常用的电路定理学习教案

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1、会计学1常用的电路常用的电路(dinl)定理定理第一页，共79页。3.1 叠加定理叠加定理(dngl)和齐次定理和齐次定理(dngl) 3.1.1 叠加定理叠加定理 图 3.1 - 1 说明(shumng)叠加定理的一个例 第1页/共79页第二页，共79页。如求电流i1，我们(w men)可用网孔法。设网孔电流为iA, iB。由图可知iB=is，对网孔A列出的KVL方程为 ssAuiRiRR221)(ssAiRRRRRui21221 如令 ， 则可将电流(dinli)i1写为 )/(),/(2111211RRiRiRRuiss111iii第2页/共79页第三页，共79页。 叠加定理可表述为：

2、在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应(电压或电流)都可以看成是各个(gg)独立电源单独作用时，在该支路中产生响应的代数和。 设该电路(dinl)的网孔方程为 smmmmmmmsmmsmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2211222222121111212111(3.1-2)第3页/共79页第四页，共79页。根据(gnj)克莱姆法则，解(3.1 - 2)式求i1 mmmmmmRRRRRRRRR212222111211smmmsjjjssmmmsmmmsmsuuuuRRuRRuRRu112221111122222211211(3.1 - 3) 第4页/共

3、79页第五页，共79页。(3.1-3)式中：j1为中第一列第j行元素对应(duyng)的代数余子式，j=1, 2, , m，例如 mmmmmmRRRRRRRRR3233323223221111) 1(mmmmmmRRRRRRRRR3233332113121221) 1(第5页/共79页第六页，共79页。usjj为第j个网孔独立(dl)电压源的代数和， 所以 smmmssuuui12221111111 若令k11=11/，k21=21/，km1=m1/，代入(3.1-4)式，得 smmmssukukuki1221211111式中，k11, k21, ，km1是与电路结构、元件参数及线性受控源有关

4、(yugun)的常数。 第6页/共79页第七页，共79页。 在应用叠加定理时应注意： (1) 叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算功率。 (2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量的叠加，应特别注意各代数量的符号 (3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立理想电压源短路，独立理想电流源开路) 。 (4) 若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用(这是劝告! 若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化)，在独立源每次单独作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的变化(binhu)而变化(binhu)。 (5) 叠加的方式是任意的，可

5、以一次使一个独立源单独作用， 也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便与否。 第7页/共79页第八页，共79页。例例 3.1 1 如图如图3.1 - 2(a)所示电路，求电压所示电路，求电压(diny)uab和电流和电流i1。 图 3.1 - 2 例3.1 - 1用图 第8页/共79页第九页，共79页。AiVuab1363393 13/61ViuAiab82626126623612611AiiiVuuuababab3211789111 由叠加定理得解解 第9页/共79页第十页，共79页。例例3.1-2 如图如图3.1 - 3(a)电路，含有电路，含有(hn yu)一受

6、控源，求电流一受控源，求电流i, 电压电压u。 例3.1- 3 例3.1-2用图 第10页/共79页第十一页，共79页。解解 02)5(126233,2321,12210iiiViuAiiiiuiiVuuuAiiiViuAi8261) 1(22) 1(22,1第11页/共79页第十二页，共79页。3.1.2 齐次定理齐次定理(dngl) 齐次定理(dngl)表述为：当一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用于线性电路，其任意支路的响应(电压或电流)与该激励源成正比。 0, 0,2211smmsssuuuusuki111 线性电路中，当全部激励(jl)源同时增大到 (K为任意常数) 倍，其电路中

7、任何处的响应 (电压或电流) 亦增大到K倍。 第12页/共79页第十三页，共79页。 例例3.1 3 图图3.1 - 4为一线性纯电阻网络为一线性纯电阻网络NR，其内部结构不详。已知两激励源，其内部结构不详。已知两激励源us、is是下列数值是下列数值(shz)时的实验数据为时的实验数据为 当当us=1V，is=1A时，响应时，响应u2=0; 当当us=10V，is=0时，时，u2=1V。 问当问当us=30 V，is=10 A时，响应时，响应u2=? 图 3.1-4 例3.1 - 3用图第13页/共79页第十四页，共79页。解解 ssikuku212式中：k1，k2为未知的比例常数，其中(qz

