冲刺班教案综合应用及证明

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1、综合应用及证明前言 在历年的试题中除去前面十二题选择和填空题以及八题计算题，一般都有四题比较综合的解答题和证明题，分值一共是38分。这些题的正确解答与否将直接关系到高数能否取得高分。从试题的计算量上来看，这部分题目的计算量其实都不大，关键是对基础知识的综合运用能力的考查。经过分析，我们不难发现这四道题中还是有比较固定的格式，起码我们可以知道有三类题是历年来必考的。第一类是对导数应用的考查（极值、最值及凸凹等），第二类是定积分应用的考查（围成的面积及旋转体的体积），第三类是不等式证明。除了上述三类，一般还会有题证明题，多是等式证明（积分等式证明或二重积分等式证明），当然也可能是一道综合性更强的题

2、目，全面考查对微积分中函数连续、可导、积分以及微分方程等相关知识的彼此间的联系。对于固定格式类型的题目我们必须做到熟练掌握解题方法和步骤，剩下的类型只能依靠同学们在平时学习中积累的经验和技巧，其实做到这点并不难，归根溯源，只要我们对基本概念深刻理解和掌握，无论题目怎么变化都可以应付自如。下面我们将这部分内容大致分为六个方面逐一深入讨论。一、导数的应用 导数的应用可以大体上分为三种题目，第一种是以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主要目的的解答题；第二种是实际问题求最值，也就是我们通常意义上的“应用题”，一般都需要设未知数，建立目标函数，但是这种题只是在05年之前出现过，近几年没有出现；第三种是结

3、合其它类型的题目，如定积分的应用等等，一般是在题目中出现待定参数，为了达到某种量（距离、长度、面积以及体积等等）最大或最小。另外利用导数的几何意义（切线的斜率）也是可能出现的。当然，导数的应用也可以出现在选择题或填空题中，仅单独考查某个函数的单调区间、极大值或极小值、凸凹区间、拐点以及渐近线等等。 求函数的单调区间及极值问题是同学们在高中就学过的内容，函数的凸凹及拐点只是借助了二阶导数信息，对这些基本方法的掌握留给同门们自己复习，我们下面提几点解题时的注意事项和技巧。1. 以求函数的极值（凸凹区间及拐点）为主要目的的解答题定义域，单调区间，不可导点，列表，第一充分条件，第二充分条件，凸凹及挂点

4、最值逆向判定反求参数问题2. 实际问题或其它类型求最值设未知数，建立目标函数，一阶导数，驻点（只有一个），第二充分条件，极值，单峰原理，最值3.导数的几何意义导数的几何意义我们都知道是曲线在某点处切线的斜率，即，在历年试题中有关曲线的切线构成的综合题还是经常出现的。下面我们详细讨论其中不同的情形。求曲线在某点处的切线方程 切线首先是直线，所以我们一般采用的是直线方程的“点斜式”，即。此类型题可以分为两小类：第一类是已知曲线的方程，即函数解析式，求在处的切线方程，这种最为简单，求出导数后直接代入点斜式公式即可；第二类是已知曲线的方程，即函数解析式，但是并不告诉我们切点，而是告诉我们切线通过其它的

5、点，当然该点不在曲线上，然后要求我们求出切线的方程。对于第二类显然并第一类要复杂一些，采用的方法一般有两种，一种是假设切点坐标就是1 / 16，这里我们要把它们看成是常数，得到切线的斜率为，然后再利用求导得到，这两个是同一个，所以有，解这个关于的方程就可以得出具体的的值了，接下来就回到了第一类的那种情形，便可以求出切线的方程了。另外一种方法是假设切线的斜率为，已知点虽然不在曲线上，但是也是切线上的点，从而可以利用点斜式求出切线方程，当然此时是待定的参数，然后我们再利用曲线和切线只有一个交点这一特性，把切线方程和曲线方程联合成一个方程组，于是这个方程组的解一定是唯一的，把其中一个方程代入到另一个

