破解直线与圆中的“定”的问题

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1、破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程 思想等。在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如y二kx是过定点0 0,0的直线系，kx b（b是常数）是过定点 0,b的直线系，y = k x-ab（a,b是常数）是过定点a,b的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？例1平面直角坐标系xOy中，直线1 4k x- 2-3k y-3-12

2、k=0恒过一定点P，而直线mx y - 6 =0也过点P，则m二。解法 1:直线 1 4k x-：；：23k y -3-4k = 0，整理得 k 4x 3y -12 x-2y-3i=0.，所以P 3,0，令 4x3y12=0，解得 x=3x _2y _3 = 0y = 0代入直线mx，y-6= 0 ,得m=2，答案：2.12解法2:令k ，则y =0 ；令k ，则x = 3；43所以直线1 4k x- 2-永y-3-1永二必过直线y=0与直线x = 3的交点3, 0，显然 P 3,0，代入直线 mx，y-6=0，得 m = 2。点评：含有参数的直线 Ax By C = 0过定点时，只需将含有参

3、数的部分整理到一起， 不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可解方程得直线所过的定点。变式1:（ 2014四川）设mR，过定点A的动直线x my = 0和过定点B的动直线mxym+3 = 0交于点P（x,y ），贝U PA+|PB的取值范围是a、5 2、_5b. L. 10,2.5c. .10,4、.5d. 2 .5,4、_5答案 Bo2 2例 2 已知圆 C : x y 2k 4k 10 y 10k 20 k- -1 ，则圆 C 过定 点o解法1 ：圆C的方程可变形为x2 y2 10y 20 k 2x 4y 10i； = 0 ,所以圆C必过两曲线x2 y210y - 20 =0与2x 4y

4、 10 =0的交点,联立方程r 22x + y +10y+20 = 02x 4y 10 =0，解得 =1，所以圆ly = 3C过定点1,-3。答案为1, -3。22522解法 2 :令 k=0，贝V x y 10y 20 二 0 ,令 k ，贝U x y5x5 = 0 , 2圆C所过的定点必是曲线 x2 y2 10y 20 =0与x2 y2 - 5x -5 =0的交点；x2 y210y20 =0x =1而联立方程y y 20 0，解得，所以圆C过定点1, -3 o|x2 y25x5 二 0.y = _3点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘曲线方程与哪些参数 无关。常见的方

5、法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊 入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关。ax y -1 = 0的距离最大时，则变式2:若圆x2 y2 -2x -8y 13=0的圆心到直线a =()11A.B.3 C.D. 333答案：Ao二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立.，应用待定系数法来处理。例3平面直角坐标系xOy中，已知半径为r的L M的圆心M在直线y=2x 3上,且在y轴右侧，L M被y轴轴截得的弦长为.3r .(1)求L M的方程;(2)当r变化时，

6、是否存在定直线I与L M均相切？如果存在，求出定直线 I的方程;如果不存在，说明理由。解析：(1)设 M(a,2a + 3)(a a0 卜则M 的方程为(x a) +(y 2a3) =r2，设M到y轴的距离为d，即d二a，由L M被y轴轴截得的弦长为、3r，所以r2二d23r2、2，得 d = a =，2故L m的方程为i2 yr3 = r2。(2)假设存在定直线I与L M均相切，定直线I的斜率不存在时，显然不合题意;设直线I的方程为y二kx b，则k r 3*b2、 k2 1=r对于r - 0恒成立,-r.k21，得:_(k2 +1 Jr2 +化_2 )(b_3)r +(b_3)2 = 0，

7、 丿 J2-k2 1 =0I k彳_ -112因为上式对任意实数 r恒成立，所以q k -2 X b -3 )= 02b_3i； =0，解得或I所以存在两条定直线 y =3和4x 3y -9 =0与动圆L M均相切。点评：本题动圆的圆心与半径都在变化，其几何特征不明显， 故采取直接论证dM二r恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时，必须紧扣等式的成立与 r的取值无关这一特点。22o变式3 :已知圆G：(x+2)+(y3m2)=4m(m0)，直线I的方程y二x m 2，圆C1关于直线I对称的圆为C?。(1)证明：当m变化时，C2的圆心在一条定直线上；（2）求C2所表示的一系列圆的公切线方程。

8、提示：（1） Ci -2,3m 2关于直线I对称的点C2 2m 1,m 1 , C2在一条定直线x-2yT=0上.（2）设公切线方程为 y = kx b，则k 2m 1 - m 1 b=2 m对k 3 k =4，4动直线与定圆相切，是研究 d弦心距-r恒成立，或者联立方程几=0恒成立，再按参数整理，令参数的系数为 0,得到方程组,最后解方程组求出圆心与半径。例4 已知点P在y上，纵坐标为2t t = 0，Qi 23-：，求证：直线PQ恒与个圆心在x轴上的圆M相切，并求出圆M的方程。2于 m恒成立，整理得(4k 3 )m2 +2(2k 1 k +b 1 )m+(k + b 1 ) = 0 ,-4

9、k -3 =0所以2(2k1 )(k+b1) = 0，解之得彳2(k +b -1) =037所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为；，即3x 40。二、定圆冋题解析：由题意知P 0,2t，Q -2,31I t丿1t所以直线PQ的方程为y -2t =七一 x，即t2 -1 x 2ty -4t2 = 0，2 2 2设圆M的方程为xay = r r 0，则2 2t -1 a-4tt2 -1 $ 4tr恒成立,整理得 t2 -1 a -4t2 = r t21，或 4t2 -：t2 -1 a = r t2 1 ，所以 &-4上2-8-=0，或 a r-4ta 0恒成立,a _r -4 =0 故-a _r

10、 =0a r -4 = 0a，或，解得22x-2 y= 4。、a - r = 0J = 2因此直线PQ恒与一个圆心在 x轴上的圆M相切，圆M的方程为点评：解答题解题步骤是：设圆的方程 -化简d弦心距二r或厶二0恒成立一变量分离一 求圆心与半径一写出定圆方程，如果是客观题，用特例法比较方便。变式4:已知直线|：2mx亠门-m2 y_4m_4=0总与一个定圆相切，则该定圆方程 为。2 2答案(x 2 ) +( y 2 ) =4。综上，破解直线与圆中的“定”，关键抓住“定”中蕴含着的与参数取值无关的恒成立 思想，另外也可以特化参数值，巧妙地避开参数的干扰。欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求