人教版 高中数学【选修 21】 教学案：第二章2．22.2.2反证法

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1、2019 人教版精品教学资料高中选修数学22.2反证法预习课本预习课本 P4243，思考并完成下列问题思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？新知初探新知初探反证法的定义及证题的关键反证法的定义及证题的关键点睛点睛对反证法概念的理解对反证法概念的理解(1)反证法的原理是反证法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定”第一个否定是指第一个否定是指“否定结论否定结论(假设假设)”；第第二个否定是指二个否定是指“逻辑推理结果否定逻辑推理结果否定”(2)反证法属反

2、证法属“间接解题方法间接解题方法”2“反证法反证法”和和“证逆否命题证逆否命题”的区别与联系的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法间接证明，都是很好的证明方法(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立而反证区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾小试身手小试身手1判断判断(正确的打正确的打“”

3、“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案：答案：(1)(2)(3)2应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()结论的否定即假设；结论的否定即假设；原命题的条件；原命题的条件；公理、定理、定义等；公理、定理、定义等；原命题的结论原命题的结论ABCD答案：答案：C3如果两个实数之和

4、为正数，则这两个数如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数一个是正数，一个是负数B两个都是正数两个都是正数C至少有一个正数至少有一个正数D两个都是负数两个都是负数答案：答案：C4用反证法证明用反证法证明“如果如果 ab，那么，那么3a3b ”，假设的内容应是，假设的内容应是_答案：答案：3a3b用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题典例典例 已知三个正数已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列求证成等比数列，但不成等差数列求证：a，b， c不成不成等差数列等差数列证明证明假设假设 a，b， c成等差数列，则成等差数列，则 a c2 b，即即 ac2 ac

5、4b.a，b，c 成等比数列成等比数列，b2ac，即即 b ac，ac2 ac4 ac，( a c)20，即即 a c.从而从而 abc，与，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，不成等差数列矛盾，故故 a，b， c不成等差数列不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有结论中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等词语的命题称为否定性命题，此等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明数学命题的

6、步骤活学活用活学活用已知已知 f(x)axx2x1(a1)，证明方程，证明方程 f(x)0 没有负数根没有负数根证明：证明：假设假设 x0是是 f(x)0 的负数根，的负数根，则则 x00 且且 x01，且，且 ax0 x02x01，由由 0ax010 x02x011，解得解得12x02，这与，这与 x00 矛盾，所以假设不成立，矛盾，所以假设不成立，故方程故方程 f(x)0 没有负数根没有负数根.用反证法证明用反证法证明“至至多多”“”“至少至少”问题问题典例典例 已知已知 a1，求证三个方程求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实数解中

7、至少有一个方程有实数解证明证明假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：，即：(4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a032a12，a13或或 a1，32a1，2a0.这与已知这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解一题多变一题多变1变条件变条件，变设问变设问将本题改为将本题改为：已知下列三个方程已知下列三个方程 x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 至少有一个方程有实数根，如何求实数

8、至少有一个方程有实数根，如何求实数 a 的取值范围？的取值范围？解：解：若方程没有一个有实根，则若方程没有一个有实根，则16a24(34a)0，(a1)24a20，4a28a0，解得解得32a12，a13或或 a1，即，即32a1，2a0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数故三个方程至少有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是的取值范围是 a|a1 或或 a32.2变条件，变设问变条件，变设问将本题条件改为三个方程中至多有将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，求实数个方程有实数根，求实数 a的取值范围的取值范围解：解：假设三个方程都有实数根，则假设三个方程都有实数根，则(4a)

9、24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0，即即4a24a30，3a22a10，a22a0，解得解得a32或或 a12，1a13，a2 或或 a0.即即 a .所以实数所以实数 a 的取值范围为实数的取值范围为实数 R.3变条件，变设问变条件，变设问已知已知 a，b，c，dR，且，且 abcd1，acbd1，求证：，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数中至少有一个是负数证明：证明：假设假设 a0，b0，c0，d0.abcd1，(ab)(cd)1，acbdbcad1.而而 acbdbcadacbd1，与上式矛盾，与上式矛盾，假设不成立，假设不成立，a，b，c，d 中至少有一个是

