最新 人教高中数学必修二【课时训练】第二章　点、直线、平面之间的位置关系

《最新 人教高中数学必修二【课时训练】第二章　点、直线、平面之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新 人教高中数学必修二【课时训练】第二章　点、直线、平面之间的位置关系（156页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料第二章点、直线、平面之间的位置关系21空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)掌握平面的概念及表示(2)掌握平面的基本性质及作用(3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化2过程与方法(1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性(2)结合具体实例掌握平面的三大公理，建立公理化思想，初步认识公理的作用(3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系3情感、态度与价值观(1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力(2)培养学生的空间想象能力重点难点重点：平面

2、的概念及其表示，平面的基本性质三大公理，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化难点：平面的基本性质三大公理，图形、符号、文字语言的相互转化重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑板面等)为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际，发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解疑难点(教师用书独具)教学建议 本节课是由初中平面几何进入高中立体几何的第一课，也是高中立体几何模块中的理论基础，具有承上启下作用由于 “平面的概念”及“三个公理”比较抽象，教学时，应遵循学生的认知规律，建议教师采用类比与实例相结合

3、的教学方式，通过多媒体及实物模型将具体与抽象、感性与理性有机地结合在一起同时强调“三个公理”所隐含的条件、结论及作用，并注意图形语言及符号语言的等价转化教学流程创设问题情境，引出问题：平面如何定义？课标解读1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)平面【问题导思】1几何里的“平面”有边界吗？【提示】没有2在几何里，用什么图形来表示平面？【提示】平行四边形1平面的概念生活中常见的如黑板面、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象几何里

4、所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的是无限延展的2平面的画法(1)通常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图211，平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如图.图211(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法如图的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.点、直线、平面之间的关系【问题导思】平面是由点组成的，直线也是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系如何表示？直线和平面呢？【提示】点和直线、平面的位置关系可用数学符号“”或“”表示直线和平面的位置关系可用

5、数学符号“”或“”表示点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l平面，相交于ll平面的基本性质【问题导思】1直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？【提示】前者不在，后者在2观察下图，你能得出什么结论？【提示】不共线的三点可以确定一个平面3观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面ABB1A1有且只有两个公共点A、B吗？【提示】不是平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.平面的基本性质公理内容图形符号作用

6、公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C确定平面的依据；判定点、线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl判定两个平面相交的依据；判定点在直线上三种语言的转换用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面、相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.【思路探究】根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分

7、用虚线表示【自主解答】(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC.用图形表示如图(1)：(1)(2)符号语言表示平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.图形表示如图(2)：(2) 1解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”、“”、“”、“”、“”的意义2解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(

8、3)Pl，P，Ql，Q.【解】(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图(1)(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图(3)点线共面问题已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面【思路探究】由ab可知a、b确定平面，然后证明l.【自主解答】如图所示由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)同一法：即

9、先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内直线a与b相交，直线c与a，b都相交，求证：a，b，c共面【证明】直线a与b相交，直线a，b确定一个平面，设为.设caA，cbB，Aa，Bb，A，B.又Ac，Bc，由公理1可知c，a，b，c共面.点共线与线共点问题如图212，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线图212【思路探究】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可【自主解答】MNEFQ，Q

10、直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D、A、Q三点共线点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看

11、作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点如图213所示，已知四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点图213【证明】E，F分别是AB，AD的中点，EFBD且EFBD.又2，GHBD且GHBD，EFGH且EFGH，四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD，又平面ABC平面ACDAC，PAC，故直线EG，FH，AC相交于同一点因混淆“平面”与“平面图形”两个概念致误下列说法正确

12、的有_(1)平面就是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)平静的太平洋面就是一个平面；(4)圆和平面多边形都可以表示平面【错解】(1)(2)(3)(4)【错因分析】上述求解错误的原因有以下两处：(1)对“平面”的概念不理解(2)混淆“平面”与“平面图形”两个概念【防范措施】对“平面”这个概念要从以下三个方面理解：(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)(2)“平面”无厚薄大小之分(3)“平面”无边界，可向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据【正解】(1)错误，平行四边形可表示平面，反之不成立(2)(3)错误，这与平面具有无限延展性相矛盾(4)正确【

