概率论与数理统计(经管类)-第四版吴赣昌版第六章课后习题答案手动截图版

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1、为防止乱码，手动截图。不得不说学习空间打开一道题的答案就要打开一个网页的设置太麻烦了6.1克估计问篦酶习题1总体工在区间总件上均匀分布,司，苞，工是它的样本？则下列估计量，是办的一致估计是（1。=心。=%；（Qfl-Y=lVx；师筋人,XLn解答:应选叨一由一致估计的定义对任意0.P(tj=F(r+3jV/jaX.A.”XJu-&)=F(2+)-尸(-t+(/)因为0.xb所以F(f+0)-y-+H)=丫一8+目)=PM以Xp苍*，冗f)=I-1+E(钿2=心+D6优故（亦不是少的无偏估计.习题5J设%,儿,X是来自昔数为，的泊松分布的简单随机样本，试求下的无偏估计量.解密因x服从参数为4的泊

2、松分布，故D(X)=九(Y)=D(X)+囱W?=E(X)4肥，于是(冷(加二?，即凤年=汽用样本矩a=片,4代普相应的总体矩月(*),爪X),便得片的无偏估计量习题6设X，X，为来自参数为”的二项分布总体，试求犷的无偏估计量.解答：因总体x/)s.)，故(用=,E(*)=D(X+(用=np(I-p)+n2p2=np4-1犷=E(X4-n(n|)p(乂)一月(国rj1,-E-i-X)/A力(-1)于是，用样本矩小，4分别代替相应的总体矩以),以),便得的无偏估计量n（n-1）nn-I）台；（片-%）.设总体X服从均值为。的指数分布，其概率密度为/(x；6)=0,xWO苴中参数0未知.又设M，也，

3、正是来自该总体的样本，试证：1和（min（M，K，,尤）都是6的无偏估计量，并比较哪个更有效，解答：因为卬0=，而。囱=凤同，所以阳为“，1是。的无偏估计量设Z=min(Z乂，4因为0,工40_竺FQ=l-l-a切”e(、0,x0”/）所以/za=，。，这是参数为z的指数分布，故知e（z）=-,而，II_0,上40丽（min（居,乂）=仇P斤以成也是6的无偏估计.现比较它们的方差大小.-y由于/故）=一.n又由于。（0=（0.故有n）历D（nZ）=n:D（Z）=八；=标./r当“1时,Z）5册，故较2有效.习题8谩总体力服从正态分布）.X，占是总体K的子样，试的证都是加的无偏估计量；并问哪一个

4、估计量的方差最小?解答：因为、服从N（叽I）,有月(%)=/.D(Xt)=1(/=1,2),丽=讣沁)中氏)IJJ/JJ(21、414154叫卜。(+卢卜-XH产(X)=-4-=-,同理可得；Eg)=m/Xm=q,所以J叫一加2,也都是刖的无偏估计出并且在小修,刖3中，以叫的方差为最小.解答:防(%)=(=1,2,)，故=；也=/百%)=应勺，k,=1时，2=为6的无偏估计，00)=之*,要在立,=1的条件下/-1r-1/-II-1。(而最小，采用拉格朗日乘触法.令叫，”)=0()+久0L八.qt=(),/=1,2,，k的Zh=L/-1艮口2%,-z=0,q=;又因力尸1,艇JU=1,记之U所

5、以b2W，于是rf-1/=12c(1)/(x)=(，其中c0为已知，为未知参数.I0,其它(2)/(x)=xLOW,其中o.为未知参数0,其它(3)尸=炉(1-尸二其中工=0,1,2,，Ovpvl.p为未知参数.x)解答：(1)凤)=1庆勺如小=%1，-%=含，解出。=令_(X)c令彳=或用，于是点=上力矩估计量，的矩估计值为X-c0=-X-C其吟容另外,似然函数为L5,0，心价=力叫n=*甘石阳”。X,C,对数似然函额为lnA(0)=ln0+r/lnc-(61+1)天,/-I求导，并令其为零，得cinLdOEX - lnc解得A=JL一则6的最大似然估计量为oL=-内心il-川nc(2建8=

