常见递推数列通项的求解方法

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1、学科：数学 任课教师：叶雷姓名阳丰泽个性化教学辅导教案授课时间：2011年 月日（星期 ）年级高三性别男教学课题常见递推数列通项的求解方法教学目标递推数列的通项公式的求法 ，虽无固定模式，但也有规律可循 ；主要靠观察分析、累加、累积、待定 系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决， 同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。重点难点利用多种方法求数列和课前检查作业完成情况：优 口良口中差建议常见递推数列通项的求解方法类型一:an 1anf(n)(f n可以求和）【例1】在数列an中，已知a1=1，当 n 2 时，有 an:解析:i玄

2、an1 12n 1(n2)a2a11a3a23a4a35上述n 1个等式相加可得解决方法ianan累加法2n 1n 2，求数列的通项公式。2n1评注：一般情况下，累加法里只有 n-1个等式相加。合课堂演练1、已知a11， an an 1n ( n 2),求 an.2、已知数列an， a1 =2,an 1 = 3 +3 n +2,求 an。3、已知数列an满足 an 1an 2n 1,an1n2 1，ann(n 1)2n(3n 1)24、已知an中,a13,anan2n，a1 1，求数列an的通项公式求an。anann2 12n15、已知 a1, an 12ann(n N），求数列an通项公式.

3、an6、已知数列 On满足41, an 3n1an 1 n 2,求通项公式an ？3n 1 an27、若数列的递推公式为 a13, an 1 an2 3n 1(nN ），则求这个数列的通项公式。an 12 3n 18、已知数列3n)满足3n1 an 23n 1, a1 3，求数列an的通项公式。an3n n 19、已知数列an满足aian 1an-21，求 an。n n10、数列 an 中,ai 2 ,an 1ancn ( c是常数，n 1,2,3,)，且a?, a3成公比不为1的等比数列.(I)求c的值;c=2(II )求an的通项公式.ann11、设平面内有n条直线(n 3)，其中有且仅有

4、两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f (n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)f(4)当 n 4 时，f(n)(用n表示).n2 n类型二:an 1 f(n) an ( f(n)可以求积)解决方法累积法【例1】在数列an中，已知a1,有 nann 1 an,(n2)求数列an的通项公式解析：an 丑空亟 aan 1 an 2 an 3 a2a2a1印3 214 32又Ta1也满足上式；ann 1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。(n N*).1、已知 a11, an2、已知数列 an满足n 1ann 123a13、已知an中,an 1nn 2%，且 a14、已知a13

5、, an3n 1“3n 2an (n5、已知a11,an6、已知数列7、已知数列2 )，求 an .n ,an,求 an.n 12,求数列an的通项公式。1)，求 an.n(an 1 an) (n N )，求数列 an通项公式。an满足a11, an 12nan，求通项公式 耳?an满足an 1 2(n 1)5n an, a1 3，求数列a.的通项公式。anananan22n n23n63n 1annn2 n2 22 n nan 3 n! 2n 1 5 28、已知数列an,满足a1=1 , an Q2a2 3a3(n 1)an i (n2)求an.1n an n!n29、设an是首项为1的正项

6、数列， 且22(n + 1) a n 1 - na n +an+1 an = 0 (n = 1 ,2, 3,)，求 an.an10、数列an的前n项和为Sn,且a11 , & = n2an(n N*)，求数列an的通项公式.an类型三：an 1 AanB(其中A,B为常数A 0,1)解决方法待定常数法可将其转化为an 1BA(an t)，其中t -，则数列aA 1t为公比等于A的等比数列，然后求an即可。【例1】在数列an中，ai1,当n 2时，有an3an 12，求数列 an的通项公式。解析：设an t 3an1 t ,则 an3an 1 2t ,是an3 an 11an 1是以ai2为首项

7、,3为公比的等比数列。an 2 3n1 1.课墅还1、在数列an中，印1,an 13，求数列an的通项公式.an3n 22、若数列的递推公式为 a11,an 12an2(n 捏*)，则求这个数列的通项公式an 22n13、已知数列 a n中,a 1 =1,an+ 1 (n 2)求通项a n an24、在数列an(不是常数数列)中,an11an2 且 a213，求数列an的通项公式.an4 13121n35、在数列 an中，a11,an3 an1,求 an.an6、已知数列an满足a11,an 12an1(n N ).求数列an的通项公式。an2n27、设二次方程 anx an+1.x+1=0(

8、n N)有两根 a和且满足 6 a 2 a3 +6. 3 =3(1)试用an表示a n 1;an 112an(2)求证：数列 an 2是等比数列;3(3)当耳 7时，求数列 an的通项公式。638在数列an中，Sn为其前n项和，若a1 2 ,a2 2，并且Sn1 302Sn 110(n 2),试判断 an(n是不是等比数列？c例题讲解类型四：Aan 1 Ban Can 1 0；其中A,B,C为常数,且ABC可将其转化为A an 1anan(*)的形式，列出方程组 A解出，；还原到(*)式，则数列 a1 an是以a?a为首项,为公比的等比数列，然后再结合其它方A法，就可以求出an。【例1】在数列

