，所以，c2，所以，选C。6. 设是两个向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D.

7、 既不充分也不必要条件【考点】平面向量，充分必要条件。解析：若，则，化简，可得：，反过来也成立，故选C。7. 已知函数，下列结论中错误的是A. 是偶函数 B. 函数最小值为 C. 是函数的一个周期 D. 函数在内是减函数 【考点】三角函数的图象及其性质。解析：由，知函数是偶函数，故A正确。所以，C也正确，选D。8如图所示，是函数的图象上的动点，过点作直线平行于轴，交函数的图象于点，若函数的图象上存在点使得为等边三角形，则称为函数上的好位置点. 函数上的好位置点的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。解析：设A（），B（），若为等

8、边三角形，则C（），且ACAB2，即2，即3，又因为y单调递增，所以，方程有唯一解。第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知数列的前项和，则_.【考点】数列的前n项和。解析：（271）（31）24。故填空24。10. 若角的终边过点，则_.【考点】三角函数的定义。解析：角的终边过点，所以，答案：11. 已知正方形边长为1，是线段的中点，则_.【考点】平面向量。解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，），所以，（1，）（1,1），答案：12.

9、去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数（为常数）. 若6月份的月平均气温约为，12月份的月平均气温约为，则该地8月份的月平均气温约为 .【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。解析：将（6,22），（12,4）代入函数，解得，所以，当x8时，31。填31。13. 设函数，且.若，则函数的值域为_； 若在上是增函数，则a的取值范围是_.【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质及运算。解析：答案：14. 已知函数的定义域为. ，若此函数同时满足：（i）当时，有；(ii)当时，有，则称函数为函数.在下列函数中：；.是函数的为_.（填出所有符合要求的函数序号）【考点】分函数的性质。解析：

10、由（i），得：，即：，所以，函数是奇函数；由（ii），得：，所以，函数是增函数。对于函数为奇函数，且0，原函数是增函数，符合；对于，与都是增函数，且是奇函数，符合；对于是奇函数，但在R上不单调，不符合。答案： 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）求取得最小值时的值.【考点】等差数列的通项公式解析：（I）（II）16.（本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求函数的最小正周期和单调递增区间.【考点】三角函数的求值，图象及其性质。解析：117.（本小题满分13分）

11、已知函数，函数.（）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.【考点】函数的导数及其应用。解析：18. （本小题满分13分） 如图，是等边三角形，点在边的延长线上，且,.（）求的长；（）求的值.【考点】三角函数的应用。解析：（I）（II）19. （本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间； （）求证：当时，函数存在最小值.【考点】函数的导数及其应用。解析：（II）20.（本小题满分14分）已知数列是无穷数列，满足（）.（）若，求的值；（）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（）求证：在数列中,使得. 【考点】对数运算、数列、充分必要条件，应用知识解决问题的能力。解析：（III）