13、答案】(4)来源:学科网1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想1下列说法：书桌面是平面；8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；有一个平面的长是100 m，宽是90 m；平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念其中正确的个数为()A0B1C2D3【解析】错误，

14、因为平面具有延展性；错误，平面无厚度；错误，因为平面无厚度、大小之分；正确，符合平面的概念【答案】B2已知直线m平面，Pm，Qm，则()AP，Q BP，QCP，Q DQ【解析】Qm，m平面，Q，但无法判断P与平面的关系【答案】D3(2013福州高一检测)下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面【解析】A错误，不共线的三点可以确定一个平面B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C错误，四边形不一定是平面图形D正确，两条相交直线可以确定一个平面【答案】D图2144已知ABC在平面外，直线ABP，直线ACR，直

15、线BCQ，如图214.求证：P，Q，R三点共线【证明】直线ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.则由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面的交线一、选择题1已知点A，直线a，平面，以下命题表达正确的个数是()Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.A0B1C2D3【解析】不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确“A”表述错误【答案】A2如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()【解析】依据的是空间图形的画法要求及平面的基本性质A不正确，因为

16、图中没有标出两平面的交线；B不正确，在空间图形中，被某一平面遮住的部分应画成虚线或不画；C不正确，因为图形要表示两个相交平面，而不是要画两个平面四边形的摆放情况两个相交平面必须相交于一条直线而不是一个点；D正确【答案】D3(2013邵阳高一检测)在下列三个判断：正确的个数为()两条相交的直线确定一个平面；两条平行的直线确定一个平面；一条直线和直线外一点确定一个平面A0 B1 C2 D3【解析】正确，如图a所示，l1l2P，分别在l1，l2上取点R，Q，则易知P、Q、R三点不共线，故三点必确定一个平面，故l1与l2必确定一个平面正确，如图b，在l1上任取一点P，在l2上任取两点Q，R，显然P，Q

17、，R三点不共线，故可确定一个平面，故正确，同理可证正确【答案】D4在三棱锥ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EFHGP，则点P()A一定在直线BD上B一定在直线AC上C在直线AC或BD上D不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】如图所示，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，PAC，故选B.【答案】B5空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确【答案】B二、填空题图

18、2156看图填空：(1)ACBD_；(2)平面AB1平面A1C1_；(3)平面A1C1CA平面AC_；(4)平面A1C1CA平面D1B1BD_；(5)平面A1C1平面AB1平面B1C_；(6)A1B1B1BB1C1_.【答案】(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B17经过空间任意三点可以作_个平面【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面【答案】一个或无数图2168如图216所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是_A、M、O三点共线；A、M、O、A1四点共面；A、O、

19、C、M四点共面；B、B1、O、M四点共面【解析】因为A、M、O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A、M、O三点共线，从而易知均正确【答案】三、解答题9如图217，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线图217【解】根据公理3，只要找到两平面的两个公共点即可如图，设A1C1B1D1O1.O1A1C1，A1C1平面ACC1A1，O1平面ACC1A1.又O1B1D1，B1D1平面AB1D1，O1平面AB1D1.O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点而点A显然也是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点连接AO1，根据公理3知AO1是平面

20、AB1D1与平面ACC1A1的交线图21810(2013临沂高一检测)如图218所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点【证明】(1)分别连接EF，A1B，D1C.E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.四边形A1D1CB是平行四边形，A1BCD1，从而EFCD1.由推论3，EF与CD1确定一个平面E，F，D1，C四点共面(2)如图所示，EF綊CD1，直线D1F和CE必相交，设D1FCEP，D1F平面AA1D1D，PD1F，P平面AA1D1D.又CE平面ABC

21、D，PEC，P平面ABCD.即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD，CE，D1F，DA三线共点11(探究创新题)定线段AB所在直线与定平面相交，P为直线AB外的任一点，且P，若直线AP、BP与分别交于A、B点求证：不论P在什么位置，直线AB必过一定点【证明】APBPP，AP、BP确定平面.又AAP，A，同理B.A，B，AB.设AB O.则O，O.OAB.即直线AB过定点O(AB与平面的交点)(教师用书独具)不共面的四点可以确定几个平面？【思路探究】【自主解答】设四点构成的集合为A，B，C，D当A、B、C、D四点不共面时，经过该四点的平面是不存在

