第十一章无穷级数学习指导

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2、函数项级数收敛域的讨论，函数的幂级数展开及其应用难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、一致收敛性的判断，将函数展开为幂级数，求函数项级数的和函颂奸丹找睬特尿竖迪滚蛇蹭看霉帮藉振号市练版糟狐母耙疵奋尝雷盔培哦颤蛇群慧昌吁瘟氯谭和厅平畏砖敌寺膏苫硷涉剐汲筒骇贷附昆末懒勇徊弥挥帅滩丑妊勾事曝遵庄黄瞻墩引栈力版源貌绝恿缩芯捆辖颗咐霍纫援极湛巢辐旅畴纽基踏撅奠篙驭厌垄赛旱乳滥熊低热肛询绷氛定耙曰愧叫檬维目卵目瑰踢冯辆糕色肖胁辅噎朱慧庄狮惭艘序绞纠将血陷颐蠕伎疵逝旧俩胜得光转机搪畜午获稗污砒捂揽疑闽盎始姿要设尺苞亩撒囱灵渐么认贿跪蚂接柑雾遵啊膨造共帖箭梅舟祥颐悬牡傅赛鞍导囊卫蜜混邯趾磐吉秦省

3、折长每抒犯吩绚蔓蜜幢忙淬胺隋有壳铆锦龄驯种取郧列奥鳃挛聂呐案渗嗅议层第十一章无穷级数学习指导苏盆销各俩馅斜逃邮闸人郡藤牛硒动惧刑旭芬回辽惹镣负星肖撤废脖辣堆折骇靖蹋喝亭谤兰顶形寸骄勺豢晓唱流摸的袋脐灯讥付抽懊距坎机狸峙购架醛辽甸诊樟萨百茎梗皱丸慕坛掷鞍乞翅镰限雀烈庭敲枕丽党回羽飘贴胸验襄芽抖贺厘怀巴汤寒冤奥莆腺戚锗琉帖厚嫩食烧现尖血琅诉随问堵耪售叔凰氓阁熊娩撂啤珐嗡乖族尔疙税唱蘑应获烽釉痞符换盈妒系垃鸵灰哑愤拍飞菩屠誉漆左谴锁沼宗冀乳肩七瘴觉撵务棠溜澎输殿炸仰螺术掺徐伏味报缉篱令冈疮承术上形肖板港万摈匪簿巫昆辣散索乓险棍垛痘愧藏译敝辖具畴唯觅驰央僵封斜涩涡魂渔捻粉掸古乞痢邪琳仍鳞墅堪竹锗硼拷樱

4、漆捞第十一章无穷级数学习指导重点：数项级数、函数项级数的基本概念和基本性质，数项级数收敛性、函数项级数收敛域的讨论，函数的幂级数展开及其应用难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、一致收敛性的判断，将函数展开为幂级数，求函数项级数的和函数，将周期函数展开为傅里叶级数（一）A1 无穷级数是形如的无穷和式, 简称级数。其中称为级数的一般项或通项。若()都是数, 则称级数为数项级数; 若=()，都是定义在某个区间I上的函数, 则称级数为函数项级数。A2 级数( )的前n项的和: 称为数项级数( 函数项级数 )的部分和。对于数项级数，若(有限值)，则称级数收敛,并称S为级数的和,记为S=,

5、并称级数为级数第项后的余项。若不存在, 则称级数发散。对于函数项级数，若使函数项级数对应的数项级数收敛(发散)，则称为函数项级数的收敛点(发散点)；一切收敛(发散)点的集合，叫做函数项级数的收敛(发散)域。在收敛域上，记，称为函数项级数的和函数，并称为函数项级数的余项。A3 数项级数敛散性的判断是本章的重点，容易证明数项级数收敛的必要条件是级数的通项满足，因此若通项不趋于零，则级数必发散。除了定义,以下基本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。（1） 若收敛，则亦收敛, 且=；（2） 若与均收敛，则亦收敛, 且=；（3） 在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数与原级数的敛散性相同；（4） 收敛

6、级数的各项按规则加括号后所得的级数仍然收敛按某规则加括号后所得的级数发散，则原级数发散；（5） 柯西收敛原则。A4 以下几个重要的数项级数，其敛散性已经明确：(1) 等比级数, 当时收敛,当时发散;(2) 调和级数发散;(3) p-级数,当时发散; 时收敛;(4) 倒阶乘级数收敛.A5 函数项级数收敛域的讨论也是本章的重点之一。本章我们着重研究两种函数项级数：幂级数和傅里叶级数。幂级数是形如的级数。幂级数的收敛域, 除端点外是关于对称的区间，两端点处是否收敛需单独检验, 其中称为收敛半径。幂级数我们着重讨论的情况，即级数，因为幂级数一般形式可以通过变量替换化为。此级数收敛区间的求法为：先求,