8、hng)k1无量纲，k2的单位为。 10100112121kkkk1 . 0, 1 . 011kkVu210) 1 . 0(301 . 02第14页/共79页第十五页，共79页。3.2 置换置换(zhhun)定理定理 图 3.2-1 平衡(pnghng)电桥电路 第15页/共79页第十六页，共79页。6) 36/()126(bdR 图3.2-1(a)为一平衡电桥电路，桥路上(l shng)电流ig=0，桥路两端电压uac=0, 若要计算电流i，先来计算等效电阻Rbd。因ig=0， 故可以将Rg开路，如(b)图，于是得 另一方面，由于Rg两端电压uac=0，所以(suy)又可将Rg短路，如(c)

9、图，从而有 63/66/12bdR第16页/共79页第十七页，共79页。 置换定理(又称替代定理)可表述为：具有唯一解的电路(dinl)中，若知某支路k的电压为uk，电流为ik，且该支路与电路(dinl)中其他支路无耦合,则无论该支路是由什么元件组成的，都可用下列任何一个元件去置换： (1) 电压等于uk的理想电压源； (2) 电流等于ik的理想电流源； (3) 阻值为uk/ik的电阻。 第17页/共79页第十八页，共79页。图 3.2-2 置换(zhhun)定理示意图第18页/共79页第十九页，共79页。图 3.2- 3 验证置换定理正确性的一个(y )电路 第19页/共79页第二十页，共7

10、9页。Vvuvaaba468242111设出各支路电流i1, i2, i3，由图可见i1=8A, 由欧姆定律得i2=uab/1=4/1=4A，再由KCL得i3=i1-i2=8-4=4A。这些(zhxi)结果的正确性无可置疑。 如图3.2-3(a)所示电路，我们先应用节点法计算出各支路电流(dinli)及ab支路电压。列写节点方程，得 第20页/共79页第二十一页，共79页。例例 3.2-1 对图对图3.2-4(a)所示电路所示电路(dinl)，求电流，求电流i1。 图 3.2-4 Ai5 . 26871解解 第21页/共79页第二十二页，共79页。例例3.2 2 如图如图3.2-5所示电路所示

11、电路(dinl)，已知，已知uab=0，求电阻，求电阻R。 图 3.2-5 例3.2- 2用图 第22页/共79页第二十三页，共79页。解解 Aiiuab1033如果根据已知的uab=0的条件(tiojin)求得ab支路电流i，即 对节点(ji din)a列方程 120414121avVva8解之， 得 因uab=0，所以(suy)vb=va=8V。 第23页/共79页第二十四页，共79页。在(a)图中设出支路电流(dinli)i1, iR，电压uR。由欧姆定律及KCL，得6212128202111188811RRbcRRbiuRVvvuAiiAvi第24页/共79页第二十五页，共79页。3.

12、3 戴维南定理戴维南定理(dngl)与诺顿定理与诺顿定理(dngl) 3.3.1 戴维南定理戴维南定理(dngl) 一个含独立源、线性受控源、线性电阻(dinz)的二端电路N，对其两个端子来说都可等效为一个理想电压源串联内阻的模型。其理想电压源的数值为有源二端电路N的两个端子间的开路电压uoc，串联的内阻为N内部所有独立源等于零(理想电压源短路，理想电流源开路)，受控源保留时两端子间的等效电阻(dinz)Req，常记为R0 第25页/共79页第二十六页，共79页。图 3.3-1 戴维南定理(dngl)示意图 第26页/共79页第二十七页，共79页。 图 3.3-2 求开路电压(diny)电路

