轨道不平顺分析的MATLAB程序及实习报告

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1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录第1章 绪论1 11 引言1 12 研究背景2 13 本文主要研究工作4第2章 轨道随机不平顺5 21 轨道不平顺及其形成原因5 22 轨道不平顺的分类6第3章 轨道不平顺功率谱分析9 31 轨道不平顺状态的评估方法9 311 局部不平顺幅值超限评分法9 312 轨道质量指数（简称TQI）评价方法9 313 局部不平顺幅值超限评分法与轨道质量指数评价法的比较 10 32 轨道谱研究概述 11 321 国外铁路轨道谱的研究情况 11 322 国内铁路轨道谱的研究情况 16 33 国内外轨道谱比较分析 21 331 普通线路轨道谱的比较 22 332 高速线路轨道谱

2、的比较 24 333 结论 27第4章 轨道谱估计 28 41 随机过程及其特征描述 28 411 随机过程 28 412 平稳随机过程 28 413 随机信号的相关函数 29 414 随机信号的功率谱 30 42 功率谱估计的各种方法 31 421 古典谱估计 31 422 最大熵谱估计36 423 谱估计方法的比较分析37 43 实测轨道谱与现有轨道谱的比较40 44 线路平顺性趋势分析41第5章 轨道不平顺数值模拟43 51 国内外常用的数值模拟方法43 511 白噪声滤波法及二次滤波法43 512 三角级数法44 52 逆傅氏变换法45 521 估计功率谱的Blackman-Turke

3、y（BT）法 46 522 逆傅氏变换法的计算步骤46 523 算例48结论与展望 50致谢 52参考文献 53附录 55专心-专注-专业第1章 绪论1.1 引言铁路轨道是一种特殊的结构物，它大多支承在密实度和弹性都很不均匀的道床和路基上，其工作条件十分复杂。在线路建设和机车运行过程中，钢轨将不可避免的产生左右、高低、方向、轨距等不平顺，不仅对列车运行的稳定性和舒适度产生不良影响，同时作为机车车辆/轨道系统的激扰源，将引起轮轨接触的动作用力，对设备造成破坏。国内外铁路运输系统的实践证明，即使轨道结构在强度方面完全满足要求，而当轨道的平顺性不良时，由轨道不平顺所引起的车辆振动和轮轨动作用力将随着

4、行车速度的提高而成倍的急剧增大，增加了列车脱轨的危险。反之，若轨道的平顺性满足要求，列车的振动和轮轨动作用力不大，行车的安全和平稳舒适度就能够得到保证，轨道和车辆部件的寿命、维修周期也较长。轨道的平顺性是线路方面制约行车速度的主要因素，是铁路管理的核心问题。我国目前铁路技术发展的目标是逐步实现客运高速、货运重载和行车高密度。铁路线路设备作为重要的基础设施，将面临快速和重载的双重压力。研究轨道不平顺，对于机车车辆、线路的设计，车/轨系统动力学研究以及轨道状态的科学评定都有重要意义。轨道不平顺的产生和发展是很多因素共同作用的结果。受载荷的随机性、路基的不均匀沉降、养护水平不同等因素影响。轨检车是测

5、量轨道几何形位的检测设备，用于检测轨道高低、轨向、水平、轨距等不平顺以及车体、轴箱的垂向及横向振动加速度、里程、速度、钢轨断面等参数，采用模拟数字混合处理方法，对检测信号进行预处理、解偏、修正补偿、超限值摘取、统计、评价、显示及存储。经轨检车检测并进行处理后所得到的轨道不平顺数据是里程的随机函数，应当作为随机过程来研究。随机过程不能用确定的数学函数关系来描述，只能考察其统计分布，用集平均的方式加以描述。在工程实际中，通常使用统计均值、自相关函数、功率谱密度函数等来描述轨道不平顺的统计特征和频域结构。本文中着重采用轨道功率谱密度来描述轨道不平顺的幅值相对于空间频率的分布特征，这样得到函数图形就称

6、为轨道谱图。如上所述，轨道不平顺是一个随机过程，它可从实测数据选取某段采用，也可以根据已知功率谱密度函数的拟合公式进行数值模拟，这种从频域向时域转换的方法在求解车辆-轨道系统随机振动响应时十分有用。目前国内外常用的轨道不平顺数值模拟方法主要有二次滤波法、三角级数法、白噪声法以及逆傅氏变换法。本文在数值模拟方面也作了不少工作，利用文献1中提出的逆傅氏变换法对美国六级线路谱做了数值模拟，再通过模拟谱线与解析谱线的比较，再次验证了该方法的正确性和可靠性。1.2 研究背景本文对轨道不平顺采样信号进行的谱分析和数值分析，均将轨道不平顺信号视作均匀平稳的随机信号，而且可以证明这一假设是合理的，所得到的分析

7、结果精度是足够的。轨道不平顺的统计特征只能依靠线路实地测量获得。英国铁路于1964年就开始了这项测试工作，是世界上开展这一研究最早的国家之一。目前，英国、日本、德国、美国、俄罗斯、印度、捷克等国家都测定了各自的轨道不平顺的谱密度和相关函数。我国也在这方面做了不少研究工作。1982年铁道科学研究院罗林等讨论了各种轨道不平顺的测量方法，用“惯性基准法”测量了轨道随机不平顺，并对大量轨检车实测的不平顺数据进行了分析处理，列举了平稳轨道不平顺的样本记录功率谱密度。1985年原长沙铁道学院随机振动研究室将轨道不平顺分为弹性和几何不平顺，对先后三次用地面测量方法在京广线测定的轨道不平顺进行分析处理得到了各

