人教版 高中数学【选修 21】 课时跟踪检测：三合情推理

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1、2019 学年人教版高中数学选修精品资料课时跟踪检测（三） 合情推理层级一层级一学业水平达标学业水平达标1观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.BC.D解析解析：选选 A观察可发现规律观察可发现规律：每行每行、每列中每列中，方方、圆圆、三角三三角三种种形状均各出现一次，形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果每行、每列有两阴影一空白，即得结果2下面几种推理是合情推理的是下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内由直角三角形、等腰三

2、角形、等边三角形的内角和是角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是归纳出所有三角形的内角和都是 180；教室内有一把椅子坏了教室内有一把椅子坏了，则猜想则猜想该教室内的所有椅子都坏了该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是三角形内角和是 180，四边形内角和是四边形内角和是 360，五边形内五边形内角和是角和是 540，由此得出凸，由此得出凸 n 边形的内角和是边形的内角和是(n2)180(nN*，且，且 n3)ABCD解析：解析：选选 C是类比推理；是类比推理；是归纳推理，是归纳推理，都是合情推理都是合情推理3在平面上在平面上，若两个正三角形的边长的比为若两个正三角形的边长的比为 12，

3、则它们的面积比为则它们的面积比为 14，类似地类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为，则它们的体积比为()A12B14C18D116解析：解析：选选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积之，则它们的体积之比为比为 18.4类比平面内类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相

4、平行”的性质的性质，可推出下列空间结可推出下列空间结论：论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是中正确的结论是()ABCD解析解析：选选 B根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，是正确的结论是正确的结论5观察下列各等式观察下列各等式：2246642，5543342，7741142，

5、101042242，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn48n(8n)42B.n1(n1)4(n1)5(n1)42C.nn4n4(n4)42D.n1(n1)4n5(n5)42解析解析：选选 A观察发现观察发现：每个等式的右边均为每个等式的右边均为 2，左边是两个分数相加左边是两个分数相加，分子之和等分子之和等于于8，分母中被减数与分子相同，减数都是，分母中被减数与分子相同，减数都是 4，因此只有，因此只有 A 正确正确6观察下列等式观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第照此规律，第 n 个等式为个等式

6、为_解析解析：观察所给等式观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为加数的个数为 2n1，故第故第 n行等式左边的数依次是行等式左边的数依次是 n，n1，n2，(3n2)；每一个等式右边的数为等式左边加；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第数个数的平方，从而第 n 个等式为个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27我们知道我们知道：周长一定的所有矩形中周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆周长一定的所有矩形与圆中中，圆的面积最大圆的面积

7、最大，将这些结论类比到空间将这些结论类比到空间，可以得到的结论是可以得到的结论是_解析：解析：平面图形与立体图形的类比：周长平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形表面积，正方形正方体，面积正方体，面积体积，体积，矩形矩形长方体，圆长方体，圆球球答案：答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大球中，球的体积最大8如图如图(甲甲)是第七届国际数学教育大会是第七届国际数学教育大会(简称简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案的会徽图案，会徽的主体图案是由如图是由如图(乙乙)

8、的一连串直角三角形演化而成的，其中的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，如，如果把图果把图(乙乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记中的直角三角形依此规律继续作下去，记 OA1，OA2，OAn，的长度构成的长度构成数列数列an，则此数列，则此数列an的通项公式为的通项公式为 an_.解析解析：根据根据 OA1A1A2A2A3A7A81 和图和图(乙乙)中的各直角三角形中的各直角三角形，由勾股定理由勾股定理，可得可得 a1OA11，a2OA2OA21A1A221212 2，a3OA3OA22A2A23( 2)212 3，故可归纳推测出，故可归纳推测出 an n.

9、答案：答案： n9在平面内观察在平面内观察：凸四边形有凸四边形有 2 条对角线条对角线，凸五边形有凸五边形有 5 条对角线条对角线，凸六边形有凸六边形有 9 条条对角线，对角线，由此猜想凸，由此猜想凸 n 边形有几条对角线？边形有几条对角线？解：解：因为凸四边形有因为凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多条对角线，比凸四边形多 3 条；凸六条；凸六边形有边形有 9 条对角线，比凸五边形多条对角线，比凸五边形多 4 条，条，于是猜想凸，于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸边形的对角线条数比凸(n1)边形多边形多(n2)条对角线条对角线，由此凸由此凸

10、n 边形的对角线条数为边形的对角线条数为 2345(n2)，由等差数由等差数列求和公式可得列求和公式可得12n(n3)(n4，nN*)所以凸所以凸 n 边形的对角线条数为边形的对角线条数为12n(n3)(n4，nN*)10已知已知 f(x)13x 3，分别求分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论般性结论，并证明你的结论解：解：f(x)13x 3，所以所以 f(0)f(1)130 3131 333，f(1)f(2)131 3132 333，f(2)f(3)132 3133 333.归纳猜想一般性结论；归纳猜想一般性结论；

11、f(x)f(x1)33.证明如下：证明如下：f(x)f(x1)13x 313x1 33x1 33x13x1 333x33x113x1 333x133x133x13(1 33x)33.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到类比得到“|ab|a