13、第27页/共79页第二十八页，共79页。(1) 开路(kil)、短路法。 图 3.3-3 求短路(dunl)电流电路 scociuR 0第28页/共79页第二十九页，共79页。(2) 外加(wiji)电源法。 iuRReq0图 3.3-4 外加电源(dinyun)法求内阻R0 第29页/共79页第三十页，共79页。图 3.3-5 二端(r dun)电路N接负载电路 uuu第30页/共79页第三十一页，共79页。图 3.3-6 证明(zhngmng)戴维南定理用图 ocuu iRuuiRuoco0第31页/共79页第三十二页，共79页。图 3.3-7 戴维南等效(dn xio)源模型图 第32页

14、/共79页第三十三页，共79页。 3.3.2 诺顿定理诺顿定理 诺顿定理诺顿定理(Nortons Theorem)可表述为：一可表述为：一个含独立电源、线性受控源和线性电阻个含独立电源、线性受控源和线性电阻(dinz)的二端电路的二端电路N，对两个端子来说都可等效为一个理，对两个端子来说都可等效为一个理想电流源并联内阻的模型。其理想电流源的数值想电流源并联内阻的模型。其理想电流源的数值为有源二端电路为有源二端电路N的两个端子短路时其上的电流的两个端子短路时其上的电流isc，并联的内阻等于，并联的内阻等于N内部所有独立源为零时电内部所有独立源为零时电路两端子间的等效电阻路两端子间的等效电阻(di

15、nz)，记为，记为R0。 第33页/共79页第三十四页，共79页。图 3.3-8 诺顿定理(dngl)示意图 第34页/共79页第三十五页，共79页。图 3.3-9 证明(zhngmng)诺顿定理简图 第35页/共79页第三十六页，共79页。 例3.3-1 图3.3-10(a)所示电路，负载电阻RL可以(ky)改变，求RL=1其上的电流i；若RL改变为6， 再求电流i。 图 3.3-10 例3.3-1用图 第36页/共79页第三十七页，共79页。 解解 (1) 求开路求开路(kil)电压电压uoc。自。自a, b处断开待求支路处断开待求支路(待求量所在的支路待求量所在的支路)，设，设uoc参考

16、方向如参考方向如(b)图所示。由分压关系求得图所示。由分压关系求得 Vuoc42444424366 (2) 求等效内阻R0。将(b)图中电压源短路，电路变为(c)图。应用(yngyng)电阻串并联等效，求得 44/43/60R第37页/共79页第三十八页，共79页。 (3) 由求得的uoc，R0画出等效电压源(戴维南电源)，接上待求支路，如(d)图所示。注意画等效电压源时不要将uoc的极性画错。若a端为所设开路电压uoc参考方向(fngxing)的“+”极性端，则在画等效电压源时使正极向着a端。由(d)图求得 Ai11414 由于RL在二端电路之外，故当RL改变为6时，二端电路的uoc,R0均

17、不变化，所以(suy)只需将图(d)中RL由1变为6， 从而可以非常方便地求得此时电流 Ai5 . 06414第38页/共79页第三十九页，共79页。例例 3.3-2 对图对图3.3-11(a)所示电路所示电路(dinl)，求电压，求电压u。图 3.3-11 第39页/共79页第四十页，共79页。 解解(1) 求短路电流求短路电流isc。自。自a, b断开电流源，再将断开电流源，再将a, b短路，短路， 设设isc参考方向如参考方向如(b)图所示。由电阻图所示。由电阻(dinz)串并联等效、分流关系及串并联等效、分流关系及KCL可求得可求得 Aisc363366/32466636/624(2)

18、 求等效(dn xio)内阻R0。Vu164) 13(466/3/63/60R(3) 画出诺顿等效(dn xio)电源， 第40页/共79页第四十一页，共79页。 例例 3.3-3 对图对图3.3-12(a)所示电路所示电路(dinl)，求负载电阻，求负载电阻RL上消耗的功率上消耗的功率pL。 图 3.3-12 例3.3-3用图 第41页/共79页第四十二页，共79页。解解 (1) 求uoc。 40100200100111iiiViuAioc101 . 0100100,1 . 011所以(suy) (2) 求R。 Aiscii4 . 0100400200011254 . 0100scociuR