6、小/工。也=-,以工作为的矩估计，则/，的矩估计由1=JoJ+l出,得W-X)的矩估计值为百=,其中R=1为样本均值的观测值,n /-另外，似然函数及对数似然函数分别为如“孙,4)=力屈严, 二 ”(力马严OWxfWL/-I1-1ln(9)=勺口夕十(初-l)lru,2/-I对，求导J并令其为零，即e/lnA1|夫-；=lav,-0加2011=1?叫:，则的最大似然估计量为0LJ/VI(3)乂6利).月(笛-旧以不作为田的矩估计，即XMX).则参数的矩估计为tnm一P的矩估计值为1-=r=，三minnt.另外，似然的额及对数似然函以分别为，/人口（1-p）-二口（1-夕）1,（七=0,1,m）

7、HlHIIn如卜1仁+&J呼+佃-巧）111（1-）.对P求导并令其为零，得JlnA61+,、1A丁=2y1,2Jmf）,；-=0dp/-Ip-|一夕-X，则的最大似然估计量为几=-A112嗯，书写错了，应该是一-，0-.EInXj-川ncZInA-winei-l，-i回答者：漫步第一题的。=正求和处不应该是比.吗？n/xt.-nncI-1回笞者：111034591谀总体X服从均匀分布町,它的密度函数为L0，”/(k0)=。，,0,其它(1)求未知参数6的矩估计量5当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时,求6的矩估计值.解答：(】)因为E(用=jxf(x;0)d

8、x=1以公=令(R2%，即*X所以=2乂i2(2)由所给样本的观察值篁得1Xj=，60rt6015即这批产品的废品率为上.习题5设总体A具有分布律XI23P,户20(8)(I-。)？箕中华01)为未知参数.已知取得了样本值占=1,0=2,占=1,试求的最大似然估计值.分析:解答；.。)=口巴=ip&=2p&=i“I=夕,2伊(1一)=2/(l-=,nL(ff)=In2+5ln+ln(I-(J),刘。求导.并令导数为零(inL5In=o,d881-85得。的最大似然估计为外=也不是尸乂=3的，样本可的取值是随机的，故可以有尸%=1,尸%=2PX=3,而要具体取那些值要看样本值的.如果样本值改为X

9、1=2,x2=1,x3=2,则/=FI0%=七=尸底=2P&=IP4=2.HI回答者：漫步2013-12-2708:15:59?：X3=3)回答者：1110880722013-12-2618:50:52习题。(I)设X，X，,毛来目总体火的一个样本：且入弱，)，求尸X=O的最大似然估计.(2)某铁路局证实一个报道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个振道员在五年内未引起严重事故的概率的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况.下表中，表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，.，表示观察到的扳道员人数.r012345444221942解答；|(1)已知，4的最大似然估计为工=元因

10、此,X=0.产(2)设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数，人服从参数为力的泊松分布，样本容量n=122.篁得样本均值为x=xVr-5=x(0x444-1x4242x21+3x94-4x445x2)122勺122之1.123.因此“x=0=/y=03253.Q对本题的眼帖共4条这是最大似然估计的性质，如果6的最大似然估计为3,则乃（例的最大似然估计为双。）.于是就有口d=0=e=e这个答案.回答者：漫步2013-06-1709:45:55为什么有衣X=0:=e7=e-?求解释.回答者：红昌子小熊2013-06-1508:41:31尸X=0=e“x：=小，注意0!=1,0的阶乘为1,这是阶

11、乘的规定！回答有：漫步2012-06-123：30：23第一问中按照泊松分布公式，k作为分母不能取。啊。为和还能计算。回答者：匿名2012-06-1121:02:19,6.3孟信区自习题1对参数的一种区间估计及一组观察值（x4,兀）来说,下列结论中正确的是（）.（片）差信度越大.对参数取值范围估计越准确.（8）国信度越大.置信区间越长；（。置信度越大.置信区间越短；（Q）差信度大小与宣信区间有长度无关.解答：应选（砌.置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低.反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含直值的概率就越低置信度就越小.习题