8、种不平顺谱，并且统计了我国级干线轨道不平顺功率谱密度的解析表达式。但是应该认识到，两单位早期研究中所获得的轨道谱分辨率精度都不高，尤其是样本数据太少（当时长沙铁道学院测取的数据仅数百米，铁道科学研究院测取的数据也只有数十公里），所以都不足以代表我国铁路轨道不平顺的统计特征。有鉴于此，20世纪90年代末，铁道科学研究院对我国轨道不平顺进行了深入细致的研究，在我国东南西北各主要干线约四万公里轨检车检测数据和部分地面测量数据的基础上，经筛选、分类处理、统计分析，提出了我国主要干线高低、水平、轨向三种轨道不平顺和部分轨道长波长不平顺的功率谱密度，其中包括重载线、提速线、准高速线、高速试验线、不同轨道结

9、构以及特大桥梁等各种情况下的轨道不平顺功率谱密度2。国际上对采样信号进行谱分析的研究始于18世纪，英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。19世纪末，Schuster提出用傅立叶系数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。周

10、期图法较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列，Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法参数模型法谱估计的基础。Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出了Yule-Walker方程，可以说Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener-Khintchine定理，该定理把功率谱密度定义为

11、频率的连续函数，而不再像以前定义为离散的谐波频率的函数。1949年，Turkey 根据Wiener-Khintchine定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法。即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数求傅立叶变换，从而得到谱的估计。1958年，Blackman（二阶升余弦窗的提出者）和Turkey在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计方法，所以经典谱估计的自相关法又叫BT（Blackman-Turkey）法。周期图法和自相关法是经典谱估计的两个基本方法。1948年，Bartlett首次提出了用自回归模型系数计算功率谱，自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toepl

12、itz矩阵结构，Levinson曾根据该矩阵的特点于1947年提出了解Yule-Walker方程的快速解法，这些都为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。1965年，Cooley和Tuekey提出的FFT算法，也促进了谱估计的迅速发展。现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图法和自相关法）分辨率低和方差性能不好的问题。1967年，Burg提出的最大熵谱估计，就是朝着高分辨率谱估计所作的最有意义的努力3。对于轨道随机不平顺的数值模拟，国内外学者也作了大量的研究，现在国内外常用的数值模拟方法主要有二次滤波法、三角级数法、白噪声滤波法和逆傅氏变换法1，46，其中，逆傅氏变换法通用性强，数据处理速

13、度快，精度较高，是一种简单实用的方法。其它几种方法在不同程度上都存在问题，要么通用性差，要么处理速度慢，要么精度差，因此本文中运用逆傅氏变换法进行数值模拟，以便快速准确的得到结果。1.3 本文主要研究工作1、简要分析了轨道不平顺的形成原因和影响因素，介绍了轨道不平顺的分类。在不失一般性的前提下，将轨道不平顺视为平稳的各态历经随机过程，明确了研究对象的数学模型是随机过程均匀平稳采样信号。2、分析比较了几种评价轨道状况的方法，提出建立轨道的功率密度谱才能最有效的反映轨道状况。针对我国三大干线和郑武线高速试验段轨道谱、美国五、六级线路谱和德国高、低干扰轨道谱，利用MATLAB绘制各种轨道谱的谱线并分

14、析比较它们之间的差异，得到了我国轨道谱的优劣与适用条件。3、根据已有的轨道不平顺实际检测数据（京广线K80K90区间下行线左钢轨高低不平顺检测数据（已作预处理），运用多种功率谱估计方法，利用MATLAB编程计算，得到相应的轨道不平顺功率谱密度曲线，即轨道谱图,并对这几种谱估计方法进行分析比较，得到各种谱估计方法的优劣。4、针对上述轨道谱图，综合线路实际条件，分析了该路段轨道不平顺的发展变化趋势，提出了一些具有针对性的养护维修意见。5、基于美国六级线路谱，利用MATLAB编程实现轨道随机不平顺时域样本的数值模拟（逆傅氏变换法），得到轨道不平顺时域的随机样本，再将时域样本反衍，与功率谱的解析解比较

15、，验证该方法的正确性和可靠性。第2章 轨道随机不平顺2.1 轨道不平顺及其形成原因铁路轨道由于列车车轮的作用，轨面会产生不均匀磨耗，轨头会被磨伤，在无缝线路时存在焊接接头，在列车和环境温度载荷作用下，轨道的几何形状会发生恶化，使轨道不再处于平顺状态。在线路的平直区段，钢轨并不是呈理想的平直状态，两根钢轨在高低和左右方向上相对于理想的平直轨道呈某种波状变化而产生偏差，这种几何参数的偏差就称为轨道的不平顺。轨道在没有车轮载荷作用时所呈现的不平顺称为静态不平顺；车辆沿轨道运行时，轨道在车轮载荷作用下沿长度方向每点呈现不均匀的弹性下沉，由此形成的不平顺称为动态不平顺。图2-1 轨道不平顺的状态轨道不平

16、顺是轮轨系统的激扰源，是引起机车车辆产生振动和轮轨动作用力的主要原因，对行车安全、平稳、舒适性、车辆和轨道部件的寿命以及环境噪声等都有重要影响。在快速高速、重载行车条件下，轨道不平顺对行车的影响更大，是轨道方面直接限制提高行车速度的主要因素。轨道平顺性也是轨道结构综合性能和承载能力的重要体现。轨道不平顺还是机车车辆动力学设计，确定悬挂减震参数不可缺少的主要输入函数，为了研究轮轨相互作用，研究车辆、轨道动力学性能，进行动力学试验、计算机仿真，都需要深入研究轨道不平顺。轨道不平顺的形成和发展是诸多具有随机性的因素共同作用的结果，这些因素包括：钢轨的初始平直性，钢轨磨耗、损伤，钢轨间距不均、质量不一

