高级微观经济学-课件4-chapter-1

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1、三、TheConsumersProblem本部分考察消费者选择理论的其他组成要素：ConsumptionSet、FeasibleSet、BehaviorAssumption,然后构建消费者选择理论的正式表述。Assumption1.2消费者偏好：消费者偏好关系具有完备性、传递性、严格单调性和严格凸的，那由定理1.1和1.3可知，该偏好关系可以有一个连续的、严格增加的、严格拟凹的实值效用函数u代表。(考察两种商品情形)消费者的行为假设：假设消费者根据其偏好关系在可行集中选择最偏好的消费束，即消费者选择能够支付得起的最优商品组合，即：xB,使得对于所有的xB,有xfx(1.4)%“支付得起”一一预

2、算集“最优”一一偏好关系预算集：BxxRn,pxy,p0,y0消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）x：xB，且对于所有的xB，有xfx。%消费者从预算集中选择最大化效用函数的点x*：*x14a4rg4m4ax4u42x4,4s.t.44px443yuxux给定假设1.2，并给定对消费者可行集的限制，消费者问题（1.4）受到约束的效用函数最大化问题；即消费者问题转化为下面的优化问题：maxux xBs.t.px yn（1.5）pixiyi1接着需要考虑的问题是：此最大化问题是否有解？是否有唯一解？定理A1.10:极值的存在性定理（解决了解的存在性问题）设SRn是非空紧集，f:SR是连续的实

3、值映射，则存在向量x*S和向量%S,对于所有的xS,有C,*f%fxfx该定理在（1.5）问题的应用：ux连续BxxRn,pxy,p0,y0:非空、闭集、有界集（其中，闭集+有界集紧集）定理A2.14：目标函数严格凹（解决了解的唯一性问题）re*.*如果x最大化严格凹函数f,那么x就是该函数唯一的全局最大值点；re*.如果x最小化严格凸函数f,那么x就是该函数唯一的全局最大值点；定理1.4：消费者效用最大化问题一阶条件的充分性假设ux是Rn上的连续拟凹函数，而且（p,y）0,如果u在x处可微，,1*.一.*.而且（x,）0满足效用最大化问题的一阶条件（1.10）,那么x就是使得消费者在价格p和

4、收入y处达到效用最大化的解。消费者的问题：maxux,pxy的解:xBx*xp,yXi1、两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交切不相交预算线与无差异曲线相切：预算线的斜率：卫1P2无差异曲线的斜率：MRSdx2dx1P1dx21MRS2p2dx1MU1 mu2MU1MU2解得马歇尔需求函数xxp,y一阶条件：L x, y px 0L x, u x p 0px y约束条件必然为y px2、假设效用函数ux连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：ux,xB1)、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为pxy:预算平衡性定理Lx,ux二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数x

5、xp,y(2)、不等约束条件下的极值KuhnTucker定理:构造拉格朗日函数：Lx,uxypxLx,ypx0一阶条件：ypx0Lx,uxp0二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数xxp,y例题：消费者的效用函数为ux1,x2x1x21，求马歇尔需求函数。解：设商品1和商品2的价格分别为p1,p20，消费者收入为y0。消费者的决策为：1 x2maxux1,x2x1x1,x2s.t.,构造拉格朗日函数：L x1 , x2 ,p1x11 x1 x2p2x2yyp1x1p2x2最优解x1,x2,满足一阶条件：LXi,X2,PiXiLXi-XXiX2PiXiP2X2y解得马歇尔需求函数：Xi

6、Pi,P2,yyPiX2Pi,P2,yi义P2消费者的最大效用为：maxux1,x2x1x211P1P2间接效用函数为:maxux1,x21iPlP2vp,y定理1.5马歇尔需求函数xp,y的可导性：作用：比较静态分析一一参数或模型结构的变化对模型解的影响价格变化或收入变化导致的解的变化：*1.12)u x 是连续的，上x p, y ， 那么有：1.13)直接效用函数：ux间接效用函数V：RnRRmaxvp,yuxs.t.pxyxNotes：a间接效用函数是与消费者效用最大化问题相对应的最值函数，当述最大化问题的解存在，那么就有vp,y。B如果进一步限制ux是严格拟凹的，那么解是唯一的，记为*

