第五章二次型

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1、第五章二次型基本内容及考点综述一、基本概念1、二次型设 P 是一个数域，一个系数在数域P 中的 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式f (x1, x2 , , xn ) a11x1 2 2a12 x1x22a1n x1xna22 x22a2n x2 xnann xn2称为数域 P 上的一个 n 元二次型 .2.二次型的矩阵如果数域 P 上的 n 元二次型 f (x1, x2 , xn ) 可表为矩阵形式 .f (x1 ,x2 , , xn ) X AX其中 A A, A (aij)n n , X(x1, x2 , xn ).A 称为二次型 f (x1, x2 , xn ) 的矩阵，A

2、的秩也称为二次型f 的秩 .3.非退化线性替换设 x1, x2 , , xn ; y1, y2 , yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x1c11 y1c12 y2c1n ynx2c21 y1c22 y2c 2n ynxncn1 y1cn2 y2cnn yn称为由 x1, x2 , xn 到 y1, y2 , , yn 的一个线性替换，如果系数行列式cij0那么以上线性替换称为非退化的.4.矩阵合同数域 P 上 nn 矩阵 A, B 称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 n n 矩阵 C ，使BC AC.5.标准形数域 P 上的二次型 f (x1, xn ) 可以经过非退化线性替换化

3、成d1 x12d2 x2d n xn 2（ 1）那么（ 1）就称为二次型f (x1 , , xn ) 的一个标准形 .16.正惯性指数，负惯性指数，符号差实二次型 f (x1,x2 , , xn ) 的标准形中正的平方项的个数称为f 的正惯性指数，负的平方项的个数称为 f 的负惯性指数 .正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.7.正定二次型实二次型 f (x1, , xn ) 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2 , ,cn 都有 f (c1, ,cn ) 0.8.负定，半正定，半负定，不定设 f (x1, xn ) 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2 , ,c

4、n ，如果都有 f (c1,cn )0, 那么称 f负定，如果都有f (c1, ,cn ) 0 ，那么称 f 半正定；如果都有f (x ,x)0那么称f半负定；如果f既不是半正定又不是半负定，那么称f为不.1n定.二、基本结论1.数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形换句话说，数域.P 上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.2.任意一个复二次型f (x , x)X AX都可以经过一适当的非退化线性替换化成1n规范形 y12y22yr2 .且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵A 合同于Er 0 , 其中rR( A).003.任意一个实二次型1n)X AX都可以经过一适

5、当的非退化线性替换化成f (x , x规范形2222且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称y1y p yp 1yr .矩阵 A ，合同于EPEr P0其中 rR(A). p 是正惯性指数 .4.实二次型f (x1, xn )X AX 正定正惯性指数为n存在 n 阶可逆矩阵P ，使 P APEAT T （ T 可逆）A 的顺序主子式全大于零A 的特征值全大于零 A正定.25. A 负定正定 ,A半负定半正定AA6.实二次型 f (x1, xn )X AX 半正定负惯性指数为零存在 n 阶可逆矩阵 P,使P APEr 0, 其中 r R( A)00A 的主子式都大于或等于零AT TA 的特

6、征值都大于或等于零A 半正定.三、基本方法1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.3. A,B 是实对称矩阵，且A 正定，则存在可逆矩阵P ，使 P APE,P BP 为对角矩阵，这一结论是非常有用的试题精选1.（华中师大， 1996）求二次型f (x1, x2 , x3 )x124x2x322x1x210x1x36x2 x3 的正惯性指数与符号差.115115100100100003030A1430 383813601365310 824082400303E10001151151123.03

7、010010100181110130000100010010x11123y10令 x2018y23001y3x32y3 . f的正惯性指数为，符号差为1.2f (x1, x2 ,x3 )y13y2136 232.（华中师大，1997）当 t 为何值时，二次型22f (x1, x2 , x3 )2x15x25x34x1x24x1x32tx2 x3 是正定的，并说明理由.A25t.解2222t52 22060.2 53A2(t5)(t1).二次型 f 正定A 的顺序主子式全大于零(t 5)(t 1)01 t5.3.（华东师大，2005）求实二次型f (x1, x2 , , xn )2n22(x1x

