2004考研数二真题及解析

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1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题：本题共6小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设f(x)lim(n21)X,则f(x)的间断点为xnnx13(2)设函数y(x)由参数方程xt3t13确定，则曲线yy(x)向上凸的x取值范围yt3t1dx设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定，则3x6的特解为微分方程(yx3)dx2xdy0满足yx1210设矩阵A120,矩阵B满足ABA001是单位矩阵，则B2BAE,其中A为A的伴随矩阵，E二、选择题：本题共8小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后

2、的括号内x2x?厂x3把x0时的无穷小量costdt,0tantdt,0sintdt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()(A)，,-(B),.(C),J(D),.(8)设f(x)x(1x),则()(A)x0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点(B)x0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线yf(x)的拐点(C)x0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.(9)(10)(D)limn(A)x0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y1222n2ln-(1n)(1n)-(1一)等于()n、2f(x)的拐点.22Inxdx.i2

3、(B)2Inxdx.2(C)2Jn(1x)dx.设函数f(x)连续，且f(0)(D)0,：ln2(1x)dx则存在0,使得(A)f(x)在(0,)内单调增加(B) f(x)在(,0)内单调减小.(C) 对任意的x(0,)有f(x)f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)f(0).(11)微分方程yyx21sinx的特解形式可设为()2(A) yaxbxcx(AsinxBcosx).2(B) yx(axbxcAsinxBcosx).2(C) yaxbxcAsinx.(D) yax2bxcAcosx(12)设函数f(u)连续，区域D(x,y)x2y22y，贝Uf(xy)dxdy等于()D11

4、x222yy2(A)1dxCf(xy)dy.(B)2dy0f(xy)dx.2sin2sin(C)d00f(rsincos)dr.(D)0d0f(rsincos)rdr(13)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C则满足AQC的可逆矩阵Q为()010010010011(A)100.(B)101.(C)100.(D)100.101001011001(14)设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有()(A) A的列向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关(E) A的列向量组线性相关(F) A的列向量组

5、线性相关(G) A的行向量组线性相关(H) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)1求极限X叫卩X2cosx3(16)(本题满分10分)设函数f(x)在()上有定义，在区间0,2上，f(x)x(x24),若对任意的X都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.(I)写出f(x)在2,0上的表达式；(II)问k为何值时，f(x)在x0处可导.(17) (本题满分11分)x设f(x)2sintdt,(

6、I)证明f(x)是以为周期的周期函数；(II)求f(X)的值域(本题满分12分)exex曲线y与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t)(I)求S(t)的值；(n)计算极限limS(t).V(t)tF(t)(本题满分12分)2224be,证明InbIna(ba).e(18) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后飞机所受的

7、总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点算起飞机滑行的最长距离是多少？(注：kg表示千克,km/h表示千米/小时)(本题满分10分)2设zf(x2y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数，求Z,Z.xyxy(本题满分9分)设有齐次线性方程组(1a)X1X2X3X40,2x1(2a)x22x32x40,3x13x2(3a)X33x40,4x14x24x3(4a)X40,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解(19) (本题满分9分)12设矩阵141a33的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角52004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、

8、填空题【答案】0.【详解】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式,再讨论f(x)的间断点由f(x)lim(n21)x,显然当x0时,f(x)0；nnx1当x0时，f(x)limn(n1)xnx21(1-)xlimnn21xn1lim(1-)xnn21limx一nn0,x0所以f(x)1,x0x1因为Hm0f(x)Hm0-f(0)，故x0为f(x)的间断点.(2)【详解】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由x(t)y(t)定义的参数方程求出阶导数d2y所以令乙dx22:(dx2dydtt33t1dydydt3t2dxdxdt3t2d2y