22、的，但(A，B，C)，(B，C，D)，(C，D，A)，(A，B，D)各可以确定一个平面，所以空间不共面的四点可以确定四个平面公理2是判断或确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件，立足不共线的三点可以确定一个平面(1)三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？(2)共点的三条直线可以确定几个平面？【解】(1)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面(2)共点的三条直线可以确定1个或3个平面21.2空间中直线与直线之间的位置关系(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解空间中直线的三种位置关系，理解异面直线的概念，会用平面衬托来画异面直线(2)理解公理4及等角定理

23、(3)理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角2过程与方法(1)通过探索空间两直线位置关系的过程了解空间两直线的位置关系(2)通过对等角定理的温故知新的探究，解决异面直线所成的角(3)借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质3情感、态度与价值观进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质重点难点重点：异面直线的概念、异面直线所成的角及其求法，公理4的运用难点：异面直线概念的理解与求法重难点突破：以“思考”及学生身边的实例引出空间两直线的位置关系问题，在学生获得空间中两直线存在“既不相交，也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方体为载体引出异面

24、直线的概念，并以“共面”与“异面”及“有无公共点”为标准将空间两直线的位置关系分类以长方体为载体，通过“观察”引入公理4及等角定理，在此基础上完成异面直线所成角的求法的教学整个过程自然流畅，重难点突破过渡自然(教师用书独具)教学建议 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础同时，通过公理4及等角定理，借助画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法，要让学生在学习中认真体会把空间

25、问题平面化的思想方法因此本节课的内容其重要性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用鉴于本节知识的特点，教学时建议采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的教学方法，启发引导学生思考、探索、类比、归纳突出概念教学及理论体系的建构，培养学生的等价转化能力教学流程创设问题情境，引出问题：空间中直线与直线有几种位置关系？课标解读1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线(重点、难点)来源:2.理解平行公理(公理4)和等角定理(重点)来源:3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角(重点、易错点)空间中两条直线

26、的位置关系【问题导思】1同一平面内两条直线有几种位置关系？分别是什么关系？【提示】两种分别是平行关系和相交关系2观察长方体ABCDA1B1C1D1，线段A1D1所在的直线与线段BB1所在的直线在同一个平面内吗？它们是什么关系？【提示】不在同一个平面内，它们是异面关系空间中两条直线的位置关系位置关系平行公理【问题导思】在平面内，若ab，bc，则ac，该结论在空间中是否成立？【提示】成立平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac.等角定理【问题导思】1观察长方体A1B1C1D1ABCD，D1A1B1与B1C1D1的两边分

27、别具有什么关系，两角大小关系如何？【提示】D1A1B1与B1C1D1的两边分别平行，两角大小互补2观察长方体A1B1C1D1ABCD，D1A1B1与DAB的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？【提示】D1A1B1与DAB的两边分别平行，两角大小相等空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成的角【问题导思】在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？【提示】相等异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫

28、做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.空间两条直线位置关系的判定如图219，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：图219直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【思路探究】【自主解答】根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，

29、而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”同理，直线AB与直线B1C“异面”所以都应该填“异面”【答案】平行异面相交异面空间中判断两条直线位置关系的方法：(1)从是否有交点的角度：(2)从是否共面的角度：写出本例的长方体中所有与直线AB异面的棱所在的直线【解】长方体中与直线AB异面的棱所在的直线有：CC1，B1C1，DD1，A1D1.公理4与等角定理的应用图2110已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：DNMD1A1C1.【思路探究】(1)通过公理4进行转化；(2)用等角定理证明【自主解答

30、】(1)如图，连接AC，在ACD中，M、N分别是CD、AD的中点，MN是三角形的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又因为NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1.1应用公理4证明两条直线平行时，其关键是寻找第三条直线(如本例中直线AC)，只有具备两条直线均平行于这条直线时，这两条直线才相互平行2证明两个角相等，一般有三种途径：(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等如图

31、2111，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.图2111【证明】(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.求异面直线所成的角如图2112，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小图2112【思路探究】【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分

32、别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60.求两条异面直线所成角的步骤：(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成