12、2设（心即是参数。的置信度为一的区间估计，则以下结论正确的是（）.储）参数6落在区间（4,2）之内的概率为I-。）梦数6落在区间（%）之外的概率为；（O区间（名,2）包含参数。的概率为l-a；（。）对不同的样本观察值，区间（。”）的长度相同.解答：先g由于肉“都是统计量，即（6”外）是随机区间，而是一个客观存在的未知常数，故（力）.（砌不正确.设总体的期望4和方差/均存在,如何求4的置信度为1-仪的置信区间？解答先从总体中抽取一容量为的样本西,X,凡根据中心极限定理，知U=一伙。1)ST8).(I)当/已知时，则近似得到必的置信度为I-的置信区间为IJW)-M。，1） （）. S/J”(2)当

13、/未知时，用/的无偏估计炉代替这里仍有于是得到“的-的置信区间为一般要求230才能使用上述公式，称为大样本区间估计.习题4某总体的标准差=3k从中抽取40个个体，其样本平均数；=642c肛试给出总体期望值的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限).解答：因为=40属于大样本情形，所以I近似服从47的正态分布，于是的9觊的置信区间近似为X士7,i4)这里x=642-=3,瓜=40=6.32,以,、=1.96,从而(-ff(31.r-riia.2=642-x1.96w(6420.93),yjn)J40)故”的95%的费信上限为642.93,下限为641.07.某商店为了了解居民对某种商品的需要

14、，调查了10。家住户；得出每户色月平均需求量为10松，方差为9,如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(a=0.01),并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以099的概率满足需求？解答：因为=100属于大样本问题,所以工近似服从Mz，,/),于是的9联的置信区间近似为x=10,$=3.=100,*2=2.58,所以10-7x158=(1010.774)=(9.226,10,774).J100)由此可知最少要准备IO.774x10000-107740(机)这种商品，才能以099的概率满足需求习题6观测了10。棵“律农一号”玉米穗位，经整理后得下来(组限不包括上限

15、)：组编号123456789组限组中值螂70-8080-9090-100100-110110-120120-130130-140140-150150-16075859510511512513514553913162620742试以95片的置信度，求出该品种玉米平均穗位的置信区间.解答：因为=100属于大样本情形，好以的国信度为95%的匿信区间上、下限近修为1土定心这里=100,=1.96,还需计算出x和二取“115,。=10,令马=(芍-)Jc=(芍-115)/10,用筒里算公式，(l)x=a+：(2)s：=/s：.编号123456789组中值为758595105115125135145155

16、七一115110蛆频率W,-4-3-2-1012343913162620742”,-12-27-26-160201412816941014916片123456789-1&1z=Ywz=x(-27)=-0.27,100白一100x=IOx(-27)+115=112.3,5：=V/nr-x3133.161616,99rf99?=102x3J61616=316J616,4=17.78.AA于是(S、f1778)H2.3-xL96(112.313.485)1-I10)=(108.815,115.785).习题7某城镇抽样调查的500名应就业的人卬，有名待业者,试求该城镇的待业率P的置信度为0.95置信

17、区间.解答：这是(0-I)分布爹数的区间估计问题,待业率P的0.95匿信区间为3，0)=b + (b2-4ac、其中=J%,力二一2nX一(4J，e=丫，= 1.96.-13w=500,x=,u500则(/)二(。.。15,0,044).设%,用,为来自正态总体N(/,，)的一个样本，求的置信度为I-的单侧置信限解答：这是一个正态总体在方差未知的条件下，对的区间位计问题，应选取统计量：7=士垠1).S/J因为只需作单边估计，注意到，分布的对称性，故令Prr,(w-l)=l-a.由给定的贪信度1-,宣目由度为-1的r分布表可得单恻临界值1).判不等式Ttjn1),即翁”和翁gD分别变形，求出川即