9、ddydtdx2dtdxdx0(或d2y.20),即-14t2d2y3t233确定x的取值范围.dx.3t3t3t2t323t1,x3t1(或当t0时,x【答案】一2t21t211t212t2113(t21)4tt2113(t21)4t2:3(t1)0(或0)30,所以xt单调增tx01),即【详解】利用变量代换法可得所求的广义积分值0时,x1,所以当t0时,1)(或x(,1)时,曲线凸方法1：作积分变量变换,令xsect,则x21sect1tan2t,dxdsect式：secttantdt,t:02，代入原dx1=xsect12secttant,02dt0secttantdt11方法2：令x

10、-,则dxd-tt丄dt,t:10,代入原式:t2i*)dtarcsint【答案】2.【详解】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解zxe2x3z(23上），xzy2xe3z(3二)2,y从而z2e2x3zz2x13e2x3z,y13e2x3z所以3上x3y2e2x3z2213e2x3z213e2x3z13e2x3z13e：2x3z方法1：复合函数求偏导，在ze2x3z2y的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.FF2,2：方法所以3二z方法从而313：利用全微分公式，得dze2x3z(2dx2yz0,则e2x3z2,e2x3z(3)1e2x3z22e2x3z(13e2x3z)

11、13e2x3z(1c2x3z2e3e2x3z2x3z、3e)c2x3z3e13e2x3z13e2x3z13e2x3z3dz)2dy2e2x3zdx2dy3e2x3zdz即(13e2x3z)dz2e2x3zdx2dy,得dz2e2x3z3e2x3zdx2dy3e所以从而2e2x3z13e2x3z13e2x3z2e2x3z3e2x3z213e2x3z13e2x3z13e2x3z13【答案】yxxx.5【详解】此题为一阶线性方程的初值问题可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解，再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解方法i:原方程变形为dx1y.1x2,dx2x2先求齐次方程dydx02x的通解

12、：分离变量：dy丄dxy2x两边积分得：lny丄lnxIncyc-x2用常数变易法,设yc（x）、x为非齐次方程的通解，则y先求齐次方程dydx02x的通解：分离变量：dy丄dxy2x两边积分得：lny丄lnxIncyc-x2用常数变易法,设yc（x）、x为非齐次方程的通解，则yc(x).xc(x)12；x代入dy知,得c(xxc(x)2Jxc(x)Jx2x,即c(x)1积分得c(x)1x2dx于是非齐次方程的通解为：y于是非齐次方程的通解为：yx(1x25C)又由于Xx1I代入通解,得C丄151,故所求特解为方法2：原方程变形为dydx由一阶线性微分方程13x.510dydx12x,通解公式

13、:这里Pxf(x)CePxdxxdxPxdxdx2,代入上式得:1dxye2x1dx2xdxC由于方程在区间要么为x0汙是0处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0的某区间，要么为x0的某区间.现在初值给在0因此解的存x1处,所以lnxe2.1.31 2才讥-17xe2dxC、xx2dxC2 2xixC1,y、x13x5从而特解为1【答案】-9【详解】_*A,得ABAA2BAAA,_*A,得ABAA2BAAA,由伴随矩阵的运算规律:*AA*AA21021A120(1)3312001方法1：已知等式两边同时右乘于是有3AB6BA,移项、合并有AE,有ABA2BAA,而221135(3A6E)

14、BA，再两边取行列式，由方阵乘积(3A6E)B的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积1)31)33(3)3)327,6E|B2101006306000303120601036006030000100100300600uJA3A3,而3A6E故所求行列式为B3A6E27方法2：由题设条件ABA2BAE,得ABA2BA(A2E)BA由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有(A2E)BA*A2EBA*E1210其中A120001(1)3由伴随矩阵行列式的公式：若2211A是n阶矩阵，则A2A=92E1)10=1.A2EA二、选择题【答案】【详解】(

15、B)方法1:lim-x02tan一tdtlim洛必达limx02x0costdt0tanx2cosx2x0,则的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小又limx0x3sint3dtlimxtan屈t0，所以可排除32sinx2洛必达limx(C),(D)选项,02xtanx可见是比.k方法2：用x（当1v等价无穷小替换二叫=低阶的无穷小量，故应选（B）.0时）去比较.X2costdtlim0x0xkxim02cosxiTTkx欲使上式极限存在但不为0应取k1,有limx0-limxx0cost2limx0limx0cost21,所以（当x0时）与x同阶.2tan、tdtlim-x