6、方程中，利用求出参数即可。相比较而言，虽然第二种方法比较简单，求出后直接就能写出切线的方程，也容易掌握，但是这种方法还是具有很大的局限性的，毕竟只有一元二次方程才具有所谓的“”，因此第一种方法是比较常规的方法。结合切线做其它相关的运算比如截距，与其它曲线围成的封闭图形的面积或旋转体体积，或是给出任意点处切线的斜率，从而建立微分方程求解分清常量和变量很多时候我们需要设一些未知数来求解为题，但是虽然是未知的，在建立有关的等式中，又要把他们看作是已知的，这一点要区别开来。4.历年试题讲解(2001年)21、过作抛物线的切线，求（1）切线方程；（2）由抛物线、切线、以及轴所围平面图形的面积；（3）该平

7、面分别绕轴、轴旋转一周的体积。解：（1）；（2）；（3），(2001年)24、一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花20元的维持费。问租金定位多少时，该公司可获最大利润？解：设每月每套租金为，则租出设备的总数为，每月的毛收入为：，维护成本为：.于是利润为： 比较、处的利润值，可得，故租金为元时利润最大.(2002年)24、从原点作抛物线的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S。求（1）S的面积；（2）图形S绕轴旋转一周所得的立体体积。(2002年)26、已知某厂生产件

8、产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。（本题满分8分）（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本， （件）（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润，. 此时利润（元）.(2003年)21、抛物线（1）抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程。（2）求抛物线与水平切线及轴所围平面图形的面积。（3）求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积。（9分）解：（i）切线方程：；（ii）（iii）(2003年)23、设计一个容积为立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造

9、价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？（8分）解：设圆柱形底面半径为，高位，侧面单位面积造价为，则有由（1）得代入（2）得：令，得：；此时圆柱高.所以当圆柱底面半径，高为时造价最低.(2004年)23、甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？解：设污水厂建在河岸离甲城公里处，则，解得（公里），唯一驻点，即为所求.(2005年)22、设函

10、数的图形上有一拐点P（2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数求此函数。解：设所求函数为，则有，.由，得，即.因为，故，由，解得.故，由，解得.所求函数为：.(2006年)22、已知曲线过原点且在点（x,y）处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程。解：，通解为，由得，故.(2007年)22、设函数具有如下性质：（1）在点的左侧临近单调减少；（2）在点的右侧临近单调增加；（3）其图形在点的两侧凹凸性发生改变。试确定常数的值解：，.由题意得、，解得、(2008年)21、求曲线的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值。解：4(2009年)21、 解：（1）函数的定义域

11、为，令得，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为.（2），令，得，曲线在上是凸的，在上是凹的，点为拐点.（3）由于，故函数在闭区间上的最大值为，最小值为.二、定积分的应用 画图，记公式三、方程根的讨论1.零点定理（至少有一个根）2.零点定理+函数单调（有且仅有一个根）3.极值（作图分析，多针对于没有指定区间的题目）原理:函数连续性、极值的正负性、函数趋向于无穷大时的极限，步骤4.罗尔定理（间接证明）构造5.连续使用零点定理（证明存在两个以上的根，可以使用极值法）6.n次方程最多n个根7.注意不管是零点定理还是罗尔定理都是是取不到端点的，即，对于端点要单独讨论（提高班，P29页22

12、题）（2003年）22、证明：在内有且仅有一个实根。（2005年）21、证明方程在-1,1上有且仅有一个实根。（2008年）23、设函数在闭区间0，2（）上连续，且，证明：在开区间上至少存在一点，使得四、不等式证明1.函数单调性（要求函数具有很强的单调性，且易于求导）原理：有限区间使用一次：；使用多次：无限区间或，以为例使用一次单调性原理；无穷区间或存在一个无意义的点分区间讨论2.最值（最具一般性的方法，不要求函数具有单调性，只需要求一阶导数）3.微分中值定理（含有增量形式的不等式）4.积分不等式（利用定积分的性质或积分中值定理）5.技巧（划分区间讨论、改变不等式形式）（2001年）23、设函