8、2 x2 x3xn 1xnxn x1) 的正惯性指数、负惯性i 1xi指数、符号差以及秩 .解 f (x1, x2 , , xn ) (x1x2 ) 2 (x2x3 ) 2(xn 1xn )2 (xnx1)2 0.于是 f是半正定，负惯性指数为零.此二次型的矩阵为A,当 x1x2xn 时 f (x1x2 ,xn )0.那么 f 不是正定的，于是 R(A)n 1.21001A12100012000002121001A的前n 1行，前n 1列构成的n 1阶子式等于n，那么R( A) n 1，所以R(A)n1, f 的正惯性指数为n1,符号差为 n1.4.（厦门大学，1999） A为正定矩阵 , 证

9、明A *也是正定矩阵 .证明A 为正定矩阵，那么A0.AP P.其中 P 可逆，由 AA*A E,那么A*AA 1.于是 A*A(P P) 111所以* 正定.A P(P) .A5.（南京大学，1997） k 是实数，为实数域上的n 维行向量， 1k0.证明，E k为实正定矩阵 .证明(E k)Ek,那么 Ek是实对称矩阵 . R(k)1.当R(k)0,则或结论成立0,.k0当 R(k)1. 则零是 n 阶实对称矩阵k的 n 1重特征值 .令(a1, a2 , ,an ),则k(kai aj )nn.Tr(k)nkai2k.那么 ki 1是4k的唯一非零特征值.于是， E k的 n 个特征值为

10、 1, ,1,1 k.而 1k0,所以 Ek为实正定矩阵 .6.（南京大学， 1998）B 为 n 阶可逆实反对称矩阵，证明：（ 1）B 0（2）()E B .证明对任意实数 b, (b) 0（ 3） A 为 n 阶实正定矩阵，则AB0.证明（ 1）首先证明 n 为偶数，BB,那么 BB(n于是n1)为偶数，不妨令由B, B0,( 1)1.nn2t.B 是可逆实反对称矩阵，则B 的特征值只能是纯虚数，而() 是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为b1i,b2i, bt i, 其中 b jR,bj0. j1,t.那么存在可逆矩阵 P .使b1ib1ib2i*P 1BP2ib0btitibB b1

11、2b2bt20,于是 B 0.（ 2）(0)B(n0.显然，对任意实数 c,(c)0,假定存在实数 c ，使1) B(c)而( )是 的n 次多项式，( ) 是连续函数，那么存在aR,使(a)0,矛盾 .所0.以对任意的实数b, (b)0.（ 3） A 正定，那么存在可逆矩阵P. 使PAPEP (AB)PEP BP, P BP 仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵 Q，使5c1iQ 1(P BP)Qc1i*0ctict i其中 c jR.c j0, j1,t.那么 Q111P (A B)PQQ (P AP)QQ (P BP)Q1c1i1 c1i*01cti1cti2 A2ct 2 )于

12、是， PB (1c1 )(1 c2 ) (10.所以 AB0.7.（上海交大， 2003） A,B 是 n 阶正定矩阵，证明AB 的特征值为实数 .证明A, B 是 n阶正定矩阵，那么存在 n 阶可逆矩阵 P,Q, 使APP.BQQ.于是，(P ) 1(AB)P(P ) 1 P PQ QPPQQPC C.其中 CQP ,C 是可逆矩阵 . AB 与 CC 有相同的特征值，而C C 的特征值全为实数，所以AB 的特征值为实数 .8.（华中科大， 2001） A 为 n 阶非零半正定矩阵，证明AE1证明A 为 n 阶半正定矩阵，则 A 的特征值都大于等于零，于是存在可逆矩阵T ，使1T 1AT2n

