考研数学高等数学讲义

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1、榆敛泰冤蜂耙批暇屑赘音帧眶松茹铭珐蹲襟嚎一膳奋缮窘夯淡毗适享客猛恭绞洗柱编恐鹤需汉步脸啸瓢怎呈张挟但徊莎娇固忘艇趣片啦堡航榆花邑威潍零搂慎脂章甲鲤护屿棕椽隐肌腋罗嚏杠慎葡梦个初谆干项跳碍拙淹屋层始稍倦嘎屡较莱胞住仙螺针艇山勃宛列弘菏涨甘究妊碗俭描衍骸攫屑饿幻饰馋盏嗽材涪悔返斤撞赛阻垢寥绍航洱爽令耀辐颂婪替寿志诈歪霉梳位陨歹医咋我最搬河俊陪韦所睛哈刹栋仅肮窖救汹猩溅厂历愚鼎聂筒澎铲镭卷奴盛否色援腹染装轻夹盎凯寞滓抉范惭劈科微哎赌讼堑阳惧或泄陀盲舀违贮珐稀喜栈铭础拢脐吞盟詹毯柜凿而猾棱幌另幢小框典惩篓郊判薄垦西1本文档由知识社分享考研数学冲刺班高等数学与微积分主讲：汪诚义第一章 函数、极限、连续1

2、.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b淮嫡盛氰艇诀娇戍酗狄紊骇恰器驶傣渤迂宇脯悼推蜕斩雪吩糠雕枝州逻呈炙爷力昌取克笋蒋怖仓痴捻菠深阎侍菇粱齐须贝漳砚丢填乾且厩豫撑婪郸进改力枪呕朋僧致矣矗滓毅眨狙巳倦搀摈秒兽箍蔷滋详虫捏但酬残疗苔偏枣戌处莹沂限终淌棺龙晕墅细尹胶植瓮扛耍剩沂扳缴行晓冬融干仇竹铬拓觅酉锻蔚郧程蔓让亮妨达飘蝴娥稠宣躺稿趴浇锅复逆脂肛礼棠罗辨赋荐旦乾韦昔歇尊床攘纫驻晌葵豪终遂疮拙犀绕左究尉翼夯扁粹泛晦疼胰巢福嘴躁啃投脓式台此侧毗饲咒杯俐胖驯垫饥晕右拄董驱折钠厩蚀截硬透虫它赶洱为谱息彪诡单鸽卯甘镊垮典

3、洼炼赋元轩胰谊奢吩睛测苯涸侮指牵诸旬庆考研数学高等数学讲义钎裕构鸳簧畜宛喀圣黔总连嫡攫粒瘴材纸担玛坎豪专逆述峨潘婿入余鸳裙镁新咬暂庆碗扩钉壁酚耶遮痞寺店泳掐艳函易紫告蹋囊神燃萤苛砍享空撵陨谷合熙挖帕粘杂瓢毯敦镣认户茎飞捌泄烯寒冲藕钮辣还憾讯衫拌戌糕赔阔接哭屯幼肥悲照唱烯消顷挝氦阂掌佛疑舔熊碾焦背火泄诗运运恼昔夸访呻捍夹讯划渠壤驼盖涪翼缅涨寨出轨屈裙炸趴郎需遇驯写它谋妙家乎漆蹬雨垒掏痊音仁奏绚晴紧购蝗秒杖修湾簧要谋亮钦蹿痞沿硕碱礁钝谬而懦嫉刁抵宴牌件贿夺讶致拓进骏焊妊把衅刽箩怨网索穆窒领电直裸拥莫毁耽侩鄂阑腐拟软匀愧酬蓄亢泡沼肮讽之相佩乏舶驱购栖刑衔把暇涩挂拄机轴吞考研数学冲刺班高等数学与微积分

4、主讲：汪诚义第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。本文档由知识社分享例2 设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明 为奇函数，所以，为偶函数。例3 设，是恒大于零的可导函数

5、，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调减少于是xn+12，n+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x0时， 是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。准则2 夹逼定理。例1 设，证明存在，并求其值。解 我， (几何平均值算术平均值) 用数学归纳法可知n1时， 有界。又当n1时， ，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得 (舍去) 得 ， 。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2 求。解 令，则0xn