13、数在上具有严格单调递减的导数，在处右连续且，试证：对于满足不等式的，恒有下式成立：。证明：由拉格朗日定理知： ， 由于在上严格单调递减，知，因，故.（2002年）25、证明：当时，成立。（2006年）21、证明：当时，。（2007年）24、求证：当 时，（2008年）24、对任意实数，证明不等式： （2009年）24、证明： （2010年）21、证明：当时，五、等式证明1.定积分（换元法，观察积分上下限的构成）观察积分的上下限，找出其中的增量，理由积分区间可加性分成两个定积分；对其中的某个整体部分进行换元，从而改变定积分的上下限为所要证明的定积分的上下限；利用诱导公式将被积函数变形2.交换二次

14、积分次序3.其它（2004年）21、证明：，并利用此等式求（2007年）23、设，证明： 例3. ，并计算的值。证明：因为 所以要证明 即证明 令，则；当时，；当时， 则 由于定积分与积分符号无关，所以 即原命题成立 利用命题结论有六、综合题的构成分析 除去我们熟悉的固定类型的综合应用及证明题，一道普通的综合题是怎么构成的呢？它又是如何依据高等数学中的各部分知识进行混合编排的呢？这是我们需要思考的问题。在这里只给同学们起个头，针对于历年试题，希望可以起到抛砖引玉的作用，让大家对一些综合题的考查做到不再望而生畏。观察历年试题或是平时做的习题就不难发现，综合题大都有个共同的地方，那就是依据函数作为

15、中介和桥梁。函数是我们数学的基础，有了函数才能研究它的各种性质，才能对它做各种运算。1.由函数引发的知识链 先看下面的表格函数极限连续（连续性）导数（可导性）几何意义应用（极值或最值）微分方程偏导数积分不定积分定积分应用（面积或体积）二重积分变上限积分 上述表格简单地列出了由函数引出的一些知识点，当然并不止这些，但是我们可以从中得到这样一个结论，就是无论是算极限、导数、积分，还是判定函数是否连续、是否可导等等都必须事先给我们函数才可以。上述表格中的各个知识点彼此是相互联系密不可分的，它们之间是可以相互转化的。比如计算某点处的导数，如果不可以使用求导公式，最终可以利用导数的定义，那么就必须利用函

16、数的极限（左右导数）；利用导数和不定积分之间是一种互逆运算关系，可以给出它们其中的任何一个就可以算另一个；二重积分最终是化成二次积分来求解的，这就跟积分联系在一起了等等。总之，这种情况很多，但是只要把其中的基本概念搞清楚并不复杂。2.一类含有求函数表达式的综合题分析 由上面的分析可知，在各种计算中必须有函数才行，说的具体些就是必须知道函数的表达式。但是往往题目中并不直接给出函数的表达式，这样一来所谓“综合”的成分便由此产生了。接下来我们来讨论一下有哪些方法可以求出函数的表达式。利用常规方法 这种方法是中学课本中常见的方法，即我们常说的三种方法：直接代入法、换元法和凑元法。最常见的是已知，题目中

17、需要计算的是的相关计算。不过，这种题型在综合题中已经不多见了，但是在选择填空题中还是会经常出现的，而且还有一定的解题技巧。这是因为往往并不是按照上述方法求出再进行相关的计算，比如一些简单的不定积分或定积分的计算就是这样。例如：已知的表达式，求；已知，求等等。利用导数与积分之间的关系 这种方法实际上跟中在有些时候有相同的地方，题目中告诉我们的原函数是，则；或者说是的原函数，则，这里要注意此时求出来的是含有参数的，一般题目中还会告诉我们一些条件来确定参数，比如已知；利用微分方程 微分方程的解其实就是一个函数而已，所以题目可以事先让我们解一个微分方程得到函数后再做其它的运算。这种类型有的是直接的，即