16、0xklimx0tanx2xkxk1欲使上式极限存在但不为0,应取k3,有lim0x3lim0所以（当x0时）与x3同阶.limx0-:x3sintdt0洛limx01xj2kxk132sinx2limx0x2x2tanxlimx0limx0limx0kxk2tanx3x32xxk12kxlimx0欲使上式极限存在但不为0应取klim2x022x2所以(当x0时)与x2同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,选(B).(8)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论方法1:由于是选择题，可以用图形法解决，令(x)x(x1),则(x)211x，是以24111直线x

17、为对称轴，顶点坐标为-，一，开口向上的一条抛物线，与x轴相交的两点224坐标为0,0，1,0，yf(x)(x)的图形如图.点x0是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出yf(x)的分段表达式:f(x)x(1x)，x(1x)，从而f(x)12x,12x,001,f(x)2,2,所以xf(x)limx0limx0(x)lim1x00为极小值点2x112x(x)220,f(x)为凸函数，于是0，所以0x10,所以11时，f(x)单调增，0，f(x)为凹(0,0)为拐点x0时，f(x)单调减，(9)【答案】B【详解】由对数性质，li

18、mnlimnlnn(1：)2(12)2(1nlimlnn(1丄)(1n(10)【答案】limnlimn(C)-ln(1nn2ln(1i11-)ln(1n-1)-nn-)nln(11oI-(1x)dx1x2lntdt122lnxdxi由导数的定义，知f(0)limf(x)f(0)x0x0根据极限的保号性，知存在0,当x(,0)(0,)时有f(x)f(0)x0.即当x(,0)时,x0,有f(x)f(0)；而当x(0,)时,x0有f(x)f(0)f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).【详解】函数(11)【答案】A【详解】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方

19、程特解的形式_2对应齐次方程yy0的特征方程为10,则特征根为i,对yyx21e0(x21)为fxexPmx型，其中0,Pmxx21,因0不是特征根，从而其特解形式可设为y1(ax2bxc)eax2bxc对yysinx,为fxexPxcosxPnxsinx型，其中0,Rx0,Fnx1,因i0ii为特征根，从而其特解形式可设为y2x(AsinxBcosx)由叠加原理，故方程yx21sinx的特解形式可设为(12)【答案】【详解】由ax2bxx(AsinxBcosx)D(x,y)2y2y，则积分y211区域是以0,1为圆心,1为半径的圆及其内部积分区域见右图在直角坐标系下，先x后y,、2yy2x.

20、2yy2,0y2则应是22yy2f(xy)dxdyDdy.2yy2f(xy)dx2先y后x,由xy2111.1x2y1.1x2,1x1,则应是f(xy)dxdyD1dx11,1x211x2f(xy)dy故应排除A,B.在极坐标系下,xrcos,yrsin2sin2f(xy)dxdy0d0f(rsincos)rdr,故应选D.D或直接根据极坐标下，其面积兀素为rdrd,则可排除C(佝【答案】(D)【详解】由题设，将A的第1列与第2列交换，即010AE12A100B,001将B的第2列加到第3列，即100010100011B011A100011A100AQ.001001001001011故Q100

21、应选(D).001(14)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A为mn矩阵,B为np矩阵，如果AB0,则r(A)r(B)n设A为mn矩阵，B为ns矩阵，由AB0知,r(A)r(B)n,其中n是矩阵A的列数，也是B的行数n,从而r(B)n1n,由向量组线因A为非零矩阵，故r(A)1,因r(A)r(B)性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B的行向量组线性相关.因B为非零矩阵，故r(B)1,因r(A)r(B)n,从而r(A)n1n,由向量组线方法方法性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数故应选(A).2：设A为mn矩阵,B

