1991考研数二真题及解析

《1991考研数二真题及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1991考研数二真题及解析（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设yln(13x),则dy2(2)曲线yex的上凸区间是.Inx,1rdx.1 x质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻1秒到t2秒内质点所经过的路程等于米lim1exx0xex二、选择题(每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线yx2axb和2y1xy3在点(1,1)处相切，其中a,b是常数，则()XF12XXO2X-33x32x12XXO12x23x,0x1(C)F(x)322(D)x小x/

2、2x,1x232)内有定义，xqF(x)3x,0x1322x,1x22(3)设函数f(x)在(0是函数f(x)的极大点,则(A)a0,b2(B)a1,b3(C)a3,b1(D)a1,b12x,0x1,、x(2)设函数f(x)c，记F(x)0f(t)dt,0x2,则()2x,1x2,0曲线y(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)(D)()仅有水平渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线如图，X轴上有一线密度为常数，长度为I的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()*-x(A)(A)km2dx(ax)(B)km2dx(ax)okm(C)2$(ax

3、)2dx(D)2km20(ax)dx三、(每小题5分,满分25分.)2(1)tcost十dy,求一2tsintdx(2)计算(2)计算4dx1x(1.x)xm0xsinx2xx(e1)(4)求xsin2xdx.求微分方程xyyxex满足y(1)1的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当x1时，有不等式ln(1x)亠成立.lnx1x五、(本题满分9分)求微分方程yyxcosx的通解.六、(本题满分9分)曲线y(x1)(x2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积七、(本题满分9分)AB:DCAB:DC如图,A和D分别是曲线yex和ye2x上的点,AB和DC均垂直x

4、轴,且八、(本题满分9分)设函数f(x)在(设函数f(x)在()内满足f(x)f(x)sinx,且f(x)x,x0,),3计算f(x)dx.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(1)【答案】(每小题3分,满分ln3xdx3x115分.把答案填在题中横线上.)【解析】,即y(f(x)的微分为dy(f(x)f(x)dx,有由复合函数求导法则【答案】存3xln3(1)dx弊dx.3x1【解析】求函数yf(x)的凹凸区间,只需求出y,若y0,则函数图形为上凹，若0,则函数图形为上凸,由题可知ex2(2x)2xex2ex2(2x)ex(2x)4e(x22因为4ex0,所以当x20时

5、y0,函数图像上凸x2函数图像上凸.故曲线上凸区间为(【答案】【解析】1用极限法求广义积分lnxdxlimb1x2blnx1blimb1lnxd(-)x【答案】【解析】设在t分部limbInx-)dxxbimInbIn1bimInb1.12这是定积分的应用tdt时刻的速度为2tsin(t),则在dt时间内的路程为dstsin(t2)dt,所以从时刻t1秒到t2、秒内质点所经过的路程为t22sqtsin(t2)dt21V22rtsin(t)dt-pSin(t)dt】cos(t2)2V1-(cos211込)2(10)【答案】1【解析】这是-个型未定式1,分子分母同乘以e得lim1x0x1e1lim

6、x01e匚1xex11为简化计算,令t1,则x-,原式可化为xte1x1te101,limlim1.x01tte01xex1t1二、选择题（每小题3分,满分15分.）（1）【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等，即在该点处的导数相等对两函数分别对x求导,得y2xa,则该曲线在点（1,1）处的导数为yxi2a,322yy3xyy,即y322yy3xyy,即y3y23xy2,则曲线在点（1,1）处的导数为两导数相等1,即a1.又因为曲线axb过点(1,1),所以有11b,b1.所以选项（D）正确.【答案】（B）【解析】这是分段函数求定积分当0x1时，f(x)x2,所以

7、F(x)当0x1时，f(x)x2,所以F(x)x0f(t)dtX2t2dt01t3当1x2时，f(x)2x,所以t2dt0(2t)dt1t3(2x1x2)2x2x2.3,0x1所以F(X)3,应选(B).7cx2“c-2x,1x262【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可导点也可取极值，如f(x)x1,在x01处取极大值，但是x01不是f(x)x1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于f(x)|x1|,在X。1处取极大值，但x01并非是f(x)|x1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，因为X。0,不妨

8、设X。0,则f(X。)为极大值，则在x0的某个领域内有f(x0)f(x0x)；函数yf(x)与函数yf(x)关于原点对称，所以必有f(x0)f(x0x),即在X0的某个领域内f(X0)为极小值，故(B)是正确的.(3) 【答案】(D)【解析】函数的定义域为x0,所以函数的间断点为x0,1-1叫Hx1-1叫Hx叫Hx1-I,所以x0为铅直渐近线1-ImHxlimxx2eVe1,所以y1为水平渐近线所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数yf(x)在其间断点xx0处有limf(x)xxoxXo是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)a,(a为常数)，则ya为函数的水平渐近线.x【

9、答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则xxdx中，dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为ax,故两点间的引力为dFkm茫,积分得Fkm2dx,故选(A).(ax)21(ax)2同理应用微元法可知，若以I的中点为原点，则质点的坐标为(a-,0),故2km2(adx；x)2若以I的左端点为原点，则质点的坐标为(aI,0),故F1也dx.0(aIx)故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程dydy/dtsinttcostdxdx/dtcosttsintd2ydx21costtsintdtddy1dsinttcostdt(dx