10、负数中至少有一个是负数用反证法证明用反证法证明“至多至多”“”“至少至少”等问题的两个关注点等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多至多”“”“至少至少”“”“不可能不可能”等字样时，等字样时，常用反证法常用反证法用反证法证明唯一性命题用反证法证明唯一性命题典例典例 求证：两条相交直线有且只有一个交点求证：两条相交直线

11、有且只有一个交点证明证明假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点若直线若直线 a，b 无交点，则无交点，则 ab 或或 a，b 是异面直线，与已知矛盾是异面直线，与已知矛盾若直线若直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和和 B，这样同时经过点这样同时经过点 A，B 就有两条直线，这与就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线经过两点有且只有一条直线”相矛盾相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点综上所述，两条相交直线有且只有一个交点巧用反证法证明唯一性命题巧用反证法证明唯一性命题(1

12、)当证明结论有以当证明结论有以“有且只有有且只有”“”“当且仅当当且仅当”“”“唯一存在唯一存在”“”“只有一个只有一个”等形式出现等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立成立(3)证明证明“有且只有一个有且只有一个

13、”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性活学活用活学活用求证：过直线外一点只有一条直线与它平行求证：过直线外一点只有一条直线与它平行证明：证明：已知：直线已知：直线 ba，A a，Ab，求证：直线求证：直线 b 唯一唯一假设过点假设过点 A 还有一条直线还有一条直线 ba.根据平行公理，根据平行公理，ba，bb，与与 bbA 矛盾，矛盾，假设不成立，原命题成立假设不成立，原命题成立层级一层级一学业水平达标学业水平达标1用反证法证明命题：用反证法证明命题：“若直线若直线 AB，CD 是异面直线，则直线是异面直线，则直线 AC，BD 也是异面直也是异面

14、直线线”的过程归纳为以下三个步骤：的过程归纳为以下三个步骤：则则 A，B，C，D 四点共面四点共面，所以所以 AB，CD 共面共面，这与这与 AB，CD 是异面直线矛盾是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线；也是异面直线；假设直线假设直线 AC，BD 是共面直线是共面直线则正确的序号顺序为则正确的序号顺序为()ABCD解析：解析：选选 B根据反证法的三个基本步骤根据反证法的三个基本步骤“反设反设归谬归谬结论结论”可知顺序应为可知顺序应为.2用反证法证明命题用反证法证明命题“如果如果 a，bN，ab 可被可被 5 整除，那么整除，那么 a，b 中至少有

15、一个能中至少有一个能被被5 整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为()Aa，b 都能被都能被 5 整除整除Ba，b 都不能被都不能被 5 整除整除Ca，b 不都能被不都能被 5 整除整除Da 不能被不能被 5 整除整除解析解析：选选 B“至少有一个至少有一个”的否定是的否定是“一个也没有一个也没有”，即即“a，b 都不能被都不能被 5 整除整除”，故选故选 B.3用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角三个内角中至少有两个钝

16、角C三个内角都不是钝角三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：解析：选选 B“至多有一个至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两至少有两个个”4已知已知 a，b 是异面直线，直线是异面直线，直线 c 平行于直线平行于直线 a，那么，那么 c 与与 b 的位置关系为的位置关系为()A一定是异面直线一定是异面直线B一定是相交直线一定是相交直线C不可能是平行直线不可能是平行直线D不可能是相交直线不可能是相交直线解析：解析：选选 C假设假设 cb，而由，而由 ca，可得，可得 ab，这与，这

17、与 a，b 异面矛盾，故异面矛盾，故 c 与与 b 不可不可能是平行直线，故应选能是平行直线，故应选 C.5已知已知 a，b，c，d 为实数，且为实数，且 cd，则，则“ab”是是“acbd”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析：选选 Bcd，cd，ab，ac 与与 bd 的大小无法比较的大小无法比较可采用反可采用反证法，当证法，当 acbd 成立时，假设成立时，假设 ab，cd，acbd，与题设矛盾，与题设矛盾，ab.综上可知，综上可知，“ab”是是“acbd”的必要不充分条件的必要不