7、vp,yuxxp,yuxp,y间接效用函数1) 在RnR上连续2) 在p,y上具有零阶齐次性3)在y上严格递增4)在p上严格递减5)在p,y上拟凸6）罗伊恒等式：如果vp,y在p0,y0上可导，并且00v p ,y0,有:00vp,y0x p ,yp00v p ,ymax可接效用函数vp,yuxs.tpxy的特征x1、间接效用函数在RnR上连续p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。2、间接效用函数在p,y上零阶齐次性maxvp,yuxs.t.pxyxp,y上零阶齐次性：vtp,tyt0vp,yvp,y,t0maxuxv tp,ty xma

8、xuxvtp,tyxvp,ys.t.tpxtys.t.pxy3、间接效用函数vp,y在y上严格递增vp,y应用包络定理:构造拉格朗日函数Lx,ux根据包络定理,vp,yylx,Lx,y0yypx:的符号？y0y11v p , y = u x1 1p x yx x Rn,p2x y设价格向量p1p211vp,y=ux u x v p , yNotes:性质3和性质4表明，消费者预算约束的放松不会导致消费者可得效 用水平的下降，消费者预算约束的手紧不会让消费者可得的效用水平增加。,求证vp1,yvp2,ymaXux,p1xy最优解x1x1221111pppxpxyxBmax u xxp2x y 最

9、优解x222vp,y=uxux22pxy5、间接效用函数vp,y在p,y上拟凸(quasiconvexity and inferior sets)R ,劣集I y是凸集，函数定理A1.18:拟凸性和劣集当且仅当对于所有的yf:DR是拟凸函数。劣集（又称为下水平集）Iy的定义：IyxxD,fxy证明间接效用函数vp,y在p,y上拟凸，只需证明其劣集Ikp,ypRn,yR,vp,yk,kR为凸集。在Ik中选两点，设vp1,y1k,vp2,y2k,取pt,yttp11tp2,ty11ty2,我们要证明vpt,ytko也就是说，对于任何满足ptxtxt,我们得证明uxtkotttpxytp1xt1tp

10、2xtty11ty2三种可能性：1t1t11pxyuxvp,yk2t2pxy1t12t2yt的最优解pxy和pxy由间接效用函数的定义可得:v(p,y)u(x(p,y),上式两边同时对pi求导可得:Luxi由效用最大化的一阶条件有:而且我们知道:PiXii1XiPi(WHY?问题1)那么有：PiPiPlLPii1XiPiyi1又因为:所以有:LxiXi(p,y)piiiiPi（问题2）；vv一一Xi(p,y),即：xi(p,y)PiyL。问题1:7u(x(p,y)yy证明：u(x(p，y)iL-Jyi1Xiy根据效用最大化的一阶条件uXipi,代入上式可得:u(x(p,y)XiXiPiPi一，

11、yiiyiiyiL又因为：px(p,y)y,两边对y求导得到：pi21,代i1入上式可得：u(x(p,y)LxI可越2:X|(p,y)Pi一iipi由px(p, y) y两边对pi求导得到:xi(p,y)pixi0,变形即得上式pi例题：证明vp,yy一满足间接效用函数的特征PlP2支出函数为什么需要讨论支出最小化问题？A：间接效用函数和福利评价ppv(p,y)v(p,y)；一、.一一一一一一一价格变动的影响是：v(p,y)v(p,y)一一，、,但效用是序数概念而不是基数概念，因而v(p,y)v(p,y)没有任何本质涵义。如果v(p,y)v(p,y)0，它只告诉我们消费者相对于(p,y)而言更

12、喜欢(p,y)。而且，更重要的是，如果考虑到不同消费者之间的比较，那么v(p,y)就更无能为力了。B:一个解决问题的思路,一.,一在(p,y)组合下，如果pp,我们考虑的问题是：在保证消费者的效用水平不变的前提下，为了弥补价格的变化，收入应该如何调整？一，.11.即：在v(p,y)v(p,y)的前提下，yy给生了价格变化影响的货币价值度量，其重要优点是：yy是可以观测的。支出函数给定价格p实现某一效用水平u所需的最小支出：minpx,s.t,uxux最优解为希克斯需求函数xhp,u,最小支出为pxhp,u支出函数e：RnRR为：hhinep,upxp,u,xxxR,uxu,uRminpx,s.