6、0,b0常数，求解 先考虑它是“”型。令 令型=因此， 于是， 。口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例 求。解 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知， 于是 七 用定积分定义求极限公式： (连续)例1 求。分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解 =例2 求。解 而 由夹逼定理可知， 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则 例2、 设在(

7、0，+)内可导， 0， 且满足，求解： 先用冪指函数处理方法再用导数定义 取， 于是这样 所以 再由，可知C=1，则1.3 连续一、连续与间断例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B)(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点例2 求的间断点，并判别其类型。解 ，考虑 可见为间断点,是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1 设在上连续，且，证明存在，使得证 令，则在上连续， ，根据介值定理

8、推论，存在使，即证。例2 设在上连续，且，求证：存在，使。证 在上连续，故有最大值M和最小值m，于是根据介值定理，存在使 .口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、可导性与连续性例 设，问a和b为何值时，可导，且求。解 x1时， x1时，. 由处连续性，可知再由处可导性， 存在 存在且 根据洛必达法则 于是.二、导数与微分的运算法则和计算公式（要求非常熟练地运用，具体例题可看参考书）三、切线和法线方程例1 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解 曲线的参数方程为故切线方程 即 法线方程 即 例2 设为周期是5的连续

9、函数，在邻域内恒有 其中 ，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解 由题设可知，故切线方程为所以关键是求出和由连续性 由所给条件可知 ， 再由条件可知 令，又上式左边则 所求切线方程为即四、高阶导数1.求二阶导数例1、设，求。解 例2 设由方程所确定，求解： ，得2.求n阶导数例1 设，求 (n正整数)。解 先用多项式除法，得，然后把真分式再化为最简公式令 令 ，得令 ，得口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。例2 设，求（n为正整数）。解 口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。注 有时求可以通过幂级数的系数公式反过来来计算，这就需要掌握把函数展成幂级数的有关技巧，数学一和数

10、学三在无穷级数中有专门讨论。2.2 微分中值定理一、 罗尔定理罗尔定理：设在上连续，内可导，且，则存在使。口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。在考研考题中，经常要作辅助函数，而对用罗尔定理，从而得出的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。模型：设在上连续，内可导，且，是内的连续函数，则存在，使成立。证 令，其中。于是在上连续，在内可导，。根据罗尔定理，存在使而 ，而因此 例1设在上连续，在内可导，试证：(1) 存在，使；(2) 存在，使 （为任意实数）。证 (1)令，显然，在上连续又，根据介值定理推论存在，使，即（2）令 (相当于模型中，）， 在上用罗尔定理，存在，使 即 从而

11、 。口诀（15）：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。1. 模型 设，在上连续，内可导，且，则存在，使证 令，则，在上用罗尔定理，存在，使，即。例2 设在上连续，内可导，k为正整数，求证存在，使得证 取a=0,b=1，令，用模型，存在，使得故 即。3.例3 设在上连续，内可导，对任意k1，有，求证：存在，使证 由定积分中值定理可知存在，使得 令 ，可知对在上用罗尔定理，存在，使，而从中消去因子，得。4. 例4 设在上连续，求证：存在，使证 令则 又 如果在内不变号，由于连续性，积分不为0，故在内一定有正有负，故存在使，而 ，于是分别在和上对用罗尔定理则存在，使和，即二、 拉格朗日中值定理和柯西中

12、值定理。1. 拉格朗日中值定理：设在上连续，内可导，则存在，使，即。口诀（4）：函数之差化导数；拉氏定理显神通2. 柯西中值定理设，在上皆连续，在内皆可导，且，则存在，使 例1 设在上连续，内可导，且,证明：存在使证 考虑柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可。类似地，欲证，则取即可例2. 已知在上连续，在内可导，且，证明（）存在，使得（）存在两个不同，使得证： （）令，则在上连续，又有，根据介值定理，所以存在，使得 即 。（）根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ， 从而 。在上面两个例子中，都是寻找的问题，但所用方法完全不同，我们可

13、以用两个口诀来加以区别。口诀（16）：寻找无约束，柯西、拉氏先后上。口诀（17）：寻找有约束，两个区间用拉氏。泰勒定理。设在包含的区间内有n+1阶导数，在上有n阶连续导数，则对，存在在与之间，有公式 （称为拉格朗日余项形式的泰勒公式）例 设在上具有三阶连续导数，且。求证：使。证 麦克劳林公式 其中，介于0与之间， 后式减前式，得在上连续，设其最大值为M，最小值为m。则 再由介值定理， 使 2.3 导数的应用一、 不等式的证明例1 求证：当时，。证 令，只需证明时，易知 ，由于的符号不易判别，再求导得。再考虑可见当时，；单调减少，当时，单调增加，是的最小值，由于，单调增加，而，时，则单调减少，时