19、第42页/共79页第四十三页，共79页。再用外加(wiji)电源法求R0。 uuuiiuiui10031001002001002001002121 uuuiii251100310021 250iuR第43页/共79页第四十四页，共79页。 (3) 画出戴维南等效(dn xio)源，接上待求支路，如(f)图。 由图可得 ARRuiLocL25255010500所以负载RL上消耗(xioho)的功率 WiRpLLL202522第44页/共79页第四十五页，共79页。3.4 最大功率传输最大功率传输(chun sh)定理定理 图 3.4-1 等效电压(diny)源接负载电路 第45页/共79页第四十

20、六页，共79页。LocRRui0202LocLLLRRuRiRp为了(wi le)找pL的极值点，令dpL/dRL=0， 即 0)()(2)(400202RRRRRRRudRdpLLLLocLL0RRL02max4RupocL第46页/共79页第四十七页，共79页。图 3.4-2 等效电流(dinli)源接负载电路 20max41scLiRp通常(tngchng)，称RL=R0为最大功率匹配条件。 第47页/共79页第四十八页，共79页。 例例 3.4-1 如图如图3.4-3所示电路所示电路(dinl)，若负载，若负载RL可以任意改变，问负载为何值时其上获得的功率为最大可以任意改变，问负载为何

21、值时其上获得的功率为最大? 并求出此时负载上得到的最大功率并求出此时负载上得到的最大功率pLmax。 解解 (1) 求uoc。从a,b断开RL，设uoc如(b)图所示。在(b)图中，应用电阻并联分流(fn li)公式、欧姆定律及KVL求得 Vuoc1218333314848444第48页/共79页第四十九页，共79页。图 3.4-3 例3.4-1用图 第49页/共79页第五十页，共79页。(2) 求R0。令(b)图中各独立(dl)源为零，如(c)图所示，可求得 6) 33/(38/)44(0R (3) 画出戴维南等效源，接上待求支路(zh l)RL，如(d)图所示。 由最大功率传输定理知，当

22、60RRL时其上获得最大功率。 此时(c sh)负载RL上所获得的最大功率为 WRupocL664124202max第50页/共79页第五十一页，共79页。 例3.4-2 如图3.4-4(a)所示电路，含有一个电压控制的电流源，负载电阻RL可任意改变(gibin)，问RL为何值时其上获得最大功率? 并求出该最大功率pLmax。 图 3.4-4 例3.4-2用图 第51页/共79页第五十二页，共79页。 解解 (1) 求求uoc。自。自a, b断开断开(dun ki)RL并设并设uoc， 如如(b)图所示。图所示。 在在(b)图中设电流图中设电流i1, i2。由欧姆定律得。由欧姆定律得 20,2

23、021RRuiui221iiViuAiioc60201202020201021211又由KCL得 所以(suy) 第52页/共79页第五十三页，共79页。 (2) 求R0。令(b)图中独立源为零，受控源保留，并在a, b端加电流源i如(c)图所示。有关电流电压参考(cnko)方向标示在图上。类同(b)图中求i1，i2，由(c)图可知 iiiuiii202120102121所以(suy) 200iuR第53页/共79页第五十四页，共79页。(3) 由最大功率传输(chun sh)定理可知 200RRL时，其上可获得(hud)最大功率。 此时负载RL上获得(hud)的最大功率为 WRupocL45

24、204604202max第54页/共79页第五十五页，共79页。 例例 3.4-3 如图如图3.4-5(a)所示电路，负载电阻所示电路，负载电阻RL可任意改变可任意改变(gibin)，问，问RL=? 时其上获最大功率，并求出该最大功率时其上获最大功率，并求出该最大功率pLmax。 解解 (1) 求isc。自a, b断开RL，将其短路并设isc如(b)图。由(b)图， 显然(xinrn)可知 ，则 即受控电压源等于零，视为短路，如(c)图所示。应用叠加定理，得 01 i0301 iAisc211030第55页/共79页第五十六页，共79页。 (2) 求R0。令(b)图中独立源为零、受控源保留，a