18、得“的1的置信下限为X-UT)了,的I-的置信上限为X+fa(n-1的的双侧置信限刀一&2(T6.4正态总体的置信区间习和已知灯泡寿命的标准差。-50小时，抽出25个灯泡检睑，得平均寿命；-500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布).解冬由于XM.502),所以的置信度为95%的普信区间为500土平乂 1.96J25这里；=500,二25”-50,%=L96,所以灯泡的平，转命的置信区间为=(50019.6)=(480.4,519.6).一他机样本来自正态总体X总体标准差。15抽样前希望有95%的国信水平使得“的估计的国信区间长度为L=1.7,试问应

19、抽取多大的一个样本？解答：因方差已知，的置信区间长度为L=244,由题设知，l-a=0.95,a=0.05,g=0.025.查标准正杰分布表得“0025=L96,0=1.5,L=1.7,所以，样本容量(2x1.5x1.96VkL7，向上取整数得-12于是欲使估计的区间长度为L7的置信水平为95%,所以需样本容量为，二12.习题3设氟中电子管的使用寿命服从正态分布.从中随机抽取15个进行检蛉，得平均使用寿命为1930小时，标准差与为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、下限.解答：由XN(,)，知的95%的置信区间为X这里x=1950,s=300,=15,心(14)=2

20、,145.于是卜加如一).19501x2.145715s(I950I66.15I)(I783.85,2116.15).即整批电子管平均使用寿命的翼信上限为2116.15.下限为I78VR5.人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下(单位：cD：149158.5152.5165157142求初一女生平均身高的置信区间(=0.05).解答：),“的国信度为95%的国信区间为这里*=154,=8.0187,ro25(5)=2.571,于是-8.0187,154x2.571(15418,416)(145.58,162.42).习题5某大学数学测蛤，抽得20个学生的分数平均数；=72

21、.样本方差/=16,假设分数服从正态分布，求的置信度为98%的腾信区间.解答:|先取/分布变量，构造出1-的/的国信区间为(w-1)50、焉5-1)尤已知I-a=0.98,a=0.02,=0.01,n=20,6=16.查Z2分布表得19)=36.,-9)=7.633,于是得的98%的匿信区间为(普,鬻)即4。,39.827).随机地取某种炮弹9发做试蛉，得炮口速度的样本标准差*=I1（火）.设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差”的置信度为095的置信区间.解答：已知n=9,5=11（mfs1-0.95.查表得点,诩=17.535,一如（8）=2.180,的0.95的置信区间为正

22、态总体标准差。的1一七的置信区间为(n-)S2（-心已知=9,s=ll,1-a=0.95,并查表得口（-1）=/必（8）=17.535,1）=必97s（8）=2.180,所以。的0.95的置信幽为。）的指数分布X”乂，工为一随机样本，令y=min阳&,乂.问常数，为何值时，才能使“是油无偏估计量解答二关键是求出E（r）.为此要求的密度八）.x0因其的密度函数为/式工）=.；0,x（）%的分布函数为尸/工）=,于是0,xWO1e砌;y0尸心）=1-口-加r=0,”0j（，认尸叫y0两边对y求导得外0）=?产）。）=,即）服从参数为苏的指数分布，故虫0,y0八（x）=p；0,xvO1一L,x0%的

23、分布函数为G（x）=，于是.0,x0尸。）=1一口一户0）=0八。）=丁尸心）=，dv0,j成为的无偏估计量需且只需E（cK）=即幺=2,故c=.回答者：漫步2012-09-1008:52:19一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一题目应改为:设总体人服从参数为!（10）的指数分布，%.工,尤为一随机样本，令，*K=min,问常数为何值时，才能使八是人的无偏估计量.设用,左,，凡是来自总体人的一个样本，已知ECV)=，D(4=/.确定常数。，使。(%”一%)2为/的无偏估计：卜I(2)确定常数C,使(方是/的无偏估计在S分别是样本均值和样本方差).解答：(%“-切2、/-I/=；仇