18、充分条件6否定否定“自然数自然数 a，b，c 中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正确的反设是时，正确的反设是_答案：答案：自然数自然数 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数7命题命题“a，bR，若，若|a1|b1|0，则，则 ab1”用反证法证明时应假设为用反证法证明时应假设为_解析：解析：“ab1”的反面是的反面是“a1 或或 b1”，所以设为，所以设为 a1 或或 b1.答案：答案：a1 或或 b18和两条异面直线和两条异面直线 AB，CD 都相交的两条直线都相交的两条直线 AC，BD 的位置关系是的位置关系是_解析解析：假设假设 AC 与与 BD 共面于平面共

19、面于平面，则则 A，C，B，D 都在平面都在平面内内，AB，CD，这与这与 AB，CD 异面相矛盾，故异面相矛盾，故 AC 与与 BD 异面异面答案：答案：异面异面9求证：求证：1，3，2 不能为同一等差数列的三项不能为同一等差数列的三项证明：证明：假设假设 1，3，2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d，则则 1 3md,2 3nd，其中，其中 m，n 为两个正整数，为两个正整数，由上面两式消去由上面两式消去 d，得，得 n2m 3(nm)因为因为 n2m 为有理数，而为有理数，而 3(nm)为无理数，为无理数，所以所以 n2m 3(

20、nm)，矛盾，因此假设不成立，矛盾，因此假设不成立，即即 1，3，2 不能为同一等差数列的三项不能为同一等差数列的三项10已知函数已知函数 f(x)在在 R 上是增函数，上是增函数，a，bR.(1)求证：如果求证：如果 ab0，那么，那么 f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：解：(1)证明：当证明：当 ab0 时，时，ab 且且 ba.f(x)在在 R 上是增函数，上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为中命题的逆命题为“如果

21、如果 f(a)f(b)f(a)f(b)，那么，那么 ab0”，此命题成，此命题成立立用反证法证明如下：用反证法证明如下：假设假设 ab0，则，则 ab，f(a)f(b)同理可得同理可得 f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与，这与 f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，矛盾，故假设不成立，ab0 成立，即成立，即(1)中命题的逆命题成立中命题的逆命题成立层级二层级二应试能力达标应试能力达标1用反证法证明命题用反证法证明命题“关于关于 x 的方程的方程 axb(a0)有且只有一个解有且只有一个解”时时，反设是关于反设是关于 x的方程的方程 axb(a0)()A无解无

22、解B有两解有两解C至少有两解至少有两解D无解或至少有两解无解或至少有两解解析：解析：选选 D“唯一唯一”的否定是的否定是“至少两解或无解至少两解或无解”2下列四个命题中错误的是下列四个命题中错误的是()A在在ABC 中，若中，若A90，则，则B 一定是锐角一定是锐角B. 17，13， 11不可能成等差数列不可能成等差数列C在在ABC 中，若中，若 abc，则，则C60D若若 n 为整数且为整数且 n2为偶数，则为偶数，则 n 是偶数是偶数解析解析：选选 C显然显然 A、B、D 命题均真命题均真，C 项中若项中若 abc，则则ABC，若若C60，则，则A60，B60，ABC180与与ABC180

23、矛盾，故选矛盾，故选 C.3设设 a，b，c(，0)，则，则 a1b，b1c，c1a()A都不大于都不大于2B都不小于都不小于2C至少有一个不大于至少有一个不大于2D至少有一个不小于至少有一个不小于2解析解析：选选 C假设都大于假设都大于2，则则 a1bb1cc1a6，但但a1b b1c c1aa1a b1b c1c 2(2)(2)6，矛盾，矛盾4若若ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A钝角三角形钝角三角形B直角三角形直角三角形C锐角三角形锐角三角形D不能确定不能确定解析：解析：选选 B分分A

24、BC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点点 D 在在 BC上上)，则，则ADBADC，若，若ADB 为钝角，则为钝角，则ADC 为锐角而为锐角而ADCBAD，ADCABD，ABD 与与ACD 不可能相似，与已知不符，只有当不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC2时，才符合题意时，才符合题意5已知数列已知数列an，bn的通项公式分别为的通项公式分别为 anan2，bnbn1(a，b 是常数，且是常数，且 ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个个解析：解析：假设存在序号和数