25、, b端子(dun z)打开并加电压源u，设 、 及i如(d)图所示。由(d)图，应用欧姆定律、KVL、KCL可求得 1i 2i 1560420160120110601301030601021121iuRuuuiiiuuuiuiui第56页/共79页第五十七页，共79页。图 3.4-5 例3.4-3用图 第57页/共79页第五十八页，共79页。3.5 互易定理互易定理 互易定理可表述(bio sh)为：对一个仅含线性电阻的二端口，其中，一个端口加激励源，一个端口作响应端口(所求响应在该端口上)。在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同，这就是互易定理。 第5

26、8页/共79页第五十九页，共79页。图 3.5-1 互易定理形式(xngsh) 第59页/共79页第六十页，共79页。 (1) 在图3.5-1(a)中，电压源激励us1加在网络NR的1-1端，以网络NR的2-2端的短路电流i2作响应(xingyng)。在图3.5-1(b)(互易后电路)中，电压源激励us2加在网络NR的2-2端，以网络NR的1-1的短路电流i1作响应(xingyng)，则有 2112ssuiui(3.5-1)若特殊(tsh)情况，令us2=us1 21ii 第60页/共79页第六十一页，共79页。图 3.5-2 互易定理形式(xngsh) 第61页/共79页第六十二页，共79页

27、。 (2) 在图3.5-2(a)(互易前网络)中，电流(dinli)源激励is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端开路电压u作响应；在图3.5- 2(b)(互易后网络)中，电流(dinli)激励源is2加在NR的2-2端，以NR1-1端的开路电压u1作响应，则有 2112ssiuiu 若特殊情况，令is2=is1(相当于激励(jl)源is1从NR的1-1端移动到NR的2-2端) 21uu 第62页/共79页第六十三页，共79页。 (3) 在互易前网络图3.5-3(a)中，激励源is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端短路电流(dinli)作响应；在互易后网络图3.5-3(b)中，激励源us

28、2加在NR的2-2端，以NR的1-1端开路电压u1作响应，则有 2112ssuuii 对于互易网络，互易前网络响应i2与激励is1的比值等于互易后网络响应u1与激励us2的比值。 若特殊(tsh)情况，令us2=is1(同一单位制下，在数值上相等)，则有 u1=i2 （在数值上相等） 第63页/共79页第六十四页，共79页。图 3.5-3 互易定理形式(xngsh) 第64页/共79页第六十五页，共79页。互易定理的证明互易定理的证明(zhngmng) 图 3.5-4 证明(zhngmng)互易定理用图 第65页/共79页第六十六页，共79页。在(a)图中列写网孔方程(fngchng)为 00

29、2122221111211MmmBmAmMmBAsMmBAiRiRiRiRiRiRuiRiRiR1122sBuiimmmmmmmmmmmmRRRRRRRRRRRRRRRRRR31333312232112212222111211,第66页/共79页第六十七页，共79页。002122222111211MmmBmAmsMmBAMmBAiRiRiRuiRiRiRiRiRiR2211sAuiimmmmmmmmmmmmRRRRRRRRRRRRRRRRRR32323321131212212222111211,第67页/共79页第六十八页，共79页。因互易前(a)图与互易后(b)图电路拓扑结构一样，网孔个数及

30、序号互易前后两网络也一样，仅网孔电流相反，所以有： (a)图中Rjj等于(b)图中Rjj(j=1, 2, , m)； (a)图中Rjk等于(b)图中Rjk(j, k=1, 2, m)。所以(a)图的等于(b)图的。又NR内不含受控源，所以有Rjk=Rkj(j, k=1, 2, , m)，因此，行列式中各元素(yun s)对主对角线对称，从而使代数余因式 21122112sskjjkuiui第68页/共79页第六十九页，共79页。 应用互易定理分析电路时应注意以下几点： (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变， 仅理想电压源(或理想电流源)搬移，理想电压源所在支路中电阻仍保留在原支路中。