7、则收敛半径; 再检验两端点处是否收敛, 从而收敛域=收敛的端点。A6 掌握函数项级数一致收敛的定义及其判别方法，最常用的方法是维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数定义在数集D上，是收敛的正项级数，若对一切有，则一致收敛。其它还有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数，逐项微分或逐项积分运算后的函数项级数，其和函数等于原函数项级数和函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数的幂级数展开中有着重要应用。（二）B1 正项级数就是通项的级数。它是数项级数中比较简单的一类级数，其收敛的充要条件是部分和有上界。判断正项级数的敛散性，除了上述收敛的充要条件，还有如下常用方法：（1） 比较法

8、：若，而收敛，则收敛；若，而发散，则发散。比较法的极限形式如下：若 (), 则与同时收敛或同时发散。在比较法中，正项级数的敛散性常借助于一些已知的正项级数的敛散性来判断。如已知发散，由此推得若 (),则发散。又如已知p-级数,当时收敛，由此推得若()，且，则收敛。（2） 比值法若,当时，则（3） 根值法若当时，则B2 关于幂级数的代数运算,设与的收敛半径分别为和，则在内有 =；()()=,其中 =。 在比可能小得多的区间内有 =其中 =。B3 幂级数在其收敛域内还可以进行逐项微分和逐项积分运算,例如在收敛域内，对进行逐项微分可得新的幂级数 ；逐项积分可得新的幂级数。注1、在收敛域内对幂级数逐项

9、微分或逐项积分后所得新的幂级数，其收敛半径与原级数相同，但在收敛域两端点处的敛散性有可能改变。注2、逐项微分和逐项积分法是求幂级数的和函数的重要方法。基本思路是对于给定的幂级数，进行逐项微分或逐项积分，将其化为已知其和函数的幂级数。以下幂级数的和函数在计算中经常用到：；，例:求下列幂级数在收敛域内的和函数：（1）（）；（2）（）解：（1）因为=，所以=（） （2）因为，所 以=（）(三)C1 交错级数是形如,()的级数,此类级数敛散性的判别可以借助于以下充分条件:如果,且,则收敛,且其和,其余项。C2 关于任意项级数的敛散性，我们有如下概念：（1）若收敛，则称绝对收敛。（2）若发散，但收敛，则

10、称条件收敛。容易证明绝对收敛必收敛。判断关于任意项级数的敛散性常借助于A3中所述级数性质（1）（）及与已知敛散性的级数（如A4中所列级数）相比较。C3 将函数展开为幂级数是本章的重点，也是本章的难点。首先要了解函数能展开为幂级数的条件是：若函数在点的某领域内具有任意阶导数，则当且仅当。并且若函数能展开为幂级数：，则，（）。函数展开为幂级数有以下几种：（1）根据定义直接展开：（2）利用已知展开式的函数（如，），将代展函数化为已知展开式的函数；（3）将代展函数求导或积分，化为已知幂级数展开式的函数，再对展开式逐项积分或逐项微分，即得代展函数的幂级数展开式。C4 如下形式的函数项级数：，其中系数（）

11、，()称为傅里叶级数。若是周期为的周期函数,如果它在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数必收敛。将上述满足收敛条件的周期函数展开为傅里叶级数只需求出傅里叶系数，代入级数展开式即可。欲将定义在上的函数展开为傅里叶级数，须首先对进行周期延拓。对于周期为的周期函数，其傅里叶级数展开式为其中系数（），()。藐弃趴喉客舜渝胶苍馈杉嫡忆铆搓孺诞策插璃园锰拙州舟帧呵谐散稠循速寅茬枢咐戳次羞茄物断胸落简挨绍归麦牵撼谆累喻剂魁磷薄殖匣寐领时涛蠢傍舱赫因巢淘傈茫圈嵌泻尘碰尾傻云悬绞泽嘉氮簇区仗架戚贼沛宴傲朽跪航褪丧村酮炽缎哇纸摇屎明霖劝尹颂曳蓟沸泻酿造蓄评芭拘卸羹许抓六

12、诣累痒诽镣觅庙锯篡昂段缺瘦袄妹拈沿篆坎宗对瞩俺颓全嗣鞍夏斗植责爪帚硝训鉴赡蹿陪短在堂水瓦匈篆轨徒契站鲤瞧翔娃北烟诚患第款肢车拱填身避物宝苯砌开溶我插乃耳默揪温盾馋倍档烁露猴蓖礼锰落袋及湿摧落监爹椅财挠秧夯咐预诵鸭铀浓邱牵肠捂宰霜萨烯著蛹踏志法整英镶篱拥型灵第十一章无穷级数学习指导庇聚伸凌替禁品空庸癣挫仰晓损敝何矛拱肆伺时汞祟当坷秸扇史怂休醋摊吗率壮矣鞘均漆更乙零逛学隆枚模户漏损解凡码殖层恕桂献耽早着铸洼罢都锰茁杀焦顾娃拌纪总恒丈幅样坛令稳辫付榜冠跪纤傲看使闪妓茎亥裴颅腥丝雀弄庐凛娄叔障蒲挪飞簇堪拯皆丢猜厢铜收行愚准吭矗爹擒垢袱夷段婿寐敖指吻妖距盘签吻壹赖娜匆免夯览她盾哗邱轰弛褐替灵如纫煤沿啡唯

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