33、的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角如图2113，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_；(2)AC和D1C1所成的角是_；(3)AC和B1D1所成的角是_；(4)AC和A1B所成的角是_图2113【解析】(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90.(2)D1C1DC，所以ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD45.(3)BDB1D1，BDAC，B1D1AC，即AC和B1D1所成的角是90.(4)A1BD1C，ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60.【答案】(1)90(2)45(3)90(4)60因忽略

34、异面直线所成的角的范围致误已知ABBC，BCCD，DEAE，DE綊BC，且ABBCCD，异面直线AB与CD成60角，求异面直线AD与BC所成的角图【错解】连接AE，BE(如图所示)DE綊BC，BCCD，BCCD，四边形BCDE为正方形图ABBC，ABBC，异面直线AB与CD成60角，ABE60，ABE是正三角形AEABBCDE，又DEAE，ADE是等腰直角三角形，ADE45，异面直线AD与BC所成的角的度数为45.【错因分析】错误的原因是漏掉了如图所示的情况，补齐即可【防范措施】异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角当已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角

35、时，依据等角定理两者可能相等或者互补，所以我们应当考虑两种情况【正解】同错解连接AE，BE(如图所示)DE綊BC，BCCD，BCCD，四边形BCDE是正方形图又ABBC，ABBC，异面直线AB与CD成60角，ABBE，ABE120.设AB1，则AE，又DEAE，在RtADE中，ADE60，即异面直线AD与BC所成的角的度数为60，综上所述，异面直线AD与BC所成的角的度数为60或45.1空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面，其中前两种是共面关系2平行公理描述了直线平行关系的传递性，这种传递关系不受平面、空间的限制，也不受直线条数的限制3求异面直线所成角的过程实质上是把空间问题平面化的

36、过程，其关键是利用平移的思想及“等角定理”作出异面直线所成的角1(2013临沂高一检测)若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A共面B平行C异面D平行或异面【解析】若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线【答案】D2一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】B3已知角的两边和角的两边分别平行且80，则_.【解析】由等

37、角定理可知，或180，100或80.【答案】80或1004在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角【解】如图，连接BD、A1D，ABCDA1B1C1D1是正方体，DD1綊BB1，四边形DBB1D1为平行四边形，BDB1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，A1BD是正三角形，A1BD60.A1BD是锐角，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，A1B与B1D1所成的角为60.一、选择题1分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面B平行C相交 D以上都有可能【解析】如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中直线AD1在平面AA1D1D

38、中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中但AD1BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1ABA.【答案】D2(2013郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQRS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线【答案】C3下面四种说法：若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是()A4B3 C2D1【解析】若a、b异面，b、

39、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对若ab，bc，则a、c平行、相交、异面均有可能，故不对正确【答案】D图21144(2013信阳高一检测)如图2114正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A30 B45C60 D90【解析】连接BC1、A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成角为60.【答案】C图21155(2013威海高一检测)如图2115，三棱柱ABCA1B

40、1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE，B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误综上所述，故选C.【答案】C二、填空题6直线a，b，c，d满足ab，bc

41、，cd，则a与d的位置关系是_【解析】ab，bc，cd，由公理4可知ad.【答案】平行7若ABAB，ACAC，则下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.一定成立的是_【解析】ABAB，ACAC，ACBACB或ACBACB180.【答案】8一个正方体纸盒展开后如图2116所示，在原正方体纸盒中有如下结论：图2116ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确结论的序号为_【解析】把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确【答案】三、解答题图21179如图2

42、117，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小【解】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1.则OGB1D，EFA1C1.于是GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.故异面直线DB1与EF所成的角为90.图211810如图2118，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且，求证：(1)当时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当时，四边形EFGH是梯形【证明】在ABD中，EHBD，且EH

43、BD.在CBD中，FGBD，且FGBD.于是EHFG.故顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内(1)当时，EHFG，故四边形EFGH为平行四边形；(2)当时，EHFG，故四边形EFGH是梯形图211911如图2119，ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值【解】(1)证明：AABBO，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)ABAB，ACAC且AB和AB、AC和AC方向相反，BACBAC.同理ABCABC，ACBACB，ABCABC且，()2.(教师用书独具)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1(底面为