31、 (2) 互易前后电压源极性与1 1、 2 2支路电流的参考方向(fngxing)应保持一致(要关联都关联，要非关联都非关联)。 (3) 互易定理只适用于一个独立源作用的线性电阻网络， 且一般不能含有受控源。 第69页/共79页第七十页，共79页。例例 3.5-1 如图如图3.5-5(a)电路电路(dinl)，求电流，求电流i2。 图 3.5-5 例3.5-1用图 第70页/共79页第七十一页，共79页。解解 Ai34/46/32182AiiiAiiAii5 . 05 . 1223326365 . 13214443412423Aii5 . 012第71页/共79页第七十二页，共79页。 例 3

32、.5-2 有一线性无源电阻网络NR，从NR中引出两对端子供联接电源和测试时使用。当输入端1-1接以2A电流(dinli)源时，测得输入端电压u1=10V，输出端2-2开路电压u2=5V， 如图3.5-6(a)所示。若把电流(dinli)源接在输出端，同时在输入端跨接一个5的电阻，如图(b)所示，求流过5电阻的电流(dinli)i。 5210210uRAi5 . 0555解解 第72页/共79页第七十三页，共79页。图 3.5-6 例3.5-2用图 第73页/共79页第七十四页，共79页。3.6 小小 结结 (1) 叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征， 它的重要(zhngyo)性不仅在于可用叠

33、加法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。叠加定理作为分析方法用于求解电路的基本思想是“化整为零”，即将多个独立源作用的较复杂的电路分解为一个一个(或一组一组)独立源作用的较简单的电路，在各分解图中分别计算， 最后代数和相加求出结果。若电路含有受控源，在作分解图时受控源不要单独作用。齐次定理是表征线性电路齐次性(均匀性)的一个重要(zhngyo)定理，它常辅助叠加定理、戴维南定理、诺顿定理来分析求解电路问题。 第74页/共79页第七十五页，共79页。 (2) 依据等效概念，运用各种等效变换(binhun)方法，将电路由繁化简，最后能方便地求得结果的分析电

34、路的方法统称为等效法分析。第一章中所讲的电阻、电导串并联等效，独立源串并联等效，电源互换等效，-T互换等效；本章中所讲的置换定理，戴维南定理，诺顿定理都是应用等效法分析电路中常使用的等效变换(binhun)方法。这些方法或定理都是遵从两类约束(即拓扑约束KCL、 KVL约束与元件VAR约束)的前提下针对某类电路归纳总结出的，读者务必理解其内容，注意使用的范围、条件、熟练掌握使用方法和步骤。 第75页/共79页第七十六页，共79页。 (3) 置换定理(dngl)(又称替代定理(dngl)是集总参数电路中的一个重要定理(dngl)，它本身就是一种常用的电路等效方法，常辅助其他分析电路法(包括方程法

35、、 等效法)来分析求解电路。对有些电路， 在关键之处、在最需要的时候，经置换定理(dngl)化简等效一步，使读者会有“豁然开朗”或“柳暗花明又一村”之感(如节3.2例3.2 1(a)#, (c)图)。 在测试电路或实验设备中也经常应用置换定理(dngl)。 第76页/共79页第七十七页，共79页。 (4) 戴维南定理、诺顿定理是等效法分析电路最常用的两个定理。解题过程可分为三个步骤： 求开路电压或短路电流(dinli)； 求等效内阻； 画出等效电源接上待求支路，由最简等效电路求得待求量。 (5) 最大功率这类问题的求解使用戴维南定理(或诺顿定理)并结合使用最大功率传输定理最为简便。20max02max0414scLocLLiRpRupRR功率匹配(ppi)条件： 最大功率(gngl)公式： 第77页/共79页第七十八页，共79页。(6) 方程法、 等效法是电路中相辅(xin f)相承的两类分析法。 (7) 本章(bn zhn)末介绍了互易定理。 第78页/共79页第七十九页，共79页。