概率论与数理统计 第一章.docx

《概率论与数理统计 第一章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 第一章.docx（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、概率论与数理统计学习辅导和习题精讲乂因为ABC为不可能事件，P（ABC） = O,但P（A）P（B）P（C）二：,知8P（ABC） P（A）P（B）P（C）,即AB,C不相互独立.12. 盒中放有12个乒乓球，其中9个师新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；又已知第 二次取出的球都是新球,求第一次取到的都是新球的概率.解：设凡表示第，次取到的是新球，7 = 1,2.（1）由全概率公式可得，第二次取到的是新球的概率为：9 83 9 11P（A） = P（A）-P（AI4）+ m）（AIA）= -x- + -x- =

2、 -.（2）由贝叶斯公式可得，已知第二次取出的是新球，第一次取到的也是新球的概率为：9 8XP（A I 4）= P（，心 一P（4）P（A20）_ _12 12=8p（a）p（a,ia）+p（4）p（4IA） 11 i1613. 设在张彩票中有一张奖券.试求第二人摸到奖券的概率是多少？解：设凡表示事件“第i人摸到奖券”，i = l,2,3,现在目的是求P（）.因为解是 否发生直接关系到&发生的概率，即P（AIA）= O, P（AIA）= r-n-而A与3是两个概率大于o的事件：1 n p（A）=一, p（a）=.nn于是由全概率公式得：p（A）=p（a）p（aia）+p（不）p（ai 不）1

3、八 n-11= -0 +=-.n n n- n这表明：摸到奖券机会与先后次序无关.因后者可能有利（前者没有摸到奖券），也可能 不利（前者摸到奖券），两种状况用全概率公式综合（加权平均）的结果是机会均等的.类似 地，有如下结论：P（A）= P（&） =P（A）= 1.n14. 某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明，化验结果是存在有错误的，己知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(患病)，而没患肝癌的人其 化验结果99. 9%呈阴性(无病).现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？ 解：记B为事件被检查者患有肝癌”，A为事件“检查结果呈阳性”.由题设

4、知P(B) = 0.0004, P(B) = 0.9996,P(A | B) = 0.99, P(A | 万)=0.001.0.0004 x 0.99我们现在的目的是求由贝叶斯公式得P(B 1 一 P(B)P(AIB) + P(百)P(A百)一 0.0004x0.99 + 0.9996x0.001 -(场15, 某篮球运动员的投篮命中率为0. 8,求他投篮10次投中6次的概率和至少投中6次的 概率.解：设A表示“投中”，则P(A) = ().8,P(W) = 0.2,这是一个10重伯努利试验.若记A,表示“10次投篮命中，次，i = 0,l,2,.,10.由二项式概率公式可得，投中6次的概率为

5、:P(&) = q (0.8)6 (0.2)4 =0 088.至少投中6次的概率为：1010P = X P( A) = Z Go(O.8),(O.2)1-/ = 0.967.f=6i=616. 射击运动中，-次射击最多能得10环.设某运动员在一次射击中得10环的概率为 0.4,得9环的概率为0.3,得8环的概率为0.2,求该运动员在5次独立射击中得的不少于 48环的概率.解：设事件A表示该运动员在5次独立射击中得到不少于48环，则事件A可以分解为下 列互不相容事件的并：A =其中：A= “5次都得到10环，共得5()环”;A2=“5次中4次得到10环,A2=“5次中4次得到10环,1次得到9环

6、,共得49环”;人3= “5次中4次得到10环,人3= “5次中4次得到10环,1次得到8环，共得48环”;& = “5次中3次得到10环,& = “5次中3次得到10环,2次得到9环,共得48环”;由二项概率公式可得:P(A)= (0.4。= 0.01024;P(4)= C；(0.4)4(0.3)i = 0384；P(A)= C； (ON)，(0.2)i = 0.0256;P(A4) = C； (0.43 )(0.32) = 0.0576.于是，由概率的加法公式可得所求的概率为:P(A)= P(4)+p(.)+p(4)+p(&)=0.01024 + 0.0384 + 0.0256 + 0.0

7、576= 0.13184.17. 证明：如果P(A|8) = P(A),则事件A与B是独立的.证明：己知P(AIB) = P(AIB)f注意到P(B) + P压) = 1,则有P(A | B) = P(A | 8)P(8) + P(百)=P(8)P(A|8) + P()P(A|B)=P(8)P(A B) + P(百)P(甬P(A | B)=P(A).由P(AB) = P(A)可得，P(AB) = P(A)P(B),表明事件A与B是相互独立的.三、同步训练1.填空题(1) 若观察两颗相同骰子出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为.(2) 记录某大超市一天内进入的顾客人数，该随机试验的样本空