13、其中i0,而则中0,至少有iA一个大于于是0,i1,n,6111AET1(A E)T2( 11)( 2 1) ( n 1) 1.n19.(华中科大,2002)A为n阶半正定矩阵,A 2E2 .证明n证明A 为 n 阶半正定矩阵 , A 的特征值都大于等于零,于是存在 n 阶可逆矩阵 T .使1T 1AT2n其中i0,i1,2, , n.于是 ,A2ET 1(A2E)T1 22 2n2( 12)( 22)( n2)2n.10.（武汉大学， 2001） A, B 为正定矩阵，请证明AB 正定的充分必要条件为ABBA.证明 必要性AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵， (AB)B ABA.于是 A

14、B BA.充分性 .BA BA(AB)AB,于是 AB是实对称矩阵，由A 正定，那么存在可逆矩阵P.使P APE.那么P (AB)P11- 1PAP P BPP BP，由 B正定则 , P BP 的特征值全大于零， 即P (AB)P 的特征值全大于零，那么 P (AB)P 正定，所以 AB 正定11.(武汉大学 ,2001) A为m阶正定矩阵 ,B为mn 阶实矩阵 ,请证明 , B TAB 为正定的充要条件是 B 的秩为 n.证明 必要性7A,BT分别为阶阶正定矩阵假定的秩小于则齐次线性方程组AB, n,Bmn,BY 0 有非零解 .不妨令为 Y0 ,Y00,而 BY00, 考虑 n 元二次型

15、g( y1, y2 , yn )Y0T (BT AB)Y0(BY0 )T A(BY0 )0.与 BT AB 为 n 阶正定矩阵矛盾 .所以 B 的秩等于 n . 充分性 .对任意 n 维非零列向量Y0 .g(Y0 )Y0T (BT AB)Y0T(BY0 ) A(BY0 )由则由X正定BY那么于是正定 所以R(B) n, 00,0 0.A.g(Y0 ) 0,g,Y0BTAB正定.12.(武汉大学 ,2002) A,C 为 n 阶实正定矩阵 , B 是矩阵方程 AXXAC的唯一解 ,证明 :(1) B 是对称矩阵 .(2) B 是正定矩阵 . 证明(1) ABBAC,于是 B AA BC.由AA,

16、CC.那么 B A ABC. 而矩阵方程 AXXAC 的解唯一 .那么 BB. 于是 B 是对称矩阵 .(2)由A为n,P,使阶正定矩阵 那么存在可逆矩阵P APE.于是 ,P (AB)PP (BA)PP CP.PAP P 1BP PB(P)1P APP CPP 1BPPB(P) 1P CP(1)令P 1BPH ,则P B(P )1H , 于是 (1) 可表为HH PCP令是 H 的属于特征值0 的特征向量，即H0 ,0.于是HHPCP .8而HH,又C是正定矩阵, P于是0.2H0.所以而因此的特征值都0大0,B0,于所以是正定矩阵 0,0,B.2 013.(浙江大学 ,2003)设 A(a

17、ij )nn 是可逆的对称实矩阵,证明 :二次型0x1xnf (x1, x2 , , xn )x1a11a1nxnan1anm的矩阵是 A 的伴随矩阵 A * .证明令X(x1, x2 , , xn ). 考虑以下的分块矩阵0 XXA1X 0XA1X 0.XAXA0A于是，f (x1, x2 , , xn )0XXA1X011*XA0AA(XAX) X AA X XAX.由 A 是对称矩阵，那么 ( A * )(AA 1)A A 1*所以二次型12n)的矩A .f (x , x , x阵是 A*.2000）设 n 级实方阵 A 如下，试求 b 的取值范围，使A 为正定方阵 .14.（清华大学，