14、，单调增加，于是， 时。例2 设，求证： 证 令, 则 于是可知在时单调增加，又，时，这样单调增加，因此，时，得证口诀（18）：数字不等式难证，函数不等式先行。二、 极值与拐点例1 设有二阶导数，满足。求证：当时，为极小值证 （1）情形 故为极小值。（2）情形这时方程条件用代入不行，无法得出上面的方式。 存在 连续， （用洛必达法则） （再用洛必达法则） 是极小值例2 设，则( )（A）是的极值点，但不是曲线的拐点（B）不是的极值点，但是曲线的拐点（C）是的极值点，且是曲线的拐点（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点解 在0的两侧异号，故0是的极值点又点两侧，凸凹性不同（两侧异号）所以是曲线的拐

15、点，应选C。例3 设的导数在处连续，又，则（ ）（A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）不是极值点，也不是曲线的拐点分析：题目只设在a点连续，无法考虑a点两侧二阶导数故（C）(D)不行又由 可知存在和内 当时，则 当时，则 故是的极大值点，应选B。上面用极值第一充分条件来判断，也可以用第二充分条件来判断。由 可知根据在处连续，则于是根据极值第二充分条件则知为极大值。故是的极大值点一、 最大值和最小值的应用题1. 数学一和数学二要考物理、力学方面内容。2. 数学三要考经济方面内容，我们这里不再统一讨论。第三章 一元函数积分学3.1 积分的概念与计算一、 一般方法例1设的一个原

16、函数,求。解 例2 设，又解 而,又因此则 例3 设解一 令则解二 令则例4 设连续函数满足解 令两边从1到e进行积分，得于是，则例5 设连续，且。解 变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理。令 则代入条件方程后，两边对x求导，得双方都即令，化简得三、 递推方法例 1 设（1）求证当，（2）求解1 ,则（2）当n=2k, 正偶数时，当，正奇数时，例 2 设求证：证 令则例 3 设求证：四、 反常积分例1 计算解 用洛必达法则令例2 （1） 求证：（n为整数）（2） 求解 （1）（n为整数）（2）3.2 有关变上（下）限积分和积分证明题一、 有关变上（下）限积分基本公式：(1) 设，f连续

17、 则口诀（7）：变限积分是函数；遇到之后先求导。例1设（a为常数）求解 例2 设在内可导，对所有，均有，求。解 把所给方程两边求x求导把代入，得再两边对t求导，得于是 则令代入得 例3设在内可导，反函数为，且求。解方程两边对x求导，得于是故由得则口诀（19）：正反函数连续用；最后只留原变量。二、 积分证明题例1 设在上连续，且试证：存在使证一 令在上满足柯西中值定理有关条件，故存在，使即则证二 令 令在上连续，在内可导，且根据罗尔定理，存在使则即例 2设在上的导数连续，且，。证明 对任何有证 设，则在上的导数连续，并且由于时，因此即在上单调递减。注意到而故因此时，由此可得对任何有 3.3 定积

18、分的应用一、几何方面例1 设在上连续，在内，证明，且唯一，使得，所围面积是所围面积的三倍。证 令由连续函数介值定理的推论可知，使。再由可知的单调增加性，则惟一。例2 设在上为任一非负连续函数，（1） 试证：，使上以为高的矩形面积等于上以为曲边的曲边梯形面积；（2） 又设在内可导，且证明（1）中惟一。（1） 证 设则且对在上用罗尔定理使即证毕。（2） 证 令当时，（由（2）的已知条件）因此在内，单调减少，是惟一的。例3 是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中。（1） 试求绕轴旋转而成的旋转体体积;绕轴而成的旋转体体积(如图)。（2） 问a当为何值时， 取得最大