8、间为.(3) 某射手打靶，测量其弹落点与靶心的距离，样本空间为.(4) 设为一随机试骑的三个事件，则A发生，都不发生可表示为,A,B,C中至少有一个发生可表示为, A, B,C中至多有一个发生可表示为，A,B,C全不发生可表示为, A.B.C不都发生可表示为,中恰好有两个发生可表示为.(5) 设人,8为两随机事件，且P(人)= 0.4,P(Au5) = 0.7,于是若互不相容，则P(B)=；若相互独立，则P(B)=；若人发生B必发生，则P(B)=.(6) 已知 P(A) = P(B) = -,P(AB) = -,则 P(A | B) =.2 6(7) 设事件A在每次试验中出现的概率为p,则在次

9、独立重复试验中事件A最多出现_次得概率P =.7(8) 对同一FI标接连进行3次独立重复射击，若至少命中目标一次得概率为一，则每次8 射击命中目标的概率p=.(9) 设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为 .(10) 设有一均匀陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间0,1)上的数字，另一半上均匀地刻上1,3)上的数字，旋转陀螺.它停下时，其圆周上与桌面的接触的点的刻度位322上的概率为.(11) 设A和B是两个相互独立的事件，旦P(WR) = :, P(A万)=户(印8),则P(A) =(12) 甲、乙两人独立地对同一目标

10、射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现己知目 标被命中，则它是甲射中的概率为(13) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(BA) = 0.8 ,则 P(AB)=2.选择题下列关系中能推出“A发生，则同时发生的是().(D) Ac BuC).(A) ABC = A(B) AuBP(A)-P(B)(C) P(C) P(AB)(C) P(C) P(AB)(D) P(C) = P(AB)(4)以A表示事件“甲产品畅销,(4)以A表示事件“甲产品畅销,乙产品滞销”，则其对立事件A为().(A) “甲产品滞销，乙产品畅销”(B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲产品滞销或乙产品畅销

11、”(D) “甲产品滞销”(5)设是任意三个随机事件，则以下说法正确的是().(A)若 AuC=B0,有任意两数x, y,且0 vx v o,0 v y v。，试求勾，B).(9) 设事件A,B,C的概率都是0.5,且P(ABC) = P(AnBnC),证明：2P(ABC) = P(AB) + P(AC + PBC)-.2(10) 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别为50%、30%和20%, 而掉在上述三个地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1.试求找到钥匙的概率；若已知钥 匙找到了，问是在路I.找到的概率.(11) 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0. 25%是色盲

12、患者,现从男女比例为22:21 的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？(12) ，个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传 给其余刀-1个人中的任何一个.求第次传球时仍由甲传出的概率.QA(13) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次得概率为*,试求该 射手进行一次射击的命中率.(14) 设0 P(B) 1,试证事件A与8独立的充要条件是P(A | B) = P(A | B).(15) 袋中有黑、白球各一个，每次从袋中任取一球，取出的球不放回，但需放入一 个白球，求第4次取到白球的概率.参考答案：一、填空题1. 。= (/

13、,)116,/, E N ; 2. O = |Z(),e N ; 3. Q = s|s2();4.ABC. AuBuC, ABuACuBC, ABC, AuBuC, ABCuABCuABC-5.1)当 AuB时，尺心(AB) = 0.6, 2)当 P(AuB) = l 时，.n(AB) = 0.4；5. 0. 3, 0. 5,0.7;6.1； 7.12(l_p”(l-p +叩)；8.1 c 2 ； 9.2 9310. 一； 11.829312.邑4;13.0. 7.二、选择题1-8： C C CC DD CC.三、计算题1里I-36 182.121*2105，3.g；4. - + -/n44

14、40.5966;6.1；7. 0.7;8.省略；9.省略；10.0.5】，11. 0. 9628;12., =2,3,.；13. 114.省略；15.15m316五、考研试题精选1. (87年数一)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为.2. (87年数一)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球, 此球是白球的概率为.己知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.3. (88年数一

15、)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等,若己知A至少出现一次的 概率等于也，则事件A在一次试验中出现的概率是4. (88年数-)若在区间(。)内任取两个数，则事件”两数之和小叶,的概率为5. (89年数一)已知随机事件A的概率P(A) = ().5,随机事件B的概率P(B) = 0.6及条件概率P(BA) = ().8,则和事件AjB的概率=.6. (89年数一)甲、乙两人独立地对同一 FI标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.7. (90数一)设随机事件及其和事件的概率分别是0.4、0. 3和0.6,若万表示B的对立事件，那么事件AB的概率P(