22、为n，知A的列向量组线性相关.s矩阵,将B按列分块，由AB0得,AB2,，s0,Ai0,i1,2，,s.因B是非零矩阵,故存在i0,使得Ai0.即齐次线性方程组Ax0有非零解由齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件r(A)n,知r(A)n.所以A的列向量组线性相关.又(AB)tbtat0将A按列分块，得方法方法btatbt因A是非零矩阵，故存在解由齐次线性方程组BxT，I,m0,BTT0，使得btT0有非零解的充要条件是由B行列互换得到的，从而B的行向量组线性相关3：设A(a订)mn，B(bij)ns，将A按列分块由AB0AiA?Anbnb21bn1由于B0,T0,i1,2，,m.0,即齐次线

23、性方程组Bx0有非零,知bt的列向量组线性相关，由bt,故应选(A).，记b12b22bn2A2Anb1sb2sbnsSAbnA,，DsAbnsAn(1)所以至少有一个bj0(1in,1js),又由(1)知，bjAb2jA2-bjAbnjAn0,所以A，A，Am线性相关.即A的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m个向量1,2,，mRn，有m个不全为零的数k1,k2,kmR,使k11k22kmm0成立则称1,2，m线性相关.)又将B按行分块，记BB25同样，Bna11BBHa12a1na11B1ai2Ba1nBna21aba22a2nB2ap1B1a22B2a2nBn_AB0BBB

24、0am1KUHam2amnBnam1B1am2B2amnBn由于A0,则至少存在一个aij0(1im,1jn),使3hB13i2B2alijBjainBn0,由向量组线性相关的定义知，R,B2/，Bm线性相关,即B的行向量组线性相关Bi故应选(A).方法4:用排除法.取满足题设条件的代B.亓1000010000取A0,B100,有AB10010010001011111010010又取A0,B000,有AB000,0010010000A的行向量组，列向量组均线性相关，但B的列向量组线性无关，故(B),(D)不成立.A的行向量组线性无关，B的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).

25、三、解答题(15)(本题满分10分)求极限lim1xx2cosx31【答案】16【详解】此极限属于0型未定式可利用洛必达法则，并结合无穷小代换求解0方法1：x2cosx3In2cosx,2cosxxln原式xlne2cosx3xln1xe1-xlim-x02cosx33xInlimx02cosx32xxm0ln(2cosx)In3x2(In(2cosx)limx02(X)ln3)=x叫(2cosx2xsinx)1sinxlim1 x02cosxx11sinx11limlim-12x02cosxX0x236xln2cosx3方法2:原式limx0eln-ex1xlimx02cosx32xln(l

26、cosx31)x2cosx3x21cosxlim2x03x22x2彳X21cosxlim22x03xf(0)limx0f(x)f(0)x02x(x4)0limx0xlimkx(x2)(x4)08k.x0xlimkx(x2)(x4)08k.x0x1令f(0)f(0)，得k即当k21时，f(x)在x0处可导.2(17)【详解】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性数的值域，利用求函数最值的方法讨论函(16)【详解】(I)当2x0,则0x2f(x)kf(x2)k(x2)(x2)224k(x2)(x24x)kx(x2)(x4)x(x24),x0,20(II)由(I)知:f(x)，所以f(0)(02

27、4)0,kx(x2)(x4),x2,0按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等所以根据导数的定义求2,由题设：区间0,2上,f(x)x(x24)知,f(x)在x0的左右导数，使其相等，求出参数k.(I)要证f(x)是以为周期的周期函数，即证：f(x)(I)要证f(x)是以为周期的周期函数，即证：f(x)f(x因为f(x)2sintdt，所以f(x7sintdtsintdt利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设tu，因为t:x以U:Xx，则有2f(x)sin(u)d(u)sinux_sinux2|sinuduf(x)，故f(x)是以为周期的周期函数(II)因为f(x)是以为

28、周期的周期函数，故只需在0，上讨论其值域又因f(x)为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以f(x)的值域就是区间minf(x)，maxf(x).丿点,x1f(x)sin(x)2f(；)且434sinxsintdtsint0COSXsinx间0，内求得驻3f(3T)5434sintdt3sintdt54sintdt2.2,f(0)sintdtosintdt1,f()sintdt3勺(sint)dt1,比较极值点与两个端点处的值，知f(x)的最小值是.2,最大值是2,故f(x)的值域是2.2八2(18)【详解】(