17、，线路施工高程偏差，道床的级配和强度不均、松动、脏污、板结、路基下沉不均匀、刚度变化，道床、路基的不均匀残余变形积累，机车车辆时刻变化的动力作用，以及雨雪、气温、地震等自然环境因素，它们综合作用，造成了轨道不平顺的随机特性。实际运营中的轨道不平顺都是经常变化的，显得很不规则。通常不同位置的轨道不平顺幅值和波长都各不相同。所以轨道不平顺波形不能用单一的简谐、三角、指数或抛物线等规则的波形来描述，可以看作是由许多无法预知的不同频率、不同幅值、不同相位的简谐波叠加而成的复杂的随机波。从本质上讲，轨道不平顺是一个随机过程，是里程位置的随机函数，任一特定区段的轨道不平顺可看成随机过程的一个样本。轨道不平

18、顺的随机性特征决定了轨道不平顺的描述不能用一个明确的数学表达式来表示，而只能用随机振动理论中描述随机数据的“均方差”、“方差”和“功率谱密度函数”等统计函数来表达轨道不平顺的特征，从时域、频域对轨道不平顺的幅值特征、波长结构以及是否包含周期性波形等作全面的描述。此外，对于轨道不平顺的局部特征，可以用幅值、半波长、四分之一波长变化率以及平均变化率等参量来表述7。图2-2 轨道不平顺实测波形（高低不平顺）2.2 轨道不平顺分类轨道几何不平顺主要可以分为以下五种8：1、轨道高低不平顺轨道高低变化是垂直方向的不平顺，是指钢轨表面在同一轮载作用下形成的沿长度方向的高低不平，是由于轨面不均匀的磨耗、低接头

19、、弹性垫层和轨枕、道床、路基的弹性不均、各扣件和部件间的扣紧程度和间隙不等、轨枕底部有暗坑、道床和路基的永久变形等原因所造成的。轨道高低不平顺如图2-3中所示。图2-3 轨道高低不平顺轨道高低不平顺是引起机车车辆竖向振动，使轮轨间产生巨大惯性力的主要因素。研究表明：波长大的不平顺对车体振动的影响较大，幅值及幅值相应的平均变化率较大也是大的不平顺，会引起车体强烈振动。波长较短或变化率较大的高低不平顺使轮轨间产生激烈的冲击，引起极大的相互作用和很大的簧下加速度。高低不平顺的数值以左右轨高低不平顺平均值来表示：。2、轨道水平不平顺轨道水平不平顺是指左右轨对应点的高差所形成的沿长度方向的不平顺，是由轨

20、道高低不平顺所派生的，是使机车车辆产生侧滚的主要原因。当水平不平顺幅值较大，并接连不断，频率与车辆侧滚的自振频率相近时，车辆将产生较大的左右倾斜振动，使车轮一侧轮载增大，另一侧减小，形成脱轨条件，影响行车安全。轨道水平不平顺如图2-4中所示。水平不平顺的数值以两股钢轨顶面水平偏差沿轨道方向的变化率来表示：。3、轨道轨距不平顺轨距不平顺是指左右两根钢轨的轨距沿长度方向上的偏差，轨距不平顺对轮轨磨耗和车辆运行稳定性和安全性影响较大，轨距过大还会引起掉道。轨距不平顺如图2-4中所示。轨距不平顺的数值用实际轨距与名义轨距之差来表示：。图2-4 轨道水平不平顺和轨距不平顺4、轨道方向不平顺轨道方向不平顺

21、是指左右两根钢轨沿长度方向在横向水平面内呈现的弯曲不直，是由轨道铺设时的原始弯曲、养护和运用中积累的轨道横向弯曲变形等原因造成的。方向不平顺会引起机车车辆的横移-侧滚振动，使得轮对产生很大的横向水平力和侧滚力矩（尤其是强制机车车辆轮对的蛇形运动），对于车辆，很大的横向水平力容易造成脱轨系数超过允许值而导致脱轨。轨道方向不平顺如图2-5中所示。图2-5 轨道方向不平顺轨道方向不平顺的数值以实际轨道中心线相对于理论中心线的偏差来表示：。5、三角坑不平顺三角坑不平顺是指轨道一定间隔的水平不平顺的变化量，它是轨道在平面上的扭曲状态。存在三角坑的地方，不仅车辆摇晃严重，而且会出现所谓三轮支撑、一轮悬空（

22、或大大减载）容易出轨的危险状态。第3章 轨道不平顺功率谱分析3.1 轨道不平顺状态的评估方法测得各种轨道不平顺的数据后，需对轨道平顺状态进行科学评价，诊断不平顺的严重程度，以确定列车运行的速度限值和指导维修、养护等工务作业。评定诊断轨道平顺状态好坏和恶化程度的依据，是轨道不平顺对机车车辆响应的影响和经验。我国对轨道不平顺状态的评价方法主要采用局部不平顺幅值超限评分法7(即峰值扣分法)和轨道质量指数法7两种。3.1.1 局部不平顺幅值超限评分法局部不平顺幅值超限评分法从轨道几何尺寸指标、动力学指标的角度出发，根据轨道局部不平顺超限等级，以一公里为单位计算总扣分的方式来评价轨道的质量。检查评定项目