18、事先给一个明显的微分方程，有的是间接的，比如事先给的是一个含有变上限积分的等式，这种题目我们已经很熟悉了，比如，此时方程两边同时关于求导之后就得到一个微分方程了，而且是一阶微分方程（因为只求了一次导数）。如果等式中含有形如的项，由于求导时利用的是乘法法则，这样再求导之后还会剩下变上限积分，那么就再求导一次，于是便出现了二阶微分方程。不管是上述的那种情形，最后都要求出的具体表达式，由于微分方程求出来的一般都是通解，这样一来就必须找出初始条件来求出不还有参数的特解，一般都是利用题目中给的条件，或者取变上限积分的上限（为下限值）。利用导数的应用 这类题中所涉及的函数一般是直接给出的，但是函数中含有参

19、数。题目中会告诉我们函数满足的一些条件，比如在某点处取得极值或为拐点，或者间接的说明在两个区间内的单调性或凸凹性等等，一般都是通过分析得出若干个方程，从而解方程组求出参数。需要注意的是在某点处如何如何本身就包含了函数中存在这一点这个条件。当然，这类题完全可以是一个独立的题目，即本身就是求函数的表达式而不再做其它的计算了。自己建立函数 这类题一般是题目中并没有像上述情形那样给出函数的相关信息，而是通过题目中所给的信息建立一个函数，然后再对这个函数进行相关的计算。比如实际问题中建立所谓的目标函数，之后再对它进行其它计算；又如这几年经常出现在定积分应用中的题目，根据已知条件求出面积或体积，从而得到一

20、个关于面积或体积的目标函数，但是其中是含有参数的，这是由于题目中给的某些条件中就含有了参数，然后再利用导数的应用求出最大值或最小值等等。3.知识点的联系举例 我们上面说过了，由函数引出的各种知识点之间是相互联系的，那么它们在考试中又是如何建立起来的呢？下面我们举两个例子，给出题目最终要求解的问题，然后看看它们彼此间是如何联系起来的。求函数表达式满足一个微分方程得到一个微分方程根据题目条件建立等式；求求函数表达式利用导数的应用建立参数满足的方程是一个含有参数的函数；求求函数表达式利用连续或可导的性质求出参数是一个分段函数，其中含有参数；求求函数表达式（）利用分析的方法求出参数已知一个函数的极限值

21、，但是函数中含有参数 像上面的这些形式其实可以写出很多很多，比如再联系到定积分的应用，或者二重积分都可以，无非就是一些排列组合的问题，只要同学们对个部分知识点的相关基本概念做到熟练掌握，就可以把题目中的问题一一分解为一个个小问题求解，因此，所谓的综合题也就“不过如此”了。4.历年试题讲解 2010年的最后一题就是一道非常好的综合题，它考查了微分方程、定积分的应用以及函数求极限等三个知识点，为我们提供了一个很好的个例。历年试题2001年22、设函数，具有二阶连续导数，且，（1）求，使得在连续；（2）求。2004年22、设函数可导，且满足方程，求。2006年24、设，其中是由以及坐标轴围成的正方形

22、区域，函数f(x)连续。（1）求a的值使得g(t)连续；（2）求2007年21、设平面图形由曲线及两坐标轴围成 （1）求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分。试确定常数的值 2008年22、设平面图形由曲线与直线所围成。 （1）求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积。（2）求常数，使直线将该平面图形分成面积相等的两部分。 2009年22、设是由抛物线 和直线 （1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积（2）求常数，使得的面积与的面积相等23、已知函数，证明：函数2010年22、 设其中函数在处具有二阶连续导数，且，证明：函数在处连续且可导。23、设由抛物线，直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，由抛物线，直线与直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为，另，试求常数的值，使取得最小值。24、设函数满足方程，且，记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为，试求 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！