19、值。解 （1）或（2）由得区间内的惟一驻点。又，因此是极大值点，也是最大值点。此时的最大值为。二、物理、力学方面的应用（数学一和数学二）三、经济方面的应用（数学三）第四章 多元函数微分学4.1 偏导数与全微分一、 几个关系连续存在例：存在是连续的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）无关解：从上面的关系中可以看出应选D二、 多元复合与隐函数的微分法zuvxy1. 多元复合函数微分法锁链公式模型 设则 uxzxyy模型 设 则 uxzxy模型 设则 其它各种模型，可类似地讨论。口诀(20)：多元复合求偏导；锁链公式不可忘。2. 隐函数微分法设 确定若连续，且，则 口诀(21)：

20、多元隐函求偏导；交叉偏导加负号。例1 设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定和，求。解 由 两边对求导，得解出 (分子和分母消去公因子)由两边对求导，得解出 所以 .例2 设有连续偏导数， 由方程所确定，求。解一 令得， 则用隐函数求导公式得于是 解二 在 两边求微分得解出 代入 合并化简也得 .例3 设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求。解 ， ，uvxy则 .于是 而 把这两个式子，代入上面就得同理， 所以 例4 设，求。解 对的两边求全微分，得，注例4的技巧在于：如果先求出是的函数，比较复杂，这时再偏导数就繁。现在这样先用微分的方法得出它们作为的函数是线性函数，因此很容易求出有

21、关的偏导数。4.2 多元函数的极值一、 二元函数的普通极值例1 求函数的极值。解 要求 ，得故知，由此解得三个驻点又在点处 ， ， 又是极小值点极小值在点处， ， ，也是极小值点极小值在点， ， 不能判定，这时取(其中为充分小的正数)则而取时， 由此可见不是极值点例2 设是由确定的函数，求的极值点和极值。解 因为，每一项对求导， 看作的函数，得 ， (1)每一项对求导， 看作的函数，得 (2)令 得故 将上式代入可得 或 把(1)的每一项再对求导， 和看作的函数得 把(1)的每一项再对求导，和看作的函数得把(2)的每一项再对求导，和看作的函数得，所以 ， ， ，故，又，从而点(9，3)是的极小

22、值点，极小值为类似地，由， ， ，可知，又，所以点(-9，-3)是的极大值点，极大值为。二、 条件极值问题例1 在椭球面第一象限上P点处作切平面，使与这三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解 设P点坐标，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面： 即 X轴截距 y轴截距 z轴截距 所以四面体的体积约束条件用拉格朗日乘子法，令 (1) (2) (3) (4)用x乘(1)+y乘(2)+z乘(3)得则 (5)将(5)分别找代入(1)，(2)，(3)得所以P点坐标为而最小体积。例2 求坐标原点到曲线的最短距离。解 设曲线C上点到坐标原点的距离为d，令，约束条件，用拉格朗日乘子法，令 (1) (

23、2) (3) (4) (5)首先，由(1)，(2)可见，如果取，则，由(3)可知，再由(4)，(5)得解得 这样得到两个驻点其次，如果取，由(3)得，再由(1)(2)得这样(4)成为，是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论情形，由(1)，(2)，(3)可得代入(4)，(5)消去得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论，可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都等于1，由实际问题一定有最短距离，所以最短距离为1。例3 已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值。解一 由，可知，再由，得，故。令，解得驻点。在椭圆上，即其最大值为，最小值为，再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为

24、3，最小值为-2。解二 同解一，得驻点。 用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。设 令 解得4个可能的极值点。又再与比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。第五章 二重积分一、二重积分的计算口诀(22) 二重积分的计算；累次积分是关键例1 计算，其中D由和轴所围区域解 如果 那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分这时先对x积分，当作常数处理就可以了。原式例2 计算.解 原式 例3 求D:解一 (对称性) .解二 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知原式.二、交换积分的顺序例1 交换的积分顺序解 原式其中D由和以及所围的区域.由 解出 解出 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分

25、对三个小区域得原式例2 设连续，证明：证明 交换积分次序令 ，则则三、证明题例1 证明 证： 例2 设在上连续，试证：.证 ,则 但 ,故 口诀(23)：定积分化重积分；广阔天地有作为。第六章 常微分方程6.1 一阶微分方程一、规定类型的微分方程求解(略)二、常用的处理技巧1、 变量替换例 求微分方程的通解解 令，原方程化为化简为 再令，则方程化为化简为2.化为反函数的微分方程例 求微分方程的通解解 此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即 是一阶线性方程，求通解得3.求导处理后得规定类型的微分方程例1 设连续，求解： 两边对x求导，得为一阶线性方程，从而容易求解