24、玲2y十期f-1=cD(X；.J+E(A；tl)2-2E(XJE(X.Q+0(%)+E(Xf)十E(Xt)3)ri=c(n-】)(+/?-2+4+)=2(/i-l)(rc.令2(-1成二屋，所以1c=.25-1)EHR?-cS2=E(?)-eE(S2)=D(A)+E(X)2-cW=+/r-c(r.令一+“2-廿=/则得C=Lnn设x，X，乂,尤是来自均值为6的指数分布总体的样本，其中。未知.役有估计量。=:(玉4*%)=-巧(%)沙夕Vb-i)I-IW-I由定义，p是的无偏估计量，又而=。(才=q；上乂,卜,上。氏)由切比雪夫不等式7任给，小。P|p-p|) =/；-D(A)阳二fO,T8(T

25、-n所以lim巴力-尸叫=0,故三才是废品率p的一致无偏估计量.设总体伏,，)，A是正整数，0,=0,得的最大似然估计Aj_入=一力=X,即x=1就是多数的最大似然估计.“/已知总体”的概率分布P*=*=C。)甘Ar=O,1,2求参数的矩估计,解答:总体人为离散型分布，且只含一勺未知参数，因此，只要先求离散型随机变量的数学期望Eg,然后解出并用样本均值代替。)即可得，的矩佐计疝由E(笛=X&G(1-。小”=I、2(1-/7)，+2(1-勿2=2-2”即有1-0cyc用样本均值X代普上式的(阳，得矩估计为，=1;习题9设总体X的概率密度为f(0+110xl/(x)=：一，I0,其它其中-I是未知

26、参数，X”为一个样本，试求参数。的矩估计和最大似然估计置解答:因E(x)=f(e+iW/=能.令(笛为=文得霆工=无解得的矩估计量为北19+29+2X设“X”是样本x，x,.X的观察值，则似然函投Uxvx2.，匕，e)=n(e+1H/-I=(。+1(X心(0inx=0.d()夕+1y解出色得的最大似然估计量为百二为必1-1由此可知，的矩估计和最大似然估计是不相同的.嗯，算错了,谢谢同学你的指正！最大似然估计应为：力二一一5-1.工吨JI回答者；漫步最大似然估计量是不是算错了？回答者；阿芝11习题110设人具有分布密度，2一xs012/(r,)=x!,06i+oc,0,其它M，乂,，凡是x的一个

27、样本，求，的最大似然估计量.解答：似然函数用伊；?”即“丁IT1，d=I引=1ln()=一ln_少ln(M!),bIdI1加。必助一痣口令阴)=0,即dBn/-I故。最大似然估计量为-1白e=x=_.，I设使用了某种仪器对同一蚩进行了12次独立的测量.其数据(单位:毫米)如下:232.50232.48232.15232.53232.45232.30232.48232.05232.45232.60232.47232ao试用粗估计法估计测量值的均值与方差(设仪器无系统误差).解答二设测量值的均值与方差分别为与万，因为仪器无系统误差，所以6=-=乂=232+4元(%-232)=23241/12x4.

28、76232.3967.用样本二阶中心矩当估计方差有/J-/(尤一-次-4/f,-1n/-|12=Z(4-232)2-(232.3967-232尸I2r.i=0.1819-0.1574=0.0245,习题12设随机变量X服从二项分布PX=k=Cl(-py=1之(%)=-xnEX)=EX)tHft(n=SE(XJ=EWg=E(X).f-l31从而五y均为回用的无偏估计量，由于此=1力ar)=H3=之0四)=。(之邙1-1应用柯西一施瓦茨不等式可知1-wc21?jg。，=1/(%)=1x阻X)=E(X),E(Y)=cH(XJ=CV)g=E(X).f-l/-I从而五y均为(的无偏估计量，由于丁|力ar