16、AB) =.8. (91年数一)随机地向半圆() y O,P(8|A) = P(B|,),则必有().(A) P(AB) = P(AB)(B) P(AB)P(AB)(C) P(AB) = P(A)P(B)(D) P(AB)P(A)P(B)15. (99年数一)设两两相互独立的三事件A, 3和C满足条件：ABC = 0,P(A) = P(B) = P(C) 0, P(A | 8) = 1,则必有(A) P(AJB)P(A)(B)(C) P(人UB) = P(4)(D) P(人U3) = P(B)19. (07年数一)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中Fl标的概率为(0,则称事件A与B是 互

17、不相容的(互斥的).对立(互逆)：若两事件A与B互不相容，并且它们中必有一事件发生，即 AB = e，=则称事件A与B是对立的(互逆的).事件A的对立事件(逆事件)记作万.(2) 事件的运算性质交换律：= AB=BA.结合律：(AuB)uC = Au(BuC), (AB)C = A(BC).分配率：(AuB)nC = ACuBC,(Ac3)uC = (AdC)c(AdC).摩根律：AuB = AcB, Ac8 = AuB,iin nnuA =nA, nA =uA .f=l /xl f=l f=l3. 概率的三种定义(1) 概率的统计定义：在大量重复试验中，随机事件人的频率具有稳定性，即当试验次

18、 数很大时，频率九(A)常在一个确定的数字p(Op P(A)；(5) 加法公式：对任意两个事件A,B,有P(A uB) = P(A) + P(B) P(AB):推广：一般地，对任意个事件有4Zp(a,A/)+ Zp(AA/q+(1广筋4板总).) ilj.n.ijk0, P(R) 0,则有P(AB) = P(A)施 A)= P( B)心 B).推广：对于任意个事件吊,人,，&,如果p(aa2-4)o,则有p（1VA）= （A）p（aA）p（A|aa）M4JAA24）6. 事件间的独立性两个事件的独立性：对于任意两个事件A和B,若P（AB） = P（A）P（B）成立，则称A与B相互独立，简称A与

19、B独立.否则称A与8不独立或相依.性质：若事件A与B独立，则A与3独立，万与B独立，万与序独立.多个事件的独立性：设有个事件4，劣,总，对任意的IJivjvkv-g,如果 以下等式均成立P（AAj） = P（A,）P（Aj）,p（AA/*） = p（A）p（a）p（A）,p（AA2&）= p（a）p（a）p（&,则称此个事件A, A,4相互独立.性质：个相互独立的事件中的任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部 分也是独立的，将相互独立事件中的任一部分换为对立事件，所得的事件仍为相互独立的.7. 全概率公式与贝叶斯公式划分：若样本空间。中的事件孔心儿满足：（1）M=OS;i,J =

20、i,2,）；（2）A D 总 D . U 4：=。，则称A,盅,总为Q的一个划分.全概率公式：设事件人,人2,A“为样本空间率的一个划分,P（4）0（i = l,2,）， 则对任一事件B有P（8） = p（&）P（8|A）.i=i贝叶斯公式：在全概率公式的条件下，并且P（B）0,则. p（a.）p（bIa.）P（AjB） = -， = 1,2,p（4）p 国凡）=18. 伯努利概型独立试验：进行一系列试验，每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，小件人的概 率F（A）在各次试验中保持不变，这样的一系列试验称为独立试验.伯努利概型：独立试验中，若试验只有两个结果：A的发生与不发生，记P(4) =

21、 p, P(A) = l-p,其中0pl.若将此试验独立地重复次，就是重伯努利试验 或伯努利概型.二项概率公式：重伯努利试验中，若记为次试验中事件A发生的次数为m的 概率，则P (m) = C；pm (1 一 p)f, 7 = 1,2, , .二、精选例题1. 写出下列各随机试验的样本空间：(1) 10个产品中有3个次品，每次从中取一个(无放回)，直到将3个次品都取出，记录 抽取的次数；(2) 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数：(3) 从一批灯泡中随机地选出一个灯泡，测试它的寿命；(4) 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任取4个，观察它们具有那儿种 颜色；(5) 在

22、单位圆内任取一点，记录它的坐标；(6) 将一米长的绳子折成三段，观察各段的长度.解：记样本空间为Q.则：(1) 由于要将3个次品都取出，抽取的次数至少要3次，最多是1()次，故所求的样本空 间为：。=3,4,.,10.(2) 由于要得到10件正品，产品的总件数不能小于10件，故样本空间为： 。=10,11,12.(3) 由于灯泡的使用寿命不可能小于零，因此样本空间为。=申20.(4) 若设r,w,b分别表示红色、白色、蓝色，rw飙射红色和白色，法表示红色和蓝色, 姑表示白色和蓝色，八姑表示红白蓝三色，则样本空间为：Q = (r, w,/?, /iv, rb, wb, nvh.(5) 设圆心与原