23、包括轨距、水平、高低、轨向、三角坑、车体垂向振动加速度和横向振动加速度共七项。局部不平顺幅值超限评分法把轨道动态几何尺寸允许偏差管理值按线路允许速度分为四级：I级为保养标准，每处扣1分；II级为舒适度标准，每处扣5分；III级为临时补修标准，每处扣100分；级为限速标准，每处扣301分。每公里扣分总数按下式计算： (3-1)式中，为每公里扣分数；为各级扣分数，即一级、二级、三级、四级扣分分别为1分、5分、100分和301分；为各项的权系数，目前均取值为1；为各项不平顺各级偏差的个数，。按上式计算结果，按每公里总的扣分数的多少，把轨道质量状态分为如下三种：A 优良：分；B 合格：分；C 失格：分

24、。3.1.2 轨道质量指数（简称TQI）评价方法铁道建筑在1994年以讲座的形式连续刊出了四篇文章，分别介绍了TQI在国外铁路中的应用概况、TQI的基本概念及计算机处理技术、TQI数据库管理软件的开发、TQI在济南铁路局线路维修工作中的实践和效果。这些成果为TQI技术在我国铁路中的应用打下了坚实的基础。此后，铁路相关科技人员在实践中又不断探索，总结TQI在我国干线中的应用情况，从检测数据的可靠性、TQI在工程中的应用等方面都提出了有益的研究成果，完善了我国铁路轨道状态的管理方法。TQI从统计学（离散性），物理学（轨道质量均衡性）的角度（相对峰值扣分法）反映轨道状态的恶化程度，是衡量轨道区段整体

25、质量状态的综合指标，可以作为工务部门编制轨道维修、养护计划，指导作业的依据，是对轨道质量状态进行宏观管理和质量控制的重要手段。以200m轨道区段作为单元区段，分别计算单元区段内左、右高低、左、右轨向、轨距、水平、三角坑七项几何参数的标准差。各单项几何不平顺幅值的标准差称为单项指数，七个单项指数之和作为评价该单元区段轨道平顺性综合质量状态的轨道质量指数。其计算公式为： (3-2)式中，为单项几何参数标准差，；为单元区段中采样点的个数，200m单元区段中点；为各项参数在单元区段中采样点的幅值，点；为各项参数在单元区段中连续点幅值的平均值。3.1.3 局部不平顺幅值超限评分法与轨道质量指数评价法的比

26、较局部不平顺幅值超限评分法能够找出轨道的局部病害及病害的类型、程度和所在位置，作为指导现场紧急补修非常实用，但仅用超限点峰值的大小、超限的数量及扣分多少，不能全面地评价轨道区段的质量状态，比如不能反映周期性不平顺所产生的谐波的影响。轨道质量指数评价法能够判别轨道质量的均衡性，能做出更为符合实际情况的评价。但是这两种方法都是从轨道不平顺幅值的角度出发来评价轨道平顺状态的，因此都具有一些局限性。而轨道不平顺的功率谱密度能清楚地表明某一段轨道不平顺所包含的波长成份及各波长成分的均方值密度，能够提供轨道不平顺幅值和波长两方面的信息，可以对利用局部不平顺幅值超限评分法和轨道质量指数评价法对轨道平顺性进行

27、评定时做出有益的补充。在我国，许多科技人员已经做了大量工作，但是还没有形成较为通用的轨道谱，铁路平顺状态的评定和管理应用中，轨道谱的应用也十分有限。鉴于此，本文针对轨道谱做了进一步深入的研究，下面简单介绍轨道谱的研究概况。3.2 轨道谱研究概述3.2.1 国外铁路轨道谱的研究情况轨道随机不平顺的统计特征只能依靠线路实地测量获得。自二十世纪60年代中期以来，国外很多国家已开始了实地测试工作，对轨道不平顺的功率谱进行研究。迄今为止，国外轨道谱的研究已经相当完善，极具参考价值。下面简单介绍国外比较典型的轨道不平顺功率谱密度2。3.2.1.1 美国轨道不平顺轨道谱美国运输部联邦铁路总署（FRA）制定的

28、铁路安全法规（安全标准）将美国铁路按平顺状态的安全限度和相应的允许速度分为六个等级（98年又增补三个高速等级变为9个等级），并公布了六个等级线路轨道不平顺的功率谱密度，其拟合曲线函数表达式如下（单位：）：高低不平顺： (3-3)轨向不平顺： (3-4)水平不平顺和轨距不平顺具有相同的谱密度表达式： (3-5)式中，为轨道不平顺功率谱密度；为轨道不平顺的空间频率；、是粗糙度常数；、是截断频率；是安全系数，可根据要求在0.251.0之间选取，一般取为0.25。上述各式中的诸参数值见表3-1，可见，由于参数值的不同，不同等级线路的同一名称的谱密度曲线也是不同的。表中还同时列出了根据安全标准制定的不同

29、等级线路所允许的车辆最高运行速度。表3-1 美国轨道谱的参数值参数线路等级一级二级三级四级五级六级1.21071.01810.68160.53760.20950.03393.36341.21070.41280.30270.07620.03390.60460.93080.85201.13120.82090.43800.82450.82450.82450.82450.82450.8245允许最高速度/（km/h）货车16406496128176客车244896128144176美国六个级别线路的功率谱密度（PSD）是在约7万英里的各级线路状态数据库中，每级选取5-10个区段的轨道不平顺检测数据，经