25、值均相等的项，即存在假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n 使得使得 anbn，由题意，由题意 ab，nN*，则恒有则恒有 anbn，从而，从而 an2bn1 恒成立，所以不存在恒成立，所以不存在 n 使使 anbn.答案：答案：06完成反证法证题的全过程完成反证法证题的全过程设设 a1，a2，a7是是 1,2，7 的一个排列的一个排列，求证求证：乘乘积积 p(a11)(a22)(a77)为偶数为偶数证明证明：假设假设 p 为奇数为奇数，则则 a11，a22，a77 均为奇数均为奇数因奇数个奇数之和为奇因奇数个奇数之和为奇数，故有数，故有奇数奇数_0.但但 0奇数，这一矛盾说明奇数，这一矛盾

26、说明 p 为偶数为偶数解析：解析：据题目要求及解题步骤，据题目要求及解题步骤，a11，a22，a77 均为奇数，均为奇数，(a11)(a22)(a77)也为奇数也为奇数即即(a1a2a7)(127)为奇数为奇数又又a1，a2，a7是是 1,2，7 的一个排列，的一个排列，a1a2a7127，故上式为，故上式为 0，所以奇数所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7已知已知 a，b，c(0,1)，求证求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14.证明：证明：假设假设(1a)b，(1

27、b)c，(1c)a 都大于都大于14.因为因为 0a1,0b1,0c1，所以所以 1a0.由基本不等式，由基本不等式，得得(1a)b2 (1a)b1412.同理，同理，(1b)c212，(1c)a212.将这三个不等式两边分别相加，得将这三个不等式两边分别相加，得(1a)b2(1b)c2(1c)a2121212，即即3232，这是不成立的，这是不成立的，故故(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14.8已知数列已知数列an满足：满足：a112，3(1an1)1an2(1an)1an1，anan10(n1)；数列；数列bn满足满足：bna2n1a2n(n1)(1)求数列求数列a

28、n，bn的通项公式；的通项公式；(2)证明：数列证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列中的任意三项不可能成等差数列解：解：(1)由题意可知，由题意可知，1a2n123(1a2n)令令 cn1a2n，则，则 cn123cn.又又 c11a2134，则数列，则数列cn是首项为是首项为 c134，公比为，公比为23的等比数列，即的等比数列，即 cn3423n1，故故 1a2n3423n1a2n13423n1.又又 a1120，anan10，故故 an(1)n113423n1.bna2n1a2n13423n13423n11423n1.(2)用反证法证明用反证法证明假设数列假设数列bn存在三项存在三

29、项 br，bs，bt(rst)按某种顺序成等差数列按某种顺序成等差数列，由于数列由于数列bn是首项是首项为为14，公比为，公比为23的等比数列，于是有的等比数列，于是有 brbsbt，则只可能有，则只可能有 2bsbrbt成立成立21423s11423r11423t1，两边同乘以两边同乘以 3t121r，化简得，化简得 3tr2tr22sr3ts.由于由于 rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列列bn中任意三项不可能成等差数列中任意三项不可能成等差数列(时间：时间： 120 分钟分钟满分：满分：150 分分

30、)一一、选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得根据偶函数定义可推得“函数函数 f(x)x2在在 R 上是偶函数上是偶函数”的推理过程是的推理过程是()A归纳推理归纳推理B类比推理类比推理C演绎推理演绎推理D非以上答案非以上答案解析：解析：选选 C根据演绎推理的定义知根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理推理过程是演绎推理，故选故选 C.2自然数是整数自然数是整数，4 是自然数是自然数，所以所以 4 是整数以上三段论推理是整

31、数以上三段论推理()A正确正确B推理形式不正确推理形式不正确C两个两个“自然数自然数”概念不一致概念不一致D“两个整数两个整数”概念不一致概念不一致解析：解析：选选 A三段论中的大前提三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的小前提及推理形式都是正确的3设设 a，b，c 都是非零实数都是非零实数，则关于则关于 a，bc，ac，b 四个数四个数，有以下说法：有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数有则说法中正确的个数有()A0B1C2D3解析：解析：选选 B可用反证法推出可用反