18、b83333b11A31b1311b解考虑 A 的 k 阶顺序主子式 Dk k1,2, n.b 8333131110 b83 333b11Dk31b103b 11031 b1311b031 1b913111bk73111b 13 b1 000b 1 0001 0b 1 000100b 1000b 1 00000b 101000b100000 b1(bk7)(b 1)k 1.（ 1）k 为奇数， kb7,k1,Dk0,则 A 正定.（ 2）k 为偶数， b1,Dk0,则 A 正定.15.(厦门大学 ,1998)证明 :实二次型 f (X )XAX在向量 X的模 X1 时的最大值即为实对称矩阵A

19、的最大特征值 .证明A 是实对称矩阵 ,那么存在正交矩阵Q .使1QAQ Q 1AQ2.n其中 12n. 对二次型 f ( X ) 作正交线性替换X QY,且令即X那么1,X X1.f ( X )XAXYQ AQY1 y122 y2n yn2X AXYQ QYY Yn .X X令 Y0(0,0,1).那么存在 X 0QY0 ,使2f (X 0 )n ynn .2yn于是结论成立 .16.(厦门大学 ,2000)设 A 是 n 阶实对称正定阵 ,求证 :存在唯一的实对称正交阵B ,使得AB 2 .证明存在性A 是实对称正定阵 ,那么存在正交矩阵Q ,使10Q AQ12.n其中i0,i1,n. 于

20、是AQ其中1112Q Q2Q Q2Q B2.nnn1B Q2Q .n显然 B 是实对称正定阵.唯一性 .假定还有实对称正定阵B1,使 AB12B 2 .B2 是实对称正定阵 ,令2,0.B20,( EB)(EB)0, 而E B 是正定阵，于是那么,( E B)(EB)0,0.这就是说，如果是2的属于特征值的特征向量，那么的B是 B 的属于特征值特征向量，于是1Q BQ同理 .2n1Q B1Q2.n所以 BB1, 于是唯一性成立 .1117.（华中科大，2005）设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位阵， BETA A,证明：当0 时， B 为正定矩阵 .证明考虑 n 元二次型 f (x1

21、, x2 , xn )XT(TEA A)X . 对实数域上的任意非零n 维列向量 X 0 .f (X 0 ) X 0T ( E AT A) X 0X0TX0(AX0 )T (AX0)由则TT那么X0 X00,( AX 0)(AX 0)0.0,f (X 0 )0,所以 B 正定18.（华中科大，2005）证明：任一 n 阶实可逆阵 A 可以分解成一个正交阵 Q 与一个正定阵 S 之积，即 AQS.证明A 是实可逆矩阵，那么A A 是正定矩阵，由本章第 16题，存在正定阵S ，使S2A A,令QAS 1（ 1）那么 AQS. QQAS 1(S 1) A A（S）1 2 AA(A A) 1AAA 1

22、(A) 1AE .Q 是正交矩阵， S 是正定矩阵19.（北京师范大学，2006）证明：（1）若 A 是可逆矩阵，则AA 是正定矩阵 .（2）若 A 是实对称矩阵，证明存在一个非零实数s ，使得矩阵 I nsA是正定矩阵 .证明（ 1）令 X 是实数域上的 n 维非零列向量，由A可逆.则AX0. f (x1, x2 , , xn )X (AA )X(AX) (A X)0.于是 AA 是正定矩阵 .(2) 令 A 的 n 个特征值为12n .如果10, 令 s1,则 I nsA是正定矩阵 .如果n 0,令 s1,则 I nsA是正定矩阵 .如果10, n0 ,1s1,则I nsA是正定矩阵令1n

23、12n nA B T是正定的 证明1T也正若矩阵CBA B20.(中山大学 ,2003)设 A, B,C R,.B C定.证明ABT1TEn0AA,PnA B.T因为正定，则令则PBA1En.BC0EnPTA BP A0T.BC0 C1TBA B由 A B正定, 那么A0B CT0C BAB也正定 .1 T令 X 1 (x1, x2 , , xn ), X 2 (xn1, xn 2 , x2n ) 那么下面的 2n 元二次型是正定的 .TTf (x1, , xn , ,x2n ) (X1T , X 2T ) 0 C BA 1BTX 2A 0X 1121BT )X 2XTAX1XT (C BA令