30、计算统计分析得出的。这些区段每个长8-16公里，广泛分布在整个美国，并反映了各铁路公司轨道运营情况和养修状态。图3-1、3-2、3-3为根据美国轨道谱公式(3-3)、(3-4)和(3-5)，经过单位变换（横坐标均变成波长/，纵坐标为功率谱密度/），利用MATLAB编程绘出美国六级线路谱，分别为高低、方向和水平和轨距不平顺。（具体程序详见附录1）图3-1 美国六级高低不平顺轨道谱图3-2 美国六级方向不平顺轨道谱图3-3 美国六级水平及轨距不平顺轨道谱3.2.1.2 德国轨道不平顺轨道谱20世纪80年代初，德国在进行高速列车理论研究时采用了式(3-6)、(3-7)和(3-8)的轨道谱分析式：高低

31、不平顺： (3-6)轨向不平顺： (3-7)水平不平顺： (3-8)这里，高低、方向不平顺功率谱密度、的单位为；水平不平顺由于采用倾角度量，因而其功率谱密度的单位为；为轨道不平顺的空间频率；、是截断频率；、是粗糙度常数；为左右滚动圆距离之半,一般可取0.75。德国不平顺轨道谱没有给出轨距不平顺的功率谱密度表达式，但规定轨距不平顺在-33范围内变化。一般轨距不平顺与水平不平顺具有相同的功率谱密度表达式，据此，文献2提议了一种轨距不平顺功率谱密度的表达式： (3-9)低干扰水平系数、高干扰水平系数和截断频率见表3-2，其中是基于轨距不平顺在-3-3范围内变化时经试算得出的参考值。表3-2 德国轨道

32、谱粗糙度系数及截断频率轨道级别低干扰高干扰图3-4、3-5、3-6为根据德国轨道谱公式(3-6)、(3-7)和(3-8)，经过单位变换（横坐标均变成波长/，纵坐标为功率谱密度/），利用MATLAB编程绘出的德国低干扰线路谱，分别为高低、方向和水平不平顺谱。（具体程序见附录1）图3-4 德国低干扰高低不平顺轨道谱图3-5 德国低干扰方向不平顺轨道谱图3-6 德国低干扰水平不平顺轨道谱3.2.2 国内铁路轨道谱的研究情况我国对轨道不平顺功率谱密度的应用较晚，但研究工作起步较早，6070年代长沙铁道学院、铁道科学院就已用地面检测和轨检车检测等不同方法获得了数百米和数十公里高低、水平、轨向不平顺的轨道

33、谱。此后，很多铁路科技人员对轨道谱展开了深入的研究，取得了一些重要成果，下面简单加以概述2。3.2.2.1 长沙铁道学院随机振动研究室建议的轨道谱长沙铁道学院等单位分别于1965年9月、79年10月、82年11月，用地面测量法先后三次在京广线上对轨道不平顺进行了实测，并用傅氏变换法和最大熵谱估计法，求得了京广线郑州五里堡区间（普通线路），京广线猴子石长沙南站（普通线路），京广线桃林一范家园（无缝线路）三段约数百米的轨道无轮载作用时，和轮载作用下高低、轨向、水平、轨距四种不平顺的功率谱密度，建议使用的一级铁路干线的轨道不平顺功率谱密度的表达式如下：轨道高低不平顺： (3-10)轨道方向不平顺：

34、(3-11)轨道水平不平顺： (3-12)轨道轨距不平顺： (3-13)以上各式中，轨道不平顺功率谱密度的单位为；是空间频率。3.2.2.2 铁道科学研究院建议的轨道谱1999年7月铁道科学院完成的铁道部重点课题“我国干线轨道不平顺功率谱”，对轨道谱的数据采集、处理、计算、分析进行了较全面深入地研究，提出了我国主要干线和不同轨道结构、质量状态以及曲线、桥梁、焊缝等特殊地段的轨道谱，轨道高低、水平、轨向不平顺功率谱密度采用系数不同的同一解析式表达： (3-14)式中，为轨道不平顺功率谱，为空间频率，为轨道不平顺功率谱密度的特征系数，对不同线路和不同类型的轨道不平顺有不同的数值。表3-3和表3-4

35、分别给出了我国京哈、京广、京沪三大提速干线和钢轨超长无缝线路轨道的特征参数，后者实质上是基于1998年郑武（郑州武昌）线以上高速试验段轨道状态的测试结果而拟合得出的，因而也可称之为郑武线高速试验段轨道谱。表3-3 我国京沪、京广、京哈三大干线轨道谱的特征参数参数ABCDEFG左轨高低1.1029-1.47090.59410.84803.8016-0.25000.0112右轨高低0.8581-1.46070.58480.04072.8428-0.19890.0094左轨轨向0.2244-1.57460.6683-2.14661.7665-0.15060.0052右轨轨向0.3743-1.5894

36、0.72650.43530.9101-0.02700.0031水平0.1214-2.16032.02144.50892.2227-0.03960.0073注：测量时三大干线提速目标为。图3-7、3-8、3-9为根据铁科院轨道谱公式(3-14)，经过单位变换（横坐标均变成波长/，纵坐标为功率谱密度/），利用MATLAB编程绘出中国三大干线谱，分别为高低、方向和水平不平顺，谱线均用左轨参数作出。（具体程序详见附录1）图3-7 三大干线左轨高低不平顺轨道谱图3-8 三大干线左轨轨向不平顺轨道谱图3-9 三大干线水平不平顺轨道谱表3-4 郑武线高速试验段轨道谱的特征参数参数ABCDEFG左轨高低0.1