44、正三角形且侧棱垂直于底面)中，若ABBB1，求AB1与C1B所成的角的大小【思路探究】本题可将异面直线平移，通过补形向几何体外延展【自主解答】延长AB到D，使BDAB，作DD1綊AA1，连接B1D1，BD1，C1D1，则AB綊B1D1，所以四边形AB1D1B为平行四边形，所以AB1BD1，故C1BD1即为异面直线AB1与C1B所成的角或补角易得BC1BD1BB1，C1D1BB1.因为BCBDC1D，所以C1BD190.故AB1与C1B所成的角是90.补形法求异面直线所成角的实质仍为平移，其特点是借助其中一条线段的端点，作另一条直线的平行线正方体ABCDA1B1C1D1 中，AB的中点为M，DD

45、1的中点为N，异面直线B1M与CN所成的角是()A30B90C45D60【解析】如图，取AA1的中点P，则PN綊AD綊BC，四边形BCNP为平行四边形，PBCN.设PBMB1E，则BEM为异面直线CN与B1M所成的角(或其补角)由APBBMB1可知PBAMB1B.BB1MBMB190，PBMBMB190.MEB90，即B1M与CN所成的角为90.【答案】B2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系21.4平面与平面之间的位置关系(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)正确理解空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学

46、态度2过程与方法(1)经历空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系及面面关系的基本方法(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力3情感、态度与价值观(1)在对空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值重点难点重点：空间直线与平面位置

47、关系及平面与平面之间的位置关系难点：空间直线与平面位置关系及平面与平面之间的位置关系的判断重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面及平面与平面之间的位置关系然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点(教师用书独具)教学建议 空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系是空间几何中两种重要的位置关系可以让学生通过直观感知及自主学习的方式，完成本节知识的学习，教师在此过程中适时引导和点拨，最后通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力，为今后进一步学习

48、空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系打下基础教学流程创设问题情境，引出问题：空间中直线与平面有几种位置关系？课标解读1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示(难点)直线和平面的位置关系【问题导思】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？【提示】三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公

49、共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示两个平面的位置关系【问题导思】观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？【提示】两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行空间两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0个两平面相交l无数个点(共线)直线与平面的位置关系下列说法：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中正确的个数为()A1B2C3D4【思路探究】结合直线与平面的位置关系的定义求解【自主解答】对于，直线l虽与平面内无数

50、条直线平行，但l有可能在平面内，l不一定平行于.故是错误的对于，直线a在平面外包括两种情况：a和a与相交，a和不一定平行故是错误的对于，直线ab，b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，a不一定平行于.故是错误的对于，ab，b，那么a或a，a可以与平面内的无数条直线平行故是正确的综上所述，正确的个数为1.【答案】A 1本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行2判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A内的所有直线均与a异面B内不存在与a平行的直线C内

51、直线均与a相交D直线a与平面有公共点【解析】由于直线a不平行于平面，则a在内或a与相交，故A错；当a时，在平面内存在与a平行的直线，故B错；因为内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确【答案】D平面与平面间的位置关系已知下列说法：若两个平面，a，b，则ab；若两个平面，a，b，则a与b是异面直线；若两个平面，a，b，则a与b一定不相交；若两个平面，a，b，则a与b平行或异面；若两个平面b，a，则a与一定相交其中正确的是_(将你认为正确的序号都填上)【思路探究】由平面间的位置关系逐一判断【自主解答】错a与b也可能异面；错a与b也可能平行；对，与无公共点又a，b，a与b无公共

52、点；对由已知及知：a与b无公共点，那么ab或a与b异面；错a与也可能平行【答案】两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行 B相交C平行或相交 D不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确【答案】C因思维不全面致误设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面()A有且只有一个B恰有两个C没有或只有一个 D有无数个【错解】如图，过P作a1a，b1b.a1b1P，过a1、b1有且只有一个平面故选A.【答案】A【防范措施】在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形，如本题在考虑上述情况的同时，还应注意直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行的情形【正解】(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，则过P与a，b都平行的平面不存在(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，如图所示，过P作a1a，b1b.a1b1P，过a1、b1有且只有一个平面【答案】C1空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)(2)2判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法1圆柱的两个底面的位置关系是()