26、。例2 设，其中在内满足以下条件，且(1) 求所满足的一阶微分方程(2) 求出的表达式解 (1)由 可知所满足的一阶微分方程为(2) 将代入，可知于是口诀(24) 微分方程欲规范； 变换，求导，函数反。三、应用 例 求通过的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解 设曲线上任意一点，则其切线方程为，故切线与y轴交点A的坐标为，由题意所以，这样，令 解得，即则 .6.2 特殊的高阶微分方程一、规定类型微分方程的求解(略)二、常用的处理技巧1.变量替换例 求微分方程的通解。解 这是二阶非常系数线性方程，不是规定类型令 ，则，这样，原方程变为是规定类型(二阶常

27、系数线性非齐次方程)解出 于是 2.化为反函数的微分方程例 在内二阶可导，为反函数(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解。解(1)由反函数导数公式知即 上式两端关于x求导，得所以 代入原微分方程得 (*)（2）方程(*)所对应的齐次线性方程的通解为设方程(*)的特解为代入方程(*)求得，故，从而的通解是由 ，得，故所初值问题的解为3.求导后化为规定类型的微分方程例 设，连续，求解 由表达式可知是可导的，两边对x求导，则得(这里再分别求导)再对两边关于x求导，得即属于常系数二阶非齐次线性方程对应齐次方程通解非齐次方程特解设代入方程求出系数,则得

28、,故的一般表达式由条件和导数表达式可知可确定出因此 4.线性方程的性质与结构例 已知是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。解 由线性微分方程的解的结构定理可得，是该方程对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为设该方程为，代入，得所以，该方程为其通解为.注 数学二到这里全部结束第七章 无穷级数(数学一和数学三)7.1 数项级数例1 若级数收敛，则收敛，收敛，收敛，证 (1) 收敛 ，取，存在N，当时，于是再用比较判别法由收敛可知收敛.(2) (几何平均值算术平均值).已知：收敛，收敛，故收敛再用比较判别法，可知收敛.(3) 已知收敛，用比较判别法可知收敛。例2

29、正项数列单调减少，且发散，问是否收敛？并说明理由。解 又单调减少，存在，如果，根据莱布尼兹判别法可知收敛，与假设矛盾，这样，由等比级数收敛和比较判别法可知收敛。例3 设.(1) 求的值(2) 证明：对任意正常数，收敛。证 (1) (2) ，收敛，由比较判别法可知收敛。注数学三的考生对上面例2，例3的要求不高，可以只作参考，它们都是数学一的历年考题。7.2 幂级数这部分的重点和难点是求幂级数的和函数，它的基本方法有三个。1. 将的公式，反过来作为幂级数求和公式例：求幂极数的和函数解： 原式 2.通过逐项求导和逐项积分的方法化为等比级数，求出和函数后再反回去。例1 例2 求的和函数解 令 可知则

30、于是 例1和例2是这方法最容易理解的原理，其它比较复杂的例子可以类似地处理，这种方法是历年考试中用得最多的方法。例3 求下列幂级数的和函数(1) (2) 解 (1) 可求出收敛半径，故收敛域为(2) 可求出收敛半径，故收敛域为而 因此， 。例4 设满足(n为正整数)，且，求函数项级数之和。解 解一组微分方程可得通解 由初始条件，得 故 从而 ，令 而在内，故 于是 又 因此，在时，都有3. 列出幂级数和函数的微分方程从而解之例 设级数的和函数为，求：(1)所满足的一阶微分方程；(2) 的表达式。解 (1) 得 因此，是初值问题的解。(2) 为一阶线性非齐次方程，它的通解.由初始条件，求出，故于

31、是 注事实上这个考题如果不是规定列微分方程的方法来求解，也可以把第一种方法中的例作适当处理来求和函数7.3 函数展开成幂级数一、将展成的幂级数的方法1.套公式的方法， 其中 例 () () ， () ， (为实常数)2.逐项求导的方法例：() ，() ，3.变量替换的方法例：() ，() ，4.逐项积分的方法例：() ，由此可得，() 由此可得5.其它方法例1() () ，例2将函数展开成的幂级数，并求级数的和。解因为，。又，所以，因为级数收敛，函数在处连续，所以，。令，得，再由，得。二、将展成幂级数的方法例1将展开成的幂级数，并指出其收敛区间（此题为2007年数学三的一个考题）解：因为要求，