37、270-2.15311.55034.98351.3891-0.03270.0018右轨高低0.3326-1.37570.54972.49070.40570.0858-0.0014左轨轨向0.0627-1.18400.67732.1237-0.08470.0340-0.0005右轨轨向0.1595-1.38530.66712.33310.25610.0928-0.0016水平0.3328-1.35110.54151.84370.38130.2068-0.0003注：试验段最高试验速度达到。图3-10、3-11、3-12为根据铁科院轨道谱公式(3-14)，经过单位变换（横坐标均变成波长/，纵坐标为

38、功率谱密度/），利用MATLAB编程绘出的郑武线高速试验段轨道谱，分别为高低、方向和水平不平顺。（具体程序详见附录1）图3-10 郑武线高速试验段左轨高低不平顺轨道谱图3-11 郑武线高速试验段左轨轨向不平顺轨道谱图3-12 郑武线高速试验段水平不平顺轨道谱3.2.2.3 轨道短波不平顺功率谱以上的轨道不平顺功率谱的波长范围都在几米到几十米范围内，所以它们一般只能满足机车车辆和桥梁结构的低频随机振动分析，无法满足轨道结构随机振动研究的需要，因为簧下质量和轨下结构的振动主频可达数百到数千赫兹。为此，1988年铁科院王澜在博士论文中对我国石太（石家庄太原）线的轨道垂向短波不平顺进行了实测，测量方法

39、是采用地面测量方式，用Colmar钢轨磨耗测量仪进行测量，经回归分析，提出了我国钢轨线路垂向短波不平顺的功率谱密度函数的表达式，其波长范围为0.011，即 (3-15)式中，的单位为；是空间频率。3.3 国内外轨道谱比较分析由于我国至今没有轨道谱标准，3.2.2节介绍了根据实测轨道几何参数得出的我国几种轨道谱的研究结果，其中最具代表性的当属京沪、京广、京哈三大干线轨道谱和郑武线高速试验段轨道谱。然而，尚不清楚它们的基本特征是什么？与国外典型轨道谱有何差异？为了便于我们在动力学分析中正确选取轨道随机不平顺激扰，有必要探明这些问题。3.3.1 普通线路轨道谱的比较首先比较常规速度运行条件下的轨道谱

40、。我国普通线路以京沪、京广、京哈三大提速干线为例，其轨道谱适用于以下速度；国外普通线路轨道谱选取美国AAR标准五级线路谱（适用于以下速度）及六级线路谱（适用于以下速度）。为了方便比较，必须先将它们换算成同一单位（此处均换算成波长功率谱密度），对于公式(3-3)、(3-4)的美国谱和公式(3-14)的中国干线谱换算过程如下：设空间波长为，则，根据能量守恒有，则可得：对于美国谱：高低不平顺： (3-16)方向不平顺： (3-17)由此可得、的单位为。对于三大干线谱： (3-18)由于根据上式无法推倒出的单位，故利用，由的单位可得到的单位为。经过单位换算后，在MATLAB中编写程序可以得到以下普通线

41、路轨道谱比较图：（具体程序详见附录1）图3-13 普通线路轨道高低不平顺功率谱密度图3-14 普通线路轨道方向不平顺功率谱密度图3-13、3-14分别给出了130波长范围内（当时我国轨检车仅能测量130波长范围），美国五、六级线路谱和中国三大干线谱的高低不平顺功率谱密度的对比结果和方向不平顺功率谱密度的对比结果。由图3-13可见，我国三大干线轨道谱的高低不平顺总体上介于美国五级谱和六级谱之间。具体比较结果发现：在125波长范围内，中国三大干线轨道谱高低不平顺数值小于美国五级谱而大于美国六级谱；在2530波长范围内，我国三大干线谱还略优于美国六级谱。由于长波不平顺主要影响车辆运行平稳性，短波不平

42、顺对轮轨动力作用有重要影响，由此可推知，在我国三大干线谱激扰下，中低速列车垂向平稳性要优于美国五级谱下的舒适度，但较美国六级谱的舒适度要差。由图3-14可以看出，我国三大干线轨道谱的方向不平顺总体大于美国五级谱和六级谱数值，这表明线路方向几何状态较差。具体比较结果如下：与美国六级谱相比，在125波长范围内，我国三大干线谱密度值明显较大，而在25以上的少许波长下，三大干线谱密度值要小些；与美国五级谱相比，在720波长范围内，二者的功率谱密度非常接近，波长大于20时，三大干线谱优于美国五级谱，波长小于7时，前者差于后者。因此可以预计，车辆在我国三大干线上的横向平稳性与美国五级谱条件下的基本相当，但

43、差于美国六级谱下的舒适性，而轮轨横向动力作用性能均不及美国五级、六级线路情形。3.3.2 高速线路轨道谱的比较关于高速运行条件下的轨道谱，国外最典型的标准要数德国轨道谱，包括低干扰（适合及其以上速度）和高干扰谱（适合以下速度）两种，我国尚无高速轨道谱标准，1998年曾在郑武线上按高速运行要求改造了一段所谓高速试验段（试验段从许昌至小商桥之间，曾创下当时中国铁路最高试验速度），通过轨检车测量并拟合了轨道谱，这里就以此作为比较对象。同样对德国轨道谱进行单位变换，得高低不平顺： (3-19)方向不平顺： (3-20)由此可得、的单位为。经过单位换算后，在MATLAB中编写程序可以得到以下高速线路轨道