9、an 中, a12,a?4，且an 13an2an 12求数列an的通项公式。解析：令an 1an(anan i),(n2)得方程组解得1,2,an 1an2 anan 1则数列an 1an是以a?d为首项，以2为公比的等比数列,an 1an22n1 2n,a3a2a4a322223ana12(12n1) 2“ 2.an an 1nan 2 n评注：在 Aan 1Ban Can 1 0；其中A,B,C为常数，且AA+B+C=O,则一定可以构造an为等比数列。【例2】已知a 2、a23, an 16an 1 an (n 2)，求 an解析:令an 1anan an 1n 2，整理得an 1ana

10、n 1，3,an 1 3ana2 3a1an 13 an9亠n 1n22 243,9bn24两边同除以2n 1得, 令少b ,儿人335令1 t 2bn t，得1彳七592t 4, t9 9,bn i10 10bn910故bn910是以b1910ai910为首项，3为公比的等比数列。10 -bn910910n 13 ,2得an9102n1、已知数列an中,a11，a22，an 2n，求 an .an2、已知a1=1,5a 2=,352an2 = 3an1-3an，求数列 an的通项公式an.an3、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n1,2,),1 ,设数列bnan

11、1 2an ( n1,2，），求证：数列bn是等比数列;设数列Cn），求证:数列cn是等差数列;求数列an的通项公式及前n项和。an 2n 1 3(n1) 2n2；Sn(3n1)2n 24、数列an3an 2 5an 1 2an 0(n1,n N),a1a，a2 b，求数列 an的通项公式。an 3b 2a3(ab)i类型五:an 1 pan f（n） （ p 0且 p 1）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。1【例1】设在数列 an中，a1 1, an _an 1 2n 1 n 2求数列 an的通项公式。解析：设bn anAn b,anAnanA 2 0展开后比较得2A2

12、1这时bn2且bnan4nbn1bn是以3为首项，以 为公比的等比数列,2an4n6， an 34n6.【例2】在数列an中,an2an1 2n求数列an的通项公式。解析：Tan 2an 12am 2n 1 中，先取掉 2n，得 an 2am 1an12nan2nn 11.评注：若f(n)中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。【例4】 已知数列an满足an 1 3an5 2n 4，a1 1，求数列an的通项公式。an2an 1n 12 ，两边同除以2n得an2nan 12n12an 歹是以Ol =1为首项，22为公差的等差数列。an2n1 n12 2n 1即an2n2n

13、1【例3】在数列an中，a,5，an2 an12n1 n2,n*N求数列an的通项公式。2* 1令an2 an 1，得1，即On12(an i1)；然后再加上2n得an12 an i 12n ；an12 an i 12n，解析：在an两边同除以2n，得:1a;n111；an 1 口 a11n n 是以12为首项,1为公差的等差数列。2 2解析：在an 1 3an 5 2n 4中取掉5 2n待定令 an 1 t 3 an t，则 a. 1 3a. 2t2t 4, t 2 ；an 1 2 3 an 2 ,再加上 5 2n 得,am 2 3an 25 2n，整理得：+3 an 25n2 2 2人an

14、2n令 2n1bn ,则 bn 1令bn 1t3 bn t ,2t5It 5:223bn5 ；即bn 152数列bn 5是以bn 13,5bn223t ；b 1bn;225 ai 2513为首项,3为公比的等比数列。2 2 2bn 513 37 2an13 3n 1 5 2n 2c课圣演练1、设数列an的前n项和Sn4 an 12n1 2 n 1,n333，求数列an的通项公式an4n2、已知数列 a中，a1,点n,2an 1 an在直线y x上，其中n 1,2,32(1)令bnan 141,求证:数列bn是等比数列(2)求数列an的通项32n3、 已知 a1 2， an 1 4an 2n 1

15、，求 an。4、 设数列 an ：a1 4,an 3an 1 2n 1, (n 2)，求 an.5、 已知数列an满足a1 2,an 1 2an (2n 1)，求通项an。36、 在数列an中，a1 一，2an a. 1 6n 3，求通项公式a.。25 1117、 已知数列 an 中，a1一，a“1 a. ( )n ，求 a“。6 328、已知数列an ,a1=1,nN,a.1 = 2a n+ 3 n,求通项公式an -9、已知数列an满足an13an23n1,a13,求数列a“的通项公式。10、 若数列的递推公式为 a1 1,an 1 3an 2 3n 1(n 捏)，则求这个数列的通项公式。

16、n 111、 已知数列 an满足a1 1a 1 3an 2 ，求an。4nn2n 1an 4 3 n 1an 5 2n 1 2n 1anan92n22an 3n 2n5 n 1an (2n) 36 2an 3n(f 2n)an5 3n12n112、已知数列an满足an! 2an 3 2n ,2，求数列a.的通项公式耳 (3n 1) 2n 113、已知数列an满足an 12an3 5n，a16，求数列an的通项公式。an 5n 2n 114、已知a-i1,anan 12n1，求 an.2n 1 an315、已知an中，q 1，an2an 12n(m3 2)，求 % i1an 2 n ?16、已知