10、)dxdtcosttsint(2costtsint)(costtsint)(2sinttcost)(sinttcost)1(costtsint)2costtsint2(cos21sin2t)t2(sin2tcos2t)3tsintcost3tsintcost(costtsint)32t23(costtsint)【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:如果y(；则芸吩(2)【解析】用换元法求定积分令t.x,则xt2,dx2tdt,则4dx1x(1、x)4dx1x(1、x)1t2(1t)2tdt21121(;c)dtxsinx2x(e1)xlimx0sinx、缶1cosx厂洛xim03x2叫IK

11、2sin3Xlim2x03x22t2142ln2(lnIn；)2lnt代入初始条件y(1)1得C1,所以特解为y1323(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则当x0时，有sinx:X,ex:1x,所以(4)【解析】用分部积分法求不定积分(5)(5)xsin2xdxxx412x42xdx-21xsin2x41xsin2x4【解析】所给方程是一阶线性方程dxx/xyex(ee1(xxcos2xdxxcos2x)dxsin2xdx41cos2x8,其标准形式为.IdxxdxC)11(xdeC)(xexxx1xd(sin2x)41-yxxexdxexdxC)ex.通解为C)(xexxexC)【相关知

12、识点】一阶线性非齐次微分方程p(x)yq(x)的通解为p(x)dx(q(x)ep(x)dxdxC),其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律当x1时，原不等式即(1x)ln(1x)xlnx,即(1x)ln(1x)xlnx0.证法一：令f(x)(1x)ln(1x)xlnx,则只需证明在x1时f(x)0即可，可利用函数的单调性证明，对于f(x)有x1f(x)ln(1x)1lnX1In().xx1因x1,故1,即f(x)0,所以在(1,)上f(x)是严格递增函数，所以xf(x)f(1)21n20,故(1x)ln(1x)xlnx0,所以当x1时,有不等式ln(1x)成立

13、Inx1x证法二：当x1时,原不等式即(1x)ln(1x)xlnX,不等式左右两端形式一致，故令f(x)xlnx,则f(x)Inx1f(x)xlnx,则f(x)Inx10(x1),所以f(x)xlnx在x1时严格单调递增故f(x1)f(x)，即(1x)ln(1x)xlnx.所以当x1时,有不等式ln(1x)成立.lnx1x五、(本题满分9分)【解析】微分方程yyxcosx对应的齐次方程y2y0的特征方程为r10,特征根为1,2i,故对应齐次通解为C1cosxC2sinx.方程yyx必有特解为Yaxb,代入方程可得a1,b0.方程yycosx的右端excosxcosx,ii为特征根，必有特解Y2

14、xAcosxxBsinx,代入方程可得A由叠加原理，原方程必有特解Y琏所以原方程的通解为yC1cosxC2sinx0,B2x.xsinx.21.xxsinx.2【相关知识点】关于微分方程特解的求法如果f(x)Pm(x)ex,则二阶常系数非齐次线性微分方程yP(x)yq(x)yf(x)*kx具有形如yxQm(x)e的特解，其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果f(x)exR(x)cosxPn(x)sinx,则二阶常系数非齐次线性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为yxkexRDgcosxRg

15、sinx,其中瓷仏)与瓷)(x)是m次多项式，mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x,1,一31X22,顶点坐标为(-，).24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕环柱体的体积为dV(xdx)2yx2y2xydxydx2y轴旋转故|yy，即dV2xydx2x(x1)(x2)dx.其中dx2为dx0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的,把x从12积分得212x(1x)(x2)dx2212x(1x)(x2)dx2221(3x3x2x)dxx3x4x3x412(04)方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部

16、分绕y轴旋转一周后的体积差，即方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕y轴旋转一周后的体积差，即y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕22dVx2dyx-idy其中，为，x2为Yy与抛物线的交点，且x2x1，把Yy代入抛物线方程y(x1)(x2)，解得3 .14y3、14yX1，X22202故旋转体体积为V1(x242x1)dy.把X1，X2的值代入化简，得V3,14ydy32-o(14y)23244314432七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解设B、C的横坐标分别为x1，x，因为|AB|1，所以x0，x0.依题设AB:|DC|2:1，所以有e512e2x，两边同时取自然对数

17、，得人In22x，BCxx1x(In22x)3xIn2,(x0),所以梯形ABCD的面积为Se2x)(3xIn2)1(2e2xe2x)(3xIn2)|(3xIn2)e2x.3求函数S(3xIn2)e2x,(x0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,并令S0有6x2ln2)e0,1111得驻点xIn2,在此点S由正变负，所以xIn2是极大值点232313又驻点唯一，故xIn20是S-(3xIn2)e2x最大值点32111此时xIn2,x.In21时,梯形ABCD面积最大，23311(-捫2,0).11(-捫2,0).1故B点的坐标为(In21,0),C点的坐标为3),f(x)f(x)sin(x)xsinx,x0,f(x2)f(x)sin(x2)xsinx323而f(x)dxf(x)dx2f(x)dx,对于2f(x)dx,令tx,则xt,dxdt,所以2f(x)dxf(t0)dto(tsint)dt;3对于2f(x)dx,令tx2,则xt2,dxdt,所以32f(x)dxf(t02)dttdt;0323所以f(x)dxf(x)dx2f(x)dx0(tsint)dttdt02tdtsintdt00t20cost022.八、(本题满分9分)【解析】sinxx,x0,),这是个抽象函数求定积分，由题知(1)3231(1)