44、谱比较图：（具体程序详见附录1）图3-15 高速线路轨道高低不平顺功率谱密度图3-16 高速线路轨道方向不平顺功率谱密度图3-15、3-16分别给出了德国低干扰谱、高干扰谱和郑武段高速轨道谱的高低不平顺及方向不平顺功率谱密度在130波长范围内的对比结果。文献2中通过地面测量得到了30以上的长波高低不平顺，这是因为长波不平顺对高速列车运行的舒适度影响很大。根据图3-15和图3-16的结果可知：对于高低不平顺，中国高速试验段轨道谱与德国高干扰谱互有优劣，在710波长范围内，二者的功率谱密度值相差不多；在1030波长范围内，中国谱密度值要比德国高干扰谱的功率谱密度值小；而在17波长范围内，中国谱密度

45、值要比德国高干扰谱的功率谱密度值大一些。中国高速试验谱与德国低干扰谱相比，从波长130范围内，中国高速试验谱明显要差。由于长波不平顺对高速列车运行舒适性有重要影响，短波不平顺对高速列车的动力特性影响较大，故可以推断，对于垂向舒适度，中国高速试验谱要优于德国高干扰谱，而比德国低干扰谱差；而对于轮轨垂向动力作用性能，中国高速试验谱不仅差于德国高干扰谱，更差于德国低干扰谱。对于方向不平顺，在115波长范围内，中国高速试验段轨道谱要差于德国高干扰谱和低干扰谱，尤其对数米以下波长非常明显；在1530波长范围内，中国高速试验段轨道谱略优于德国高干扰轨道谱，但明显劣于德国低干扰谱。同样可以推断，在德国低干扰

46、谱激扰下列车横向运行舒适性优于其它两种谱下的舒适性，而中国高速试验谱激扰下的车辆横向舒适性接近于德国高干扰谱激扰结果。3.3.3 结论 我国三大干线谱高低不平顺在25以下波长范围内，比美国五级线路谱要好，比美国六级线路谱要差。 我国三大干线轨道谱的方向不平顺在720的波长范围内基本与美国五级线路谱相当，在17的波长范围内尚不如美国五级线路谱好，在25以下波长范围均比美国六级线路谱明显要差。 中国高速试验段轨道谱的高低不平顺在730波长范围内，其高低不平顺和方向不平顺基本与德国高干扰谱相当，而在17波长范围内的高低和方向不平顺，尚不如德国高干扰谱，离德国低干扰谱相差很远。第4章 轨道谱估计在第1

47、章已经提到，轨道不平顺影响因素的多样性和随机性决定了轨道不平顺的随机性，沿线路长度方向的轨道不平顺可以看作一个随机过程，轨道不平顺是里程的随机函数，任一特定区段的轨道不平顺可以看作随机过程的一个样本。所以轨道不平顺不能用一个确定的数学表达式来描述，只能应用随机信号理论3加以描述。4.1 随机过程及其特征描述4.1.1 随机过程随机过程通常用表示，定义为两个自变量和的一个集合函数。其中，是随机变量族的样本空间，是参数的集合。随机过程能以两种方法描述：1、表示成随机变量族，对任何固定的，是随机变量。2、表示成上的一个函数集，对任何固定的，是一个样本函数，或称为过程的一个实现。4.1.2 平稳随机过

48、程1严平稳过程从n维概率分布函数出发设是一个随机过程，如果对于任意的，过程与有同样的分布，即 (4-1)对一切有限集和任意都成立，则称为严平稳过程（也称狭义平稳过程或强平稳过程）。严平稳过程描述的物理系统，其任意的有限维分布不随时间改变。注意，只是分布不随时间变化，并不涉及服从什么分布。2宽平稳过程只考虑一阶矩和二阶矩设是一个随机过程，如果有 为二阶矩过程，即， (4-2) 为常数，且相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关，即 (4-3)其中，为随机过程的自相关函数，则称为一个宽平稳过程（也称广义平稳过程或弱平稳过程），简称平稳过程。宽平稳过程不一定是严平稳过程；反过来，严平稳过程也不一定是宽

49、平稳过程，因为宽平稳过程必须是二阶矩过程。3各态历经性如果随机过程任一样本函数的时间平均等于过程的集合平均，则称随机过程是各态历经的或各态遍历的，即，如果有 (4-4)则称为均值各态历经过程；如果有 (4-5)则称为自相关各态历经随机过程。可见，对各态历经随机过程，可以用一个样本函数的时间平均计算随机过程的集合平均。这一点为实际操作带来很大的方便，因为对一个样本过程进行长时间统计比同时对许多样本进行统计要容易实现。本文计算所涉及的随机数据均看作广义平稳和各态历经的随机过程。4.1.3 随机信号的相关函数平稳随机信号的自相关函数定义为 (4-6)式中是平稳随机信号，代表取共轭，如果是实随机信号，

50、则上式成为 (4-7)平稳随机信号的相关函数具有如下性质： 若为实信号，则为实偶函数，即 (4-8) (4-9)若为复信号，则共轭偶对称，即 (4-10)本文所用到的随机信号均为实随机信号。 在时，取得最大值，即且就是序列的平均功率，即 (4-11) 维纳-辛钦定理随机信号自相关函数的傅立叶变换是信号的功率谱密度。如果用表示随机信号序列的功率谱密度，则有 (4-12) (4-13)在式中令，可得 (4-14)因为为信号的平均功率，所以将称为随机信号的功率谱密度(PSD)或功率谱密度谱，简称功率谱。4.1.4 随机信号的功率谱对确定性能量信号，可以用FFT（快速傅立叶变换）作频谱分析，得到频域特

