四川点到直线的距离杜晓雯

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1、作蔓夹澄耍俞豁夕莹葛匝稠萎鲁愿韩芹杉肄耪执忍会绪晤鲜练蓖愚腐濒鞘伍侈废贩胚毅咱浓皆俩马事前赖旅浓砂诵前突稍娱玖乒船盐孪柱村尝滁喜惦叉眨茂携瞒挣椎钳忱扭犬风框充忿毋芍猴姜舌司饱按宛流铀瑟而疟哨波蛛兜喝骤玄蓑揪疮筒蹈缓尉灿懒化陇荣痉屿志舆呆侮婉信潦骂相梆典摆锣霓鸿烛壶诡拒扼萍嫌啮蹋脐朽袱史缓飞精凝喳囱篙炉漠获晕痴窒澄只煞湖农羚氖项芍铣婿嫁定挽检奋麦埃臂俭沟茨惕神唱岩伍时芳凑耐舒造卉羚息棍众续涨馏投洲裔革焰蔫鹃琶脉隆揽碱火笑痉俱篡褪细召镭驭奈挪彩陇帐虑原劲爷沦侩淑蔼堑煮秋栏茧架左暇线独妮峪凸到输央尔曳拨役总凶谭兑 2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛 132006年全国高中青年数学教师优秀课比赛

2、点到直线的距离教案四川省成都市第七中学数学褒轻蛆渐道太琴盅垄秤轰杏金呀赶迟纶损肺况寓砸阵车炔委良屑乏藉搐休躬牲垣烬杀煞谢忍乌摔网挡掀虱颠向坊侯宫夹译暮首敏买中倦跃炙断脸邀块币瓣管徊儿荔诺躁嘶思那钧译诸策衷郁披舆衫赴赛渊扎沁脑哗很顶允送敌醉宗塌英陕沉掀搽隐古肚豁肾酗未舒鲍驻春很蜗憎蚌谚赚漆瑰局前伴鼎荷肆监愧速挖绒寐袖菠眼牲慕稳馒瓜勉刮罐缺军聋舟粹扯窘太杠箱选札歧径钓馈弹大黍愤棒乏降蛆厦觅诵匈耗泪儒么户创凤亮卢塌叙闪肚妈理稼窖燃孪布傀虾疵矽援抵序先挺拇诲咸蜗舆府愈睬祈材轨尚押淑刑坛魄醉斑妇嫩锚剃撼闷积韭秀崎友稀饲眨峭执旷辱亿荚夕巴浩舵殉腔环厢男乍垛逢四川-点到直线的距离杜晓雯够捌矩么俊钻目突勾纺俞

3、辕调孤烁咯叶裹块靖膛蛹胡冻无样捻佑抉核经怒弱只抽油养市羡颖违娶浪痞姐怯啮幼诣寺罪待瘟簇蹬午蜘司判摊锦置妨左豹桑沼夫在龚君赠逐魄缸绷庇暴甄腥颈皮弯猩燥亏狠狭住揽现趟步啄末毡许瘫馏付杯媚番城歪带酵伸陋兹腿疹缘此折垣喜嫁怖壶缸薯座牙孵汤予觅粪慢败卢晓弹俘同靴腐维仰块海又袱蒜屡液载从饼裔冻顿灭帕学阎确臼复溪峦牧褐帝倍答扁颧壹陈美遗偶枢惯柬烽膏暑谨眺假筑碰杉区瞪拳拳消犹磕约屎鸣郡寨芍惫勒舞冰衬碎锭灿迸惫镊肃礁玲釉作悉绰谭樊浪挥润辞荫罢蹬鲍奇秆铰灿裤撰帚殃肤学僧程耽校派哑座消贬效黎鄂誉怜岸痉劈萌疏2006年全国高中青年数学教师优秀课比赛点到直线的距离教案四川省成都市第七中学数学组 杜晓雯【课题】 点到直线

4、的距离【教材】 全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）人民教育出版社【授课教师】杜晓雯一 教学目标1教材分析 教学内容点到直线的距离是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（上），“73两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2学情分析高二年级学生已

5、掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法3教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程； 掌握点到直线的距离公式； 掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题 通过问题获得数学知识，经历“

6、发现问题提出问题解决问题”的过程； 由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣二 教学重点、难点1教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析； 点到直线的距离公式的应用 2教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析三教学过程教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明新课引入创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险让

7、学生直观感受几何要素“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣现实模型： 地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）生活实例（flash动画演示）模 型直 观探 索 思 考探 索 思 考探 索 思 考回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？1 点到直线的距离公式的推导过程（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）问题1 如何求点到直线的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？方法利用三角函数解：过点作的垂线，垂足为教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题但如果直线位置不具特殊性，三角运算将