23、点重合，点的坐标为(x,y),则样本空间为：Q = (x,y)|x2 + /1).(6) 设x,y,z分别表示三段的长度，它们应满足的关系： 0x 1, Ovyvl, 0 z 0, y 0, z 0,x+ y+z = 1 2. 设A,B,C,D是四个随机事件，试用这四个事件表示下列各事件:(1) 四个事件中至少有一个发生；(2) 四个事件中至多有一个发生；(3) 四个事件中恰好有一个发生；(4) 四个事件都发生；(5) 四个事件不都发生；(6) 发生，而不发生；(7) 四个事件中恰好有两个发生；(8) 四个事件中至少有两个发生.解：各事件表示为：(1) AJBJCJD(2) ABCD u AB

24、CD jABCD AB CD jABCD(3) ABCD u ABCD u ABCD u ABCD(4) ABCD(5) ABCD(6) ABCD(7) ABCD u ABCD o ABCD u ABCDu ABCDABCD(8) ABPACP ADpBCPBDuCD3. 个盒子中有4个黄球，5个白球，现按照下列三种方式从中任取3个球，试求取出的 球中有2个黄球和1个白球的概率.(1) 一次取3个；(2) 一次取一个，取后不放回；(3) 一次取一个，取后放回.财)=冬=竺=2；N(Q) C； 14P(4)=冬=虫代=2-N(Q) A) 14 心)=尘竺卫(1)(2)(3)解：设三种方式下对应的

25、随机事件分别为人，盅,人，由古典概型的计算公式可得：932434. 一批产品共20件，其中5件是次品，其余为正品，现从这20件产品中不放回地任意 抽取3次，每次只取一件，求下列事件的概率：(1) 在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品;(2) 第三次才取到次品；(3) 第三次取到次品.解：设凡表示第i次取到正品，i = 1,2,3,贝ij：(1) 在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品的概率为5P(A3AyA2) = .(2) 第三次才取到次品的该率为15x14x520x19x1815x14x520x19x1835228(3) 第三次取到次品的概率为-5x19x18 =120x19

26、x18 45. 甲乙二人约定中午12点到1点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟， 过时即离去，求两个人能会面的概率.解：用分别表示甲、乙二人到达约会地点的时间(从12点开始，以min为单位)， 在平面上建立坐标系.因为甲、乙在0到60分内是等可能到达，故本题是个儿何概型问题. (x,y)的所有可能取值是边长为6()的正方形，其面积为(。)=6。2；事件A=“两人能会面”相当于|x-y|15,其面积为a(A) = 602-45、由几何概型的计算公式可得:四=竺主口./(A)602166. 在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于0. 5的概率为多少？ 解：设两个数

27、为则根据题意(x,y)的取值范围(样本空间)为正方形区域 。=(工,)，)1。工 l,0 y 1).其面积度量为(0) = 1.记事件人为“两个数之差的绝对值小于0.5”，则A = (x,力 |工-)，|：.其面积度量为(A) = 12 -0.52 = 0.75 .由几何概型的定义有P( A)=必也心)147. 设随机事件A, B及其并事件AUB的概率分别为0. 4, 0. 3和0. 6,试求P(AB). 解：P(AB) = P(A-AB) = P(A)-P(AB) = P(A)-P(A)+P(B)-P(AuB)=P( A u B) - P( B) = 0.6 - 0.3 = 0.3.8.已知

28、 P(A) = P(W = P(C) = L, P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = -，试求事件 A B,C49全不发生的概率.解：P(ABC) = P(AuBuC) = -P(AuBB) = ABu=AB.由 P(AB) = P(A)- P(AB)可得：P(AB) = P(A) P(人百)=0.7-0.5 = 0.2 ;由概率的加法公式可得：P(Ad 万)=P(A)+P(B) P(AH) = 0.7+ 0.6-0.5 = 0.8 ;最后由条件概率的计算公式可得:P(BAuB) =11.甲、乙两人各掷一枚均匀硬币，事件AB分别表示“甲、乙掷出正面花色”，C表示“两硬币出现不同花色”，试证：事件人,5,C两两独立，但不相互独立.1 一 一 证明：由题设，显然事件A,3相互独立，且P(A) = P(3) = ,而事件C = ABjAB.2有P(Q = P(AB) + P(AB) = P(A)P(B) + P(A)P(S) = 1.由于事件AC = A(ABjAB) = AB,从而一 一 1P(AC) = P(A8) = P(A)P(B) = 一 = P( A)P(C).4类似地，P(BC) = P(B)P(C) =-.4因此，A,8,C两两独立.