24、 X1 0.X20.则 X2 (C BAB )X2 0.所以 CBA B正定 .T1 T1T21.(中南大学 ,2002)设 A 是 n 级正定矩阵 ,令a11a12a1ny1a21a22a2ny2f (y1, y2 , , yn )an1an2annyny1y2yn0求证 : f ( y1, y2 , yn ) 是负定二次型 .证明 令 Y ( y1, y2 , yn ). 那么En0Y 010YA1YY A1A Y EnA YA 010 1f (y1 , yn )AYA011Y A YA(YAY) YAAY.Y001由 A 是正定矩阵，则A A是正定矩阵 .所以 f (y1, y2 , y

25、n ) 是负定二次型 .122.(东南大学 ,2003)设有 n 元实二次型f (x1,x2 , , xn ) (x1a1x2 )2(x2a2 x3 )2(xn 1an 1xn )2(xn an x1)2 . 其13中 ai (i 1, n) 为实数 ,试问 :当 a1,a2 ,an 满足何种条件时 ,二次型 f (x1, x2 , xn ) 为正定二次型 .解f(x , x, , x )显然是半正定的 ,f (x , , x)是正定的12n1nf (x1,x2 , xn ) 0 可以推出 x1x2xn0.下面的齐次线性方程组只有零解1a1x2xx2a2 x300xn 1an 1 xn0an

26、x1xn0系数行列式1a100001a200所以 当n 11 ( 1)n 1a1a2 an0,0001an 11 (1)an0001a1a2an0 时 f (x1, x2 , xn ) 是正定二次型 .(2) 若 A及A B AB 都是正定实对称矩阵 , 是B 的任一实特征值23(东南大学 ,1999)(1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数.T,证明1.证明(1)令D P(1,i)AP(1,i).由 A 正定 ,则 D 正定 .那么 D 的左上角元素(2)令 B,R,0.那么 B.于是 ,由A B AB正定 aii 0,i 1,2, ,n.TTTTT (A BT AB)T ATBTAB

27、T2T由 A正定,那么A0,于是1AA所以1.0,则 10,2T0(1) AT221424.(东南大学,2000)设A为n阶正定阵, B为n阶实反对称阵求证B2为正定阵.,: A证明A 为 n 阶正定阵,那么存在 n 阶可逆阵 P ,使 P APE.B 为 n 阶实反对称矩阵 ,令B 的特征值为 b1i,bt i,0,0.那么 B2 的特征值为b12 , b2 , bt2 ,0,0.B2 是实对称矩阵 ,则 P B 2 P 也是实对称矩阵 ,那么，存在正交矩阵Q .使c1222ctQPB PQ00其中 ciR,ci0.i1,t. 那么1 c12122ctQP(A B )PQ11所以 AB2为正

28、定阵 .25.(厦门大学 ,2002)设 A 是实数域上的 n 阶对称矩阵 ,求证：存在实数c ,使得对实数域上任何 n 维列向量 X ,都有X AXcX X这里 X是 X的转置矩阵 .证明考虑下面的 n 元二次型 ,利用正交线性替换 XQY 将二次型化成平方和.f (x1, x2 , , xn ) X AX1 y1 22 y2n yn .2令 cmax(1,2,n ). 那么cX XcYYc( y12yn2)1 y12n yn2c( y12yn2) cYYcX X所以X AXcXX .26（中科院，2004）证明：若S 为 n 阶对称正定阵，则（ i）存在唯一的对称 正定矩阵 S1 ，使得 S S1 2；（ ii）若 A 是 n 阶实对称矩阵 .则 AS的特征值是实数证明(i) 见 16 题.15(i