17、数列a.中，Sn是其前n项和，并且Sn i4a.2(n1,2,),1，设数列bn an 1 2an(n 1,2,)，求证：数列 0是等比数列；a设数列Cn，(n 1,2,)，求证：数列cn是等差数列；2求数列an的通项公式及前n项和an 2n 1 3(n 1) 2n 2; Sn (3n 1) 2n 2题讲解解决方法类型六：an 1【例1】已知aC 习(C p d0)，求 an.倒数法pan d4，an 122 anan11解析：两边取倒数得：11，设bn,则 bn 1Sn 1 ；an 12anan2令 bn 1 t1(bn t)；展开后得,t2 .bn12 12bn2 2bn2是以bj2127

18、为首项，1丄为公比的等比数列a14271 n11n 171n 1bn2;即2，得 ann 24 2an4 22n 27评注:去倒数后，一般需构造新的等差 (比)数列o课堂演练1 11、若数列的递推公式为q 3,2(n Ian 1an),则求这个数列的通项公式。3an 7 6n2、已知数列 an满足a11,n 2 时，an1 an 2an 1 an,求通项公式 an。an 2n 13、已知数列an满足：anan 13 an 11,求数列an的通项公式。113n 24、设数列an满足a12,an 1三，求an.an 3an5、已知数列 an满足ai=1,an 13an，求 an o3an 61an

19、 2n 16、在数列an中,a12,an 13a nan 3，求数列an的通项公式an62n 17、若数列an中，a1 =1,ann求通项anan解决方法类型七:anSn(nSn 1 (n1)2)【例1】已知数列an前n项和Snan1尹.1求an1与an的关系；(2)求通项公式an.解析：1 1 n 1时，a14 ai2，得 ai1;snsn 1an24 an12* 3 ；/曰11得an1 2an 歹o(2)在上式中两边同乘以2n 1 得 2n1 an 12n an数列2nan是以21a12为首项,2为公差的等差数列；2nan 2 2n 2 2n ；得 ann2* 1 .课堂演练1、数列 an

20、的前N项和为Sn, a1 = 1 , an+1=2Sn(n N ).求数列an的通项an.an 3n11 22、 已知在正整数数列an中,前n项和Sn满足Sn(an 2)，求数列an的通项公式.83、已知数列 an的前n项和为Sn = 3n -2,求数列an的通项公式.an 4n 2an1 (n 1)2 3n 1(n 2)4、设正整数an的前n项和Sn= -(an1)2,求数列an的通项公式。an3n145、 如果数列an的前n项的和Sn =3an 3,求这个数列的通项公式。an = 2 3n26、 已知无穷数列 an的前n项和为Sn，并且an q 1(n N*),求an的通项公式？an 2

21、n类型八：周期型12an,(0an)【例1】若数列an满足an 12 6,，若a1二，则a20的值为1 72an1,( an D2解析：根据数列an的递推关系得它的前几项依次为:6 5 3 6 5 3 656,5,3,6,5,3,6;我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期，a20 a2 5。77777777评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题迎刃而解。a j 3*1、已知数列an满足 &10, an 1(nN)，则 a20 =( B )V3an12、在数列an中,a1 1,a25,an 2 an 1 an,求as.C例题營类型九、利

22、用数学归纳法求通项公式a1998-4【例1】 已知数列an满足an 18(n1)22,(2n 1) (2n 3)a18,求数列an的通项公式。an9(2n 1)2 1(2n 1)2解析： 根据递推关系和 a 8得，a2,a3 48,92549所以猜测an2,(2n1) 21，下面用数学归纳法证明它(2n 1)21 n 1时成立（已证明）2假设n k （k 2）时，命题成立，即ak(2 k 1)2 1(2k 1)2则 n k 1 时，ak 128(k 1)(2k 1)1(2 k 1)2(2k 3)2 = (2 k 1)28 k 122k 1 2k43216k4 64 k384 k244k 82

23、22k 1 2k 32 22k 1 2k 31222k 1 2k 322k 3122k 3n k 1时命题成立；由1 2可知命题对所有的n N*均成立。评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法1。设数列an满足：an 12annan 1，且印 2，则a.的一个通项公式为ann 1，2、已知an是由非负整数组成的数列，满足a1 0，a2 3，an 1（1）求 a3;（2） 证明anan 2 2 （ n=3 , 4, 5）；（数学归纳法证明）(an 12)n 22) (n=3 , 4, 5 )。a3 = 2（3）求an的通项公式及前 n项的和。an（n为奇数）. （n为偶数）52n n 222n n2（n为奇数）（n为偶数）3a3、已知数列 an中a1= , an 1 n52an 1(1)计算a2,a3, a4。333 11 17 23（2）猜想通项公式 an ,并且数学归纳法证明an6n 1课后反思：课堂检测听课及知识掌握情况反馈。测试题（累计不超过20分钟）道：成绩；教学需：加快保持放慢口；增加内容口课后巩固作业题；巩固复习：预习布置签字教学组长签字：学习管理师：老师 课后 赏识 评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：