29、)=H3=160田=。(国之邙.)I应用柯西-施瓦茨不等式可知1-wc以2fg。，Jvze，(r)泊而故,比7有效习题1441设X,M，,凡是总体XU(O,)的一个样本7证明：储=2/和”2=X是6的一致估计.解答：,)*因碗曲)-；)=。,&=舟.4）= max%.啡一心了竿=n（n + I）2-0, （一oo）依切比雪夫不等式，对任给的0,当时，有8-0,（M-00）3/r所以，(和都是的一致估计量.根据极大极小分布的知识有，,“=11乂仇义；,乂,%,的分布函她为0,x0(涓0VXV仇 fjFnM=PXx=PXxY=#)=*=广Y0VX).既有(Y)=fxx-y,-,Jx=-+,|2=-

30、(2x100x0.164-1.962)=-35.842,6=100x0.161=2.56.的0-95的置信区间为质,A)=(-力士Jbjqc)；即(It)(35.841672212823),(2x103,842)亦即(010l,0.244).在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为170厘米，标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高和身高的标准差，的置信度为0.95的置信区间（假设测身高近似服从正态分布）.解答：由题设身高”凶,泥)，n=25,；=170,$=12,=0.05.(1)先求4普信区间(/未知)，取U=学-1),勒2(-1)=,。24)=2.06.S/

31、Jn故的0.95的普信区间为(1212、170-X2.06,170+x2.06侬”5)=(170-4.94.170+4,94)=(165.06,174,94).(2)/的置信区间3未知)，取(1时,u=；/(-1),(T焉式-】)=/必Q4)=39.364,片1)=点乃(24)=12.401,/24x12224x12?故/的0.95的置信区间为，三(87.80,278.69),的0%的羞信区间为139.36412.401(J87.80,J27&69”(93416.69).为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止.记录所行驶的路程(以千米计)如下：4125040

32、1874317541010392654187242654412873897040200425504109540680435003977540440假设这些数据来自正态总体人,)，其中“，/未知，试求的置信水平为095的单恻置信下限.解答:由/-I)=1-a,得“的I-的单侧置信下限为由所给数据算得41119.38,1345.46,=16.查/分布表得小(5)=1.7531,则有的0.95的单侧置信下限为134546=4111938-x1.7531*40529.73.习题19某公司欲估计自己生产的电池寿命.现从其产品中随机抽取30只电池做寿命试蛤，这些电池的寿命的平均值，=2.266(单位：10

33、0小时)，J=1.935,求该公司生产的电池平均寿命的置信度为95%的置信区间.解答:查正态分布表得=M0O25=1.96,由公式(XJ/JI,X+UgJ电),得到1935)2.2661.96x-A,x/50J经简单计算上式化为(1.730,2.802).于是，我们有如下近似结论：该公司电池的平均寿命的置信度约为95%的置信区间为(1.730,2.802).某8隙厂在配制一种染M时，在40次试验中成功了为次，求配制成功的概率,的置信度为0.95的置信区间.解答:总体是试给的分布，P是成功率.已知=40,5=34/40,m0Ij；5=I.96,所以，户的置信度为0.95的置信区间为仇即(0.73

34、78,0.9607).习题21两家电影公司出品的影片放映时间如表所示，假设放映时间为服正态分布，求电影公司的影片放映时间方差比的置信度为9。的置信区间.时间/分钟公司/103941108798公司97821239217588118解答；于是2的690的置信区间为j0.0736VX,0.0736x6.16,即(0.016,0.4S3).4.53)由所给数据算出为=9&40,=110.71,j;=8.73?,j;=32.I9*2,n.=5,1=7.因为是求方差比的区间估计，故选用分布变量，即S；/F=-/尸（叫一I,，-1）.S；出-对于置信度1-a.取双侧概率相等的置信区间为2-1，-1)本题所给l-a=0.90,a=O.l(),-=0.05,%=5,“、=7.21查万分布表得sz8,732尸小(6,4)=6.16,乙4,6)=4.53,-=；=0.0376.5；32.19。