12、|b|”；“acbcab”类比得到类比得到“acbcab”其中类比结论正确的个数是其中类比结论正确的个数是()A1B2C3D4解析：解析：选选 B由向量的有关运算法则知由向量的有关运算法则知正确，正确，都不正确，故应选都不正确，故应选 B.2类比三角形中的性质：类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半；中位线长等于底边长的一半；(3)三内角平分线交于一点三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的

13、中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有其中类比推理方法正确的有()A(1)B(1)(2)C(1)(2)(3)D都不对都不对解析：解析：选选 C以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确3观察下列式子：观察下列式子：112232，1122

14、13253，112213214274，根据以上式子可，根据以上式子可以猜想：以猜想：112213212 0172()A.4 0312 017B.4 0322 017C.4 0332 017D.4 0342 017解析解析：选选 C观察可以发现观察可以发现，第第 n(n2)个不等式左端有个不等式左端有 n1 项项，分子为分子为 1，分母依次分母依次为为 12,22,32，(n1)2；右端分母为右端分母为 n1，分子成等差数列分子成等差数列，首项为首项为 3，公差为公差为 2，因此因此第第n 个不等式为个不等式为 11221321(n1)22n1n1， 所以当所以当 n2 016 时不等式为时不等

15、式为： 112213212 01724 0332 017.4 设设ABC 的三边长分别的三边长分别为为 a， b， c， ABC 的面积的面积为为 S， 内切圆半径内切圆半径为为 r， 则则 r2Sabc；类比这个结论可知：四面体类比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径，内切球的半径为为 r，四面体，四面体 PABC 的体积为的体积为 V，则，则 r()A.VS1S2S3S4B.2VS1S2S3S4C.3VS1S2S3S4D.4VS1S2S3S4解析解析：选选 C将将ABC 的三条边长的三条边长 a，b，c 类比到四面体

16、类比到四面体 PABC 的四个面面积的四个面面积 S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选，从而可知选 C.证明证明如下：以四面体各面为底，内切球心如下：以四面体各面为底，内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为为顶点的各三棱锥体积的和为 V，V13S1r13S2r13S3r13S4r，r3VS1S2S3S4.5 观察下图中各正方形图案观察下图中各正方形图案， 每条边上有每条边上有 n(n2)个圆圈个圆圈， 每个图案中圆圈的总数是每个图案中圆圈的总数是 S，按此规律推出按此规律推出 S 与

17、与 n 的关系式为的关系式为_解析：解析：每条边上有每条边上有 2 个圆圈时共有个圆圈时共有 S4 个；每条边上有个；每条边上有 3 个圆圈时，共有个圆圈时，共有 S8 个；个；每条边上有每条边上有 4 个圆圈时个圆圈时，共有共有 S12 个个可见每条边上增加一个点可见每条边上增加一个点，则则 S 增加增加 4，S 与与 n的关系为的关系为 S4(n1)(n2)答案：答案：S4(n1)(n2)6可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线如果与一固定直线平行的直线被甲被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为乙两个封闭的图

18、形所截得的线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的那么甲的面积是乙的面积的 k 倍倍你可你可以从给出的简单图形以从给出的简单图形、中体会这个原理中体会这个原理现在图现在图中的两个曲线的方程分别是中的两个曲线的方程分别是x2a2y2b21(ab0)与与 x2y2a2，运用上面的原理，图，运用上面的原理，图中椭圆的面积为中椭圆的面积为_解析：解析：由于椭圆与圆截由于椭圆与圆截 y 轴所得线段之比为轴所得线段之比为ba，即即 kba，椭圆面积椭圆面积 Sa2baab.答案：答案：ab7观察下列两个等式：观察下列两个等式：sin210cos240sin 10cos 4034；sin26cos236s

19、in 6cos 3634.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：解：由由知若两角差为知若两角差为 30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若猜想：若30，则，则30，sin2cos2(3 0)sin cos(30)34.下面进行证明：下面进行证明：左边左边sin2cos(30)cos(30)sin sin232cos 12sin 32cos 12sin sin234cos214sin234右边右边所以，猜想是正确的所以，猜想是正确的故故 sin2cos2(3

20、0)sin cos(30)34.8已知在已知在 RtABC 中中，ABAC，ADBC 于点于点 D，有有1AD21AB21AC2成立成立那么在那么在四面体四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由解解：猜想猜想：类比类比 ABAC，ADBC，可以猜想四面体可以猜想四面体 ABCD 中中，AB，AC，AD 两两两两垂直，垂直，AE平面平面 BCD.则则1AE21AB21AC21AD2.下面证明上述猜想成立下面证明上述猜想成立如图所示，连接如图所示，连接 BE，并延长交，并延长交 CD 于点于点 F，连接，连接 AF.ABAC，ABAD，ACAD=A，AB平面平面 ACD.而而 AF平面平面 ACD，ABAF.在在 RtABF 中，中，AEBF，1AE21AB21AD2.在在 RtACD 中，中，AFCD，1AF21AC21AD2.1AE21AB21AC21AD2，故猜想正确，故猜想正确