32、证法推出，不正确不正确，因此因此正确正确4下列推理正确的是下列推理正确的是()A把把 a(bc)与与 loga(xy)类比类比，则有则有 loga(xy)logaxlogayB把把 a(bc)与与 sin(xy)类比类比，则有则有 sin(xy)sin xsin yC把把 a(bc)与与 axy类比类比，则有则有 axyaxayD把把(ab)c 与与(xy)z 类比类比，则有则有(xy)zx(yz)解析：解析：选选 D(xy)zx(yz)是乘法的结合律是乘法的结合律，正确正确5已知已知“整数对整数对”按如下规律排列按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3

33、,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第则第 70 个个“整数对整数对”为为()A(3,9)B(4,8)C(3,10)D(4,9)解析解析：选选 D因为因为 121166，所以第所以第 67 个个“整数对整数对”是是(1,12)，第第 68 个个“整整数对数对”是是(2,11)，第第 69 个个“整数对整数对”是是(3,10)，第第 70 个个“整数对整数对”是是(4,9)，故选故选 D.6求证：求证： 2 3 5.证明：因为证明：因为 2 3和和 5都是正数都是正数，所以为了证明所以为了证明 2 3 5，只需证明只需证明( 2 3)2( 5)2，展开得展开得 52 65，

34、即即 2 60，此式显然成立此式显然成立，所以不等式所以不等式 2 3 5成立成立上述证明过程应用了上述证明过程应用了()A综合法综合法B分析法分析法C综合法综合法、分析法配合使用分析法配合使用D间接证法间接证法解析：解析：选选 B证明过程中的证明过程中的“为了证明为了证明”，“只需证明只需证明”这样的语句是分析这样的语句是分析法所特有的法所特有的，是分析法的证明模式是分析法的证明模式7已知已知bn为等比数列为等比数列，b52，则则 b1b2b3b929.若若an为等差数列为等差数列，a52，则则an的类似结论为的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929Da1a

35、2a929解析解析：选选 D由等差数列性质由等差数列性质，有有 a1a9a2a82a5.易知易知 D 成立成立8若数列若数列an是等比数列是等比数列，则数列则数列anan1()A一定是等比数列一定是等比数列B一定是等差数列一定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列可能是等比数列也可能是等差数列D一定不是等比数列一定不是等比数列解析：解析：选选 C设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，则则 anan1an(1q)当当 q1 时时，anan1一定是等比数列；一定是等比数列；当当 q1 时时，anan10，此时为等差数列此时为等差数列9已知已知 abc0，则则 abbcca 的值的值()

36、A大于大于 0B小于小于 0C不小于不小于 0D不大于不大于 0解析：解析：选选 D法一：法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbca2b2c220.法二：法二：令令 c0，若若 b0，则则 abbcac0，否则否则 a，b 异号异号，abbcacab0，排除排除 A、B、C，选选 D.10已知已知 123332433n3n13n(nab)c 对一切对一切 nN*都成立都成立，那么那么 a，b，c 的值为的值为()Aa12，bc14Babc14Ca0，bc14D不存在这样的不存在这样的 a，b，c解析：解析：选选 A令令 n1,2,3，得得3 ab c1，9 2ab c7，

37、27 3ab c34.所以所以 a12，bc14.11已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Sn，且且 a11，Snn2an(nN*)，可归纳猜想出可归纳猜想出 Sn的表达的表达式为式为()ASn2nn1BSn3n1n1CSn2n1n2DSn2nn2解析解析：选选 A由由 a11，得得 a1a222a2，a213，S243；又又 113a332a3，a316，S33264；又又 11316a416a4，得得 a4110，S485.由由 S122，S243，S364，S485可以猜想可以猜想 Sn2nn1.12设函数设函数 f(x)定义如下表定义如下表，数列数列xn满足满足 x05，且对任

38、意的自然数均有且对任意的自然数均有 xn1f(xn)，则则 x2 016()x12345f(x)41352A.1B2C4D5解析解析： 选选 Dx1f(x0)f(5)2， x2f(2)1， x3f(1)4， x4f(4)5， x5f(5)2， ，数列数列xn是周期为是周期为 4 的数列的数列，所以所以 x2 016x45，故应选故应选 D.二二、填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，满分满分 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上)13已知已知 x，yR，且且 xy0，b0，mlga b2，nlgab2，则则 m，n 的大小关系是的大小关系是_解