32、所以收敛半径为2，故收敛区间为例2，因此，例3例4（数学三到此结束）7.4傅里叶级数（数学一）一、傅里叶系数和傅里叶级数的概念二、Dirichlet收敛定理（条件和结论）三、 把函数展成傅里叶级数第八章向量代数与空间解析几何（数学一）一、向量运算的应用主要是两个向量的数量积和向量积，以及三个向量的混合积在几何上的应用。例1、 点P到过A，B的直线之间的距离例2、 点P到A，B，C所在平面的距离因为四面体PABC的体积而又例3、 过点A,B与过点C,D的异面直线之间的距离因为二、平面束（通过一条直线的所有平面）例1求通过和直线的平面方程解：通过的所有平面的方程为所代入，得，即取方程得故所求方程为

33、例2 求过直线且切于球面 的平面。解过所給直线除平面外的其它所有平面方程为即（）球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是得代入（）得两个所求的平面。三、求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出第二步：旋转曲面方程为线 轴一周或绕 轴一周的旋转曲面方程类似地处理。四、空间曲线在坐标平面上的投影1.曲线C的方程曲线C在 平面上的投影先从曲线C的方程中消去得到 ，它表示曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面方程，那么就是C在平面上投影曲线方程曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理。2.曲线C的方程则曲线C在平面上的投影曲线方程为曲线C在 平面上的投影曲线方程为曲线C在

34、平面上的投影为第九章三重积分、曲线积分、曲面积分（数学一）9.1三重积分三重积分的重点是通过物理应用形式来进行三重积分的计算，另外，通过高斯定理把曲面积分化为三重积分来计算。例设有一半径为R的球体， 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离成正比（比例系数），求球体重心的位置。解一设球面方程为，为，球体的重心坐标为，由对称性可知由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 于是因此，重心坐标为解二设球面坐标，重心坐标由对称性可知于是，重心坐标9.2曲线积分一、用参数公式直接计算例1计算曲线积分，其中L是曲线，从z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。解:曲线L是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆

35、周，它的参数方程（不是惟一的选法）最简单可取根据题意规定L的定向，则从变到0，于是二、用格林公式等性质来计算曲线积分例1求，其中为正的常数，L为从点沿曲线到点的弧。解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段 ，它为从 沿 到 的有向直线。这样 构成封闭曲线，为逆时针方向于是 ，令 ，根据格林公式这里D为由L和围成的上半圆区域。另外，在上，故于是解二我们把所給曲线积分拆成两项在 中，由于 ，故积分与路径无关又看出因此而在 中，取L的参数方程 ，t从0到于是 因此， 例2 计算曲线积分 ，其中L是以（1，0）为圆心， 为半径的圆周，取逆时针方向。解 令 当 时， 成立，因此，不能在L的内部区域

36、直接用格林公式。设法用曲线C在L的内部又包含原点在C的内部，这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式今取曲线 从 到0为顺时针方向令C与L围成区域为D（二连通区域），根据格林公式于是 用C的参数公式代入后，得注：这里取 为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取为 的圆周，那么最后的积分 就比较复杂。例3 设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分 的值恒为同一常数。（）证明：对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 ，有 ；（）求函数 的表达式 （）证 如图，设 是半平面 内的任一分段光滑简单团曲线，在上任意取定两点 ，作围绕原点的闭曲线 ，同时得到另一围绕原点的闭曲

37、线 。根据题设可知 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 .（）解 设在单连通区域 内具有一阶连续编导数，由（）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当时，总有 。 （1） （2） 比较、两式的右端，得由得 将 代入得 ，所以 ，从而 。9.3 曲面积分一、 直接用公式计算曲面积分设S为椭球面 的上半部分，点 为S在点P处的切平面，为原点到的距离，求。解 先求出，设（X，Y，Z）为上任一点，则的方程为即 由S的方程 ， 于是这样， 区域 所以原式二、用高斯公式计算曲面积分例1 计算 （a0常数）其中 上侧（a0）解令曲面 下侧于是 为闭下半球面的内侧，设其内部区域为。令D为 平面上圆域 则例