13、t,uxuxpx,xxxRn,uxu,uR两元空间支出最小化：hep,up1x1p1,p2,up2x2p1,p2,uminp1x1p1,p2,up2x2p1,p2,u,x1,x2s.t.,ux1,x2uX2hX2ux1,x2uXi希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数ux严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与u相对应，因此可以把所要实现的效用水平u写作uX。minpx,s.t,uxux可以写为：minpx,s.t,uxuxx支出函数可以表述为在给定价格p下，实现消费束x所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格p下，实

14、现实际购买力x所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。支出函数ep,u的特征1 .在u取最低效用水平时，支出函数ep,u为零2 .在定义域e:RnRR上连续3 .对于所有的p0,支出函数在u上递增并且无上界4 .在价格p上递增5 .在价格p上一阶齐次性6 .在价格p上为凹函数7.如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理:00ep,u证明：1、在u取最低效用水平时，支出函数ep,u为零u取最低效用水平：uu0，x0支出函数ep,upxp002、在定义域e:RnRR上连续3

15、、对于所有的p0,支出函数在u上递增并且无上界,0u根据包络定理：minpx,s.t,uxux拉格朗日函数：L x,px u u xe p,ux， 01 2x30 （一阶条件）ep,uLx,4、在价格p上递增ep,uPi5、在价格p上一阶齐次性etp,utep,uX2hX2ux1,x2uXi6、ep,u在价格p上为凹函数固定效用为u,取价格p,p,p,pp价格为p时最优解为x,支出函数为ep,upxpx1pxep,u1ep,u7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理:00ep,uh00XiP,uPi根据包络定理X1 x2 ,求希克斯需例子：消费者的效用函数为uXi,X2求函数和支出函数。解:m

16、axP1X1P2X2s.t,uX1,X21X1X2uX1,X2构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数:1hp2XiPi,P2,uu,1Pih1P1X2P1,P2，uuP2d11eP1,P2,u1P1P2uXi马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：SupposethatuxisacontinuousutilityfunctionrepresentingalocallynonsatiatedpreferencerelationfdefinedontheconsumptionsetXRnandthepricevectorisp0.Wehave Ifx*isoptimalintheutil

17、itymaximizationproblem*whenwealthisy0,thenxisoptimalintheexpenditureminimizationproblemwhentherequired*utilitylevelisux.Moreover,theminimizedexpenditurelevelinthisexpenditureminimizationproblemisexactlyy. ifx*isoptimalintheexpenditureproblemwhentherequiredutilitylevelis*xisoptimalintheutilitymaximiz

18、ation*minimizationu u 0 , then problem when utility level inu.wealthispx.Moreover,themaximizedthisutilitymaximizationproblemisexactly假设ux是满足假设1.2的效用函数，我们有：如果在收入为y0时，x*是效用最大化问题的最优解,那么在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为*,Jr-.ux时，x是最优解。而且，在这一支出最小化问题中，最小的支出水平正好为y。如果在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为uu0时，x*是最优解，那么在效用最大化问题中，当收入为px*

19、时，x*是最优解。而且，在效用最大化问题中,最大效用水平正好为u。证明：效用最大化问题为：maxux,s.tpxyx设x*是此问题的解，于是有* *_IYr*uxux,x,xBxpxy和pxy支出最小化问题为：minpx,stuxux设x*是此问题的解，于是有* *Yr*pxpx,x,xxuxuux和ux假设x*不是支出最小化问题的解。设x是其解，有pxpx*y和uxux*。根据弱单调性公理，在x的任何邻域中，存在x,uxux,且有pxy。就是说，xBx|pxy,又因为uxuxux*,所以，x是更优的点。这与前提条件相矛盾，因此，x*是在所要实现的效用水平为ux*时，支出最小化问题的最优解。在收入为y0时，x*是UMP的最优解，则x*是马歇尔需求函数x*xp,y,止匕时，ux*vp,y,ypx*;在EMP中，当所要实现的效用水平为ux时，x是最优解,则x*是希克斯需求函数x*xhp,ux*xhp,vp,y,也就是说，我们有xp,yxhp,vp,y，支出函数为*ep,uxep,vp,ypxy,即ep,vp,yy。证毕。xp,y,或xp,yPiy设xp,y是消费者最大化问题的解，需求函数可导性的条件是：效用函数二阶可导；某些或全部商品的边际效用大于零；效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式。