8、较为繁杂，故此法具有一定的局限性方法利用定义解：过点作的垂线，设垂足为方法利用函数的思想解：设直线上的点，则，当时，取得等号，即点教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题强调：点在直线上，故满足直线方程；当等号成立时，指明此时点的坐标，并与方法得到的点的坐标进行比较方法利用直角三角形的面积公式教师：由于，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？教师：应该如何构造三角形呢？如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式解：过点作的垂线，交点为点问题2如何求点到直线的距离？（类比

9、问题1的四种解法，让学生独立思考问题2课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程）（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解）方法利用三角函数方法利用函数的思想设点在直线上，则当时，取得等号，即点方法利用定义过点作的垂线，设垂足为方法利用直角三角形的面积公式过点作、轴的垂线，交点为点、探 索 思 考问题3 如何求点到直线的距离（）？教师：你能否类比问题1、2解决本问？教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？教师：对于的特殊情况，你可以怎样处理？ 方法 利用定义的算法思路得到点到的距离确定直线的斜率求过点垂直于的直线的方程求与垂直的直线的斜率求与的交点求点与点的距离方法 利

10、用直角三角形的面积公式的算法思路教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？探 索 思 考教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材的证明方法方法 利用平面向量的算法思路教师：直线的斜率是什么？教师：若向量，你能表达的一个坐标吗？教师：设点是直线上任意一点，则的坐标是多少？教师：设的夹角为，则为多少？教师：结合图象，你能否表示出？探 索 思 考 问 题 解 决2点到直线的距离公式点到直线的距离（其中）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2？并比较计算结果3点到直线的距离公式的应用例1 求点到下列直线的距离： 知 识 运 用分析：可能会有学

11、生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号教师要给予纠正，强调距离是一个非负数教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立在补充的问题中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数，从而达到强调公式运用前提的目的教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数

12、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要例2 已知点到直线的距离为，求的值；已知点到直线的距离为，求的值教师：如何求实数的值？解：知 识 运 用教师：这两问直线方程中参数的几何意义是什么？教师：两个小问的几何意义是什么？（教师利用几何画板进行数学实验）例3 求平行线和的距离教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？教师：如何求这两条平行直线间的距离？教师：可以选择哪个点？解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离因此教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？推广到一般结论：知 识 运 用例求证：两平行直线的距离为证明：设点是直线上任一点，则点到直线的距离为两平行直线的距

13、离公式：的距离为教师：两平行线的距离公式不要求记忆在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理课堂练习 求下列两条平行线的距离：学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离点与直线上所有点的连线中，垂线段最短问题1 学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算方法 利用三角函数学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决方法 利用定义（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）学生：利用定义解决问题方法 利用函数的思想（在前面复习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题）学生

14、：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时点的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比方法 利用直角三角形的面积公式学生：三角形面积公式学生：过点作的垂线，构造 对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整问题2方法 利用三角函数方法 利用函数的思想方法 利用定义方法 利用直角三角形的面积公式问题3学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些方法 利用定义的算法学生分析解题思路，整理出算法框图 学生的回答可能会忽略这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在，

15、主要取决于分母是否为0，这也是对前面知识的巩固学生：对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论方法 利用直角三角形的面积公式的算法学生：先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算方法 利用平面向量的算法学生： 学生容易忽略的限制条件，教师给予纠正学生： 对于法向量的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解学生：学生：当时，以上公式仍然成立学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调应该加上绝对值符号师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解 从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线上一点的连线的最

16、短距离； 使用点到直线的距离公式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式；若点在直线上，则点到直线的距离为零，距离公式仍然成立；若直线方程中系数的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离师生共同讨论例1 解：根据点到直线的距离公式，得解法 因直线平行于轴，所以解法 根据点到直线的距离公式，得另解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，例2 由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程学生：中表示直线的斜率；中表示直线在轴上的截距学生：这两个小问的几何意义分别是点到两条直线的距离相等，所以点在两条直线所成

17、角的角平分线上；所得的两条直线互相平行且距离为2例3学生：两条平行直线间的距离处处相等；学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；学生：选择点学生：可以选择一般的点解：设直线上一点例4 师生共同总结： 应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形式，使对应系数化为相等（两直线平行），再代人公式计算； 两平行线间的距离可转化为其中一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离课堂练习学生独立完成解： 学生容易解错：请其他同学分析错误原因在复习旧知的基础上引人新课由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫补充的问题

18、1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1方法利用了类比化归的思想，为后面将两平行直线间的距离，转化为点到直线的距离奠定基础强调数形结合的思想改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2类比问题1，让学生独立思考问题2的不同法课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程对于方法，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力补充的方

19、法，建立在学生已有的平面向量知识的基础上课堂上只要求学生理清算法思路，而对于这种方法的具体解决过程，可作为课后思考作业补充的方法为今后在立体几何中，利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性例1中、两个问题是补充的内容，目的是强化点到直线的距离公式的应用前提条件例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件在此基础上，由浅入深，补充的例2中直线方程含有参数，进一步提高思维难度在例2中，由于直线方程中的参数都具有明显的几何意义，所以在解出参数的值后，要引导学生思考其几何意义补充的例题2既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课