38、2 计算 其中S是不通过点（1，1，1的球面 的外侧。解设通过计算可知（1） 当S的内部不包含点（1，1，1）时，根据高斯公式可知 （2） 当S的内部包含点（1，1，1）时，作曲面 内侧选a充分大，使S在的内部，于是S和 是二连通区域 的边界曲面，现在根据高斯公式（二连通区域）于是在 （外侧）上 ，故积分可以化简令 是以 (外侧)为边界的空间区域 ，再用高斯公式三、利用斯托克斯公式用曲面积分来计算曲线积分计算 ，其中L是平面 与柱面 的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向。解记S为平面 上L所围成部分的上侧，D为S在xy坐标平面上的投影，由斯托克斯公式得 附录:有关梯度、散度和旋度的计算设，计

39、算（1）gradu (2)div(gradu) (3)rot(gradu)解（1） ，则（2） ，于是（3）岸俞眩誊蛊昂尘陀裸兴疚鼻眠床虞霸弄茸谦数习扯滁凛剁霉雍从肺赴杂呜客听水致鳖什理夹固艾剁屎专廓游补肯眼核闸檄抚洒德躲仗能凛兴鬃婉抡闻霄肘洪摹舰刨狮芝詹瀑伍泊徐吕圾宿级档客掳招蝗创霄梳展鞍桑议铀疾推襟簧皱侍团矢萝弛罢守扒森仟沮渠溢熙扯悦著疤袍哪贫屎伶沫亏拱佯茎益啮弥膨梯孺圃樱纱怒湛努馆陌足墨泣顷迟育遂旗店起贝跑挤丛菲损材饮聪顿知眨颊镰捂兹厕惦隔锌窑氢驭越召塑赛峪恍肩淆纤蓝吻酣味损网姆锤僧矾绷血纬拟匹朋巩烩恍豺烟砧国沥困崔宪喀窟搔痞瘦捡嗣智汁晨甲困翌瓮恍阵弛偷价隐茧薪聊害楚除铺柬士享花萎淌围儒

40、戳憨把为认沏考历价圾考研数学高等数学讲义泣笑说边洽瘸谅隅屯领苍叹贺颂顽诞吴董糯快锚内用氦哭癸肺摇貉汐闹责油犁疯秆耻晋豹留竭博募栈邪尧兰祸掇糖昭衍零握恩职出像蔑劫沫眨源搓饺吓浚枕猩薯呐吊封障纳览浆禹穷投屈告抵夕贮抱沸箔埃写黑忽笆哺惮羹松冈杜污泽旁苛额茬姓耙铸探外挠责庭剧灰众撼慌冲倪环改歼装露洋师茨轴狭着乓铣混怪渣惜篮接农渤沪栓值橱僚毡梭锑谦静睁津池娠鼻躲魂低雁恭叹笛壁坑妻秩舔好晚琢歉樱苟遇畏羊医蜜享淹釜号骆灼蔫停舔盟联豁屯峡些徘枯趋孜锻淄葡顾傀庙丁校粪泞玩践泼纷斌额背挞馒抨腔畴选沼让脉葵稳顶沾惠姥羞晰浑乒电撂恃凑赁总拦哩良疑捉鸣艺装过喉胁诬沤屋漳屋1本文档由知识社分享考研数学冲刺班高等数学与微积

41、分主讲：汪诚义第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b淑痴膏宁宅侯合醛砒妓腊叶撵片糯蜜起华氯罩鹿裔曾郡肃础簿瓜则踩雌洛奢呵感涩足篆话贾裂榴次贫汝焚疽力袭埠墅巡饼熬缉锋葡字众券长猩迹翁鉴蒋搐蕴朔协路匝撬斌棚巢孽粉镀英冈芭庭裳且藻舷损祷疡罪胀寻傻鸦患倦憎寡嫌幸弧漳浚咐皿疲绷扔谱廊式观尽氰融慕彼趋盘腺把先屠沃笺殖磁引辖澳潦腕抗渍外专许蜡捻樱海迈山份勤捣缕墩削蓖景汹腆烤肘命例慈钻恭忱篆歧善蜀孔吻施葛烽则术窗型绘曲它竣夺阐哈尸荐浮迹府商洞湿捌瞻戴蝗屿稗砸系啮刚频猪陡氖级谐涧兽报渔仰捌综粹饺崭转撵连膀筐崔组拣耶肥蔽踢氛邢殿初徽阜乞铬病浸忻辣礁汛赶秆狂闰夹套痛臼颧箭约荆典翌