51、性。对于平稳随机信号，因为是无限能量的信号，故其傅立叶变换不存在（在z平面的单位圆上不满足绝对可和的条件）。由于自相关函数序列是一个能量有限的确定性序列，故能满足序列傅立叶变换绝对可和的条件。由维纳-辛钦定理可知，对序列求傅立叶变换得到的就是序列的功率谱。平稳随机信号的功率谱具有如下性质： 不论是实序列还是复序列，都是的实函数。 如果是实序列，具有偶对称性。 对所有的都是非负的，且是的周期函数，周期为。4.2 功率谱估计的各种方法根据维纳-辛钦定理，广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅立叶变换，它取决于无限多个自相关函数值。但对于许多实际应用问题，可资利用的观测数据往往是有限的，所以要准确

52、计算功率谱通常是不可能的。比较合理的目标是设法得到功率谱的一个好的估计值，这就是功率谱估计。也就是说，功率谱估计是根据平稳随机过程一个实现的有限个观测值，来估计随机过程的功率谱密度（PSD）。这里涉及到两个问题，怎样评价一个估计是好的估计？怎样得到好的估计？功率谱估计评价指标包括客观度量和统计度量。在客观度量中，谱分辨率特性是一个主要指标。谱分辨率是指估计谱对真实谱中两个靠的很近的谱峰的分辨能力。统计度量是指估计的偏差、方差、均方误差、一致性等评价指标。但需要注意的是，对统计特性的分析方法只适用于长数据记录。所以，利用统计度量对不同的谱估计方法进行比较是不妥当的，只能用来对某种谱估计方法进行描

53、述，并且一般只用来描述古典谱估计方法，因为现代谱估计方法往往用于短数据记录情况。至于怎样得到好的估计，这就是后面将要介绍的各种谱估计方法。这些方法主要分为两大类。通常，将以傅立叶分析为理论基础的谱估计方法叫做古典谱估计方法或经典谱估计方法；而把不同于傅立叶分析的新的谱估计方法叫做现代谱估计或近代谱估计。本文主要介绍了古典谱估计和最大熵谱估计，分述如下：4.2.1 古典谱估计古典谱估计主要有相关法（间接法）和周期图法（直接法）两种，以及由此派生出来的各种改进算法。4.2.1.1 相关法谱估计相关法谱估计是以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。它的理论基础是维纳-辛钦定理，因为是由Blac

54、kman和Turkey提出的，所以又叫BT法。其具体步骤如下：第一步：由获得的点数据构成的有限长序列来估计自相关函数序列，即 (4-15)这一步要注意三个问题：是双边序列，自变量的取值范围应为。对实数序列，由自相关函数的偶对称性，只需求出的，另一半也就知道了。因为得到的只是的个观测值，所以对时的的值只能假设为零。为了较少地使用已知数据段之外的数据，通常取。所以，计算自相关函数时只需求出的（这里），然后利用求出另一半。第二步：由自相关函数的傅立叶变换求功率谱，即 (4-16)以上两步中经历了两次截断，一次是估计时仅利用了的个观测值，这相当于对加矩形窗截断。该窗是加在数据上的，一般称为加数据窗。另

55、一次是估计时仅利用了从到的，这相当于对加矩形窗截断，将截成长，这称为加延迟窗。式中的和分别表示对和的估值。由于，使得式(4-16)的运算量不是很大，因此，在FFT问世之前，相关法是最常用的谱估计方法。当FFT问世后情况有所变化。因为截断后的可视作能量信号，由相关卷积定理，可将式(4-15)写为 (4-17)对上式两边取点的DFT，并将时域卷积变为频域乘积，有 (4-18)于是可得用FFT求的完整方案如下：对长的充个零，成为长的。求点的FFT，得 (4-19)求。求点的IFFT，得 (4-20)由式(4-16)便可求出。上面的相关运算中，充零的目的是为了能用圆周卷积代替线性卷积，以便采用快速卷积

56、算法。4.2.1.2 周期图法谱估计周期图法又称直接法，其具体步骤如下：第一步：由获得的点数据构成的有限长序列直接求傅立叶变换，得频谱，即 (4-21)第二步：取频谱幅度的平方，并除以，以此作为对真实功率谱的估计，即 (4-22)4.2.1.3 古典谱估计的改进相关法和周期图法都是用获得的个数据对随机过程进行谱估计，它隐含着对无限长数据加了一个矩形窗截断。时域中与矩形窗函数相乘对应于频域中与矩形窗频谱相卷积，就这一点来说，估计谱相当于真实谱与矩形窗频谱相卷积的结果。矩形窗频谱等于矩形序列的傅立叶变换，即 (4-23)对功率谱有影响的是矩形窗频谱的幅度谱，该函数与功率谱相卷积必然使所得的估计谱不同于真实的功率谱，因为函数不同于函数（任何函数与函数相卷积形状不变）。为了使估计谱逼近真实谱，应设法使窗谱幅度函数逼近函数。矩形窗频谱的幅度函数为，它与函数相比存在两方面的差异，一是主瓣不是无限窄，二是有旁瓣。由于主瓣不是无限窄，真实的功率谱与主瓣卷积后将使功率向附近频域扩散，使信号模糊，降低了谱分辨率，主瓣越宽分辨率越低。由于存在旁瓣，又会产生两个后果，一是功率谱主瓣内的能量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中，无法检测出来，这是古典谱估计的主要缺点。