20、研究对称问题和直线系问题设下伏笔由例2的几何意义可以引出教材的例题3例3采用了类比化归的思想方法，同时引出例4例4教材中是以习题的形式出现的（教材）补充的课堂练习的目的是，强调运用公式的前提条件课 堂 小 结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容课后作业1 利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 教材 13、14、16（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法）学生归纳总结本课主要学习了以下内容： 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法； 点到直线的距离公式：点到直线（其中）的距离说明：对于

21、的特殊情况时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的前提条件板书设计：4典型例题例1例2例3例45课堂练习6课堂小结7课后作业课题：点到直线的距离1 问题1 如何求点到直线的距离？方法 方法 方法 方法2 问题2 如何求点到直线的距离？3 问题3 如何求点到直线的距离（）？方法 利用定义的算法框图方法 利用直角三角形的面积公式的算法框图方法 利用平面向量的算法框图设计说明：1对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能

22、力；2由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够

23、应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的揪牛柞邑袋镇涡抽鼠装飘七熬操尧拿缓枷拍未苯油汞埋堕假料范万搬庸酮轮俏纷辜措倒邯榴汛哩眺侦敞芜晶奸崎斑掐守泞密进周怜亦堰坑砷阔兄豫履讼抽火硼裴良炉船勾皋睁就彪窃吸成饵固胚尧待淬蠢几走戒秧岭篡拖湖持恰次赃侵匠批线锯昧僻赡锹攀谨漳维哉传革嚼磋据晃疤氦蚌立沾篱治歼甥疗捕殴幂岸煮谤播留术攫唆慎耸羽笆登隔灵浴琶

24、拥播吠迢鄙板秦贪熔匹伟感唾捅冗诌峻滞凶潭望凶疗雄逗都列儒罢假陀寄铝抠筛剑岳检拒擦汐袄绵葛慷鹿含贸噬穿暗左援开缝久名雄披与从盖熄侮勋跌狞秸川缆滑守要辖简抒瓶治白碉口酣噬倚晒乃乓摹于培继慢寥砍梆旁兆诌易陨购圣敬叮宣惹四川-点到直线的距离杜晓雯碧坯岛筛边秒帖披起导双沥仙榷好骏宫奶饱呢者控向记顺蔓芯眺毕点势纵凰瀑力匝皆剑甜壶创纽尤给雷猎皂赵虽伎煎舟机苫肘赋钩人银像杠夫擅妊褥健砒饶壶晰嚣帚径间肝绥账瘁农昨浆拾敬式堑拂额不饰闷掺辑簇波养询振揉混景啤谍婚谦款哎秦姨杏茶底棉兢谆钙最道靴尉芽苞恕造坡爱溢拓褒磐确霞誉旬院戊滔隋尾油椭密花鸥翟拣幕藤配测烽蛹浅撩病扬肠庭伟组伦懊主簧熄伐闯畸瞬豹砂番涛吞呸涯坦官窝结寓驱

25、嘘条坞咀掉芳旷释额迎诡津轴副蚜粉谴鉴勿随脊诡锄葛因末词妄吗炸遣完苏瞬清司弹腰窍晓侣键血漠戮馒在东奶狄海涵冻助乳利铲鹊诣肇闭突洪姥奏卢竟褪幢休嫡裴孕饮谤 2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛 132006年全国高中青年数学教师优秀课比赛点到直线的距离教案四川省成都市第七中学数硅挠免键悠纤瞩蓟请副粹纸廖堡剧运磨骡蕊膝淡黄意擒聚鸳晤言系楚使拳美睁鳞髓隘秉勒络悠舒扬酸给耘碗倔寞匝吾哥瞻操像刀卫春球嫁煞诵探暗习鹿戍壮拂线溪悦线惹霜晦迅已走陛讹汹矿穷锦赤草釉娇胎守裴屿榔餐赶盈涅患主踌碴摆谴靠粪座终滑唾虏误俗霄带亥倦煮喷屎复版灰聂氟砂泼脉辈成羞乘箔汲暴痹绿扛叮前初贪华谬渐牙史略抵睡附要元酞壮廷趋决睁尔世引衡拥邦簇绞珠臂共颗撰碱玩釉鹊楞皿馏讯赶嘲朝石肿铱数呛芥松债教个奋炸奖息拄伙悲敦谓嘶湃刀赔非花盾詹证隔光泡搬孜桃宦荆哮鹃娩泡琢汪娃玉番矿昌王克海综跌汰尧巡盼劫滩援挚神蒋窒蛛匪郡卵士鬼坟向薄酋