29、I)旋转体体积:(18)【详解】(I)旋转体体积:V(t)；y2dxx2dx2旋转体的侧面积：S(t)y,1y2dx所以S(t)V(t)所以(n)F(t)limtS(t)F(t)txeex02txeex02txeex02txet0xe2dx2dx2.dx,dxt处旋转体的底面积为limtee2xxee2tteext2t02xx2dx2dx2xe2x2edx=limt=tlimtttteeee2-22limttteetr=tlimeet2t1e1e2t（19）【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1:因为函数fxln2x在a,be,e2上连续，

30、且在a,b内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数fxln2x在a,b上应用拉格朗日中值定理，得222lnblnaln数学（二）试题第18页（共25页）因此当exe2时,(b)(a),即In2b$bIn2a4a,ee故ln2bIn2a4(ba).e方法3：设224Inx41Inx(x)InxIna(xa),则(x)2，(x)225exexxe时，1Inx1Ine0,得(x)0,(x)在(e,e2)上单调减少，从而当ex2e时(x)(e2)$4-20，(x)在(e,e2)上单调增加.从而时,(x)单调增加.x(a)0.当ee2rre时,be2时，(x)(x)(e2)0,即当e下证:2ln设

31、(t)(t)1Intt2，当te时,1Int1Ine0,即(t)0,所e2,所以()(e2),即InIne222ln422-，得eee故In2bIn2a42(ba).e方法2：利用单调性,设(x)In2x42-x证eInx42Ine2(x)22,(e)22xee以(t)单调减少，又因为当xe时,1Inx1Ine0,2(x)在区间e,e内严格单调增即可4441Inx222，)(X)22eeex(x)0,故(x)单调减少,从而当exe2(b)220,即InbInaa).(20) 【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可方法1:由题设，飞机质量m9000kg,着陆时的水平

32、速度v0700km/h.从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t),则v(0)v0,x(0)0.-J.根据牛顿第二定律，得m巴kv.dv又dvdxdvv.dtdtdxdtdx由以上两式得dxdv,积分得x（t）mvC.kk由于v(0)v0,x(0)0，所以x(0)mv0C0.m故得Cvkk从而x(t)m(Vov(t).k当v(t)0时,x(t)mvk9000所以，飞机滑行的最长距离为方法2:根据牛顿第二定律，得70066.0101.05(km).1.05km.dv.mkv,dt分离变量：v分离变量：vkdt,两端积分得：Invm-tG,mkt通解：vCem，代入初

33、始条件vkt通解：vCem，代入初始条件vv0,解得Cv0,故v(t)vem飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0,对应地.于是由dxvdt,或由方法3：v(t)dt时,x(t)由m屯dtd2x2dt其特征方程为上t0vemdtmvekmv1.05(km).dxdtkv上tvem,知x(t)1.05(km).kv,vkdxdt0,v是x(t)叫kt0v0edtkv(ektm1）,故最长距离为当dx，化为x对t的求导，得mdt0,v(0)x(0)0，解之得v,x(0)0,d2xdt2k主dt,变形为-，故xmJktC2emdxdt上tem).当tkC2em时,x(t)v0，得C1m%C2mvk1.

34、05(km).所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.(21) 【详解】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算令ux2y2,vexy,则zf(x2y2,exy)f(u,v),所以2x,xy所以2x,xyvxyvxy2y,ye,xexy所以二x2xf1f2,_zfufvuyvyye2yf1xexyf22yfixexyf22y忖uf12vexyf2xyrxyef2xyuxef21-f22上xxxx2y2xf11yexyf12exyf2xyexyf2xyxe2xf21yexyf224xyfn2(x2y2)exyf12xyexyf22exy(1xy)f2当a0时,r(A)1n,由齐次方程组有非零解

35、的判别定理：设A是mn矩阵,(22)【详解】对|B|是否为零进行讨论:方法1：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有1a1111a11-122Aa221行(i)i行2aa0-0(i2,n)-rBnnnnana00-a齐次方程组Ax0有非零解的充要条件是r(A)n.故此方程组有非零解，把a0代入原方程组，得其同解方程组为X1X2Xn0,()此时,r(A)1,故方程组有nrn1个自由未知量.选x2,x3，xn为自由未知量,将他们的n1组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入()式，得基础解系1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为

36、xk11kn1n1,其中ki,心i为任意常数当a0时,对矩阵B作初等行变换,有1a11210Brrrrrrrrrrrn00可知a凹时,r(A)n21an(n1)0020i(1)1行102(i2,3-、n)-rr.1-1n001n,由齐次方程组有非零解的判别定理0-0，-1,知方程组也有非零解，把a晋代入原方程组，其同解方程组为2x1x20,3x1X30,此时，r(A)n1,故方程组有nr此时，r(A)n1,故方程组有nrn(n1)1个自由未知量选冷为自由未nx1Xn0,量，取X21,由此得基础解系为(1,2,n)T,于是方程组的通解为xk,其中k为任意常数.111-1200Irrrraiir1

37、n00方法2：计算方程组的系数行列式:1a11.-1a00-0111-122a2、-20a0-0222-2A矩阵加法nnn-na000-annn-n11112222aE+=aEQ,nnnnF面求矩阵Q的特征值:i列1列(i2,3，n)n(n1)20则Q的特征值0,0,2性质:若Axx,则(kA)x此对任意多项式f(x),f(A)xf()x,即f(故,A的特征值为a,a,，an(n1)2n(n1)、j2由齐次方程组有非零解的判别定理：设A行列式A(an(n1)2(k)x,Amx)是f(A)的特征值.由特征值的乘积等于矩阵行列式的值A是n阶矩阵,齐次方程组Ax0有非零解的充要条件是A0可知,当A0

38、,即a0或a111，1111-122221行(i)i行0000Ar.rr*rB(i2/n)TTrrnnnn00000当a0时,对系数矩阵A作初等行变换，有n(n1)时，方程组有非零解2故方程组的同解方程组为X2Xn0,此时，r(A)1,故方程组有nrn1个自由未知量选x2,x3,-,xn为自由未知量，将他们的n1组值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别代入()式,由此得基础解系为1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为xk11kn1n1,其中k1,kn1为任意常数.当an(n1)时，21a111n(n1)a0002100i(1)

39、1行2100B2FFF-(i2,3n)1-_n001n00-100002x1X20,即2100，其同解方程组为3x1X30,n001nXn0,此时，r(A)n1,故方程组有nrn(n1)1个自由未知量n(n1)1个自由未知量选X2为自由未量取x21,由此得基础解系为(1,2,n)T，于是方程组的通解为，其中k为任1232(2)0EA1432行(1)1行1431a51a5110110提出1行公因数(2)1431行(1)2行(2)0331a51a5A的特征多项式为1102)2)2)(2)(2)(3)(5)3(a1)2)(183a).已知A有一个二重特征值，有两种情况,(1)2就是二重特征值，(2)

40、若2不是二重2根，则8183a是一个完全平方(1)若2是特征方程的二重根，则有2216183a0,解得aEA(2)(28183(2)(2)(2812)(2)2(6)0求得A的特征值为2,2,6,由2EA2EA1行(-1)倍加到2行,1行的1倍加到3行知秩2EA1,故2对应的线性无关的特征向量的个数为nr312,等于2的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，从而A可相似对角化.2若2不是特征方程的二重根，则8183a为完全平方，从而18c“223a16,解得a-.当a一时，由33EA(2)(28183(|)(3知A的特征值为2,4,4,由2)(2816)(2)(4)204EA33行知秩4EA2,故4对应的线性无关的特征向量有nr321,不等于的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，知A不可相似对角化数学（二）试题第25页（共25页）