39、析：解析：ab0 ab0ab2 abab( a b)2( ab)2 a b aba b2ab2lga b2lgab2.答案：答案：mn15已知已知223223，338338，44154415，6ab6ab，a，b 均为正实数均为正实数，由以上规律可推测出由以上规律可推测出 a，b 的值的值，则则ab_.解析：解析：由题意归纳推理得由题意归纳推理得6ab6ab，b62135，a6.ab63541.答案：答案：4116现有一个关于平面图形的命题：如图现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都同一平面内有两个边长都是是 a 的正方形的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心其中一个的某顶

40、点在另一个的中心，则这两个正方形重叠则这两个正方形重叠部分的面积恒为部分的面积恒为a24.类比到空间类比到空间，有两个棱长为有两个棱长为 a 的正方体的正方体，其中一个的某其中一个的某顶点在另一个的中心顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析：解析：解法的类比解法的类比(特殊化特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为易得两个正方体重叠部分的体积为a38.答案：答案：a38三三、解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10

41、 分分)用综合法或分析法证明：用综合法或分析法证明：(1)如果如果 a，b0，则则 lgab2lg alg b2；(2)6 102 32.证明：证明：(1)当当 a，b0 时时，有有ab2 ab，lgab2lg ab，lgab212lg ablg alg b2.(2)要证要证6 102 32，只要证只要证( 6 10)2(2 32)2，即即 2 602 48，这是显然成立的这是显然成立的，所以所以，原不等式成立原不等式成立18(本小题满分本小题满分 12 分分)若若 a10，a11，an12an1an(n1,2，)(1)求证：求证：an1an；(2)令令 a112，写出写出 a2，a3，a4，

42、a5的值的值，观察并归纳出这个数列的通项公式观察并归纳出这个数列的通项公式 an(不要求证不要求证明明)解：解：(1)证明：若证明：若 an1an，即即2an1anan，解得解得 an0 或或 1.从而从而 anan1a2a10 或或 1，这与题设这与题设 a10，a11 相矛盾相矛盾，所以所以 an1an不成立不成立故故 an1an成立成立(2)由题意得由题意得 a112，a223，a345，a489，a51617，由此猜想：由此猜想：an2n12n11.19(本小题满分本小题满分 12 分分)下列推理是否正确？若不正确下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处指出错误之处(1)求证：四边形的

43、内角和等于求证：四边形的内角和等于 360.证明：设四边形证明：设四边形 ABCD 是矩形是矩形，则它的四个角都是直角则它的四个角都是直角，有有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为所以四边形的内角和为 360.(2)已知已知2 和和3 都是无理数都是无理数，试证：试证： 2 3也是无理数也是无理数证明证明：依题设依题设 2和和 3都是无理数都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数而无理数与无理数之和是无理数，所以所以 2 3必是必是无理数无理数(3)已知实数已知实数 m 满足不等式满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明用反证法证明：关于关于 x 的方程的方程 x22x5m

44、20 无实根无实根证明：假设方程证明：假设方程 x22x5m20 有实根由已知实数有实根由已知实数 m 满足不等式满足不等式(2m1)(m2)0，解得解得2m12，而关于而关于 x 的方程的方程 x22x5m20 的判别式的判别式4(m24)，2m12，14m24，0，即关于即关于 x 的方程的方程 x22x5m20 无实根无实根解：解：(1)犯了偷换论题的错误犯了偷换论题的错误，在证明过程中在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的这个论据是假的，因为两个无理因为两个无理

45、数的和不一定是无理数数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定因此原题的真实性仍无法判定(3)利用反证法进行证明时利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理要把假设作为条件进行推理，得出矛盾得出矛盾，本题在证明过程本题在证明过程中并没有用到假设的结论中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾也没有推出矛盾，所以不是反证法所以不是反证法20(本小题满分本小题满分 12 分分)等差数列等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列求数列an的通项的通项 an与前与前 n 项和项和 Sn；(2)设设 bnSnn(nN*)，求证：数列求证：数列bn中任意不同

46、的三项都不可能成为等比数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：解：(1)由已知得由已知得a1 21，3a13d93 2，d2.故故 an2n1 2，Snn(n 2)(2)由由(1)得得 bnSnnn 2.假设数列假设数列bn中存在三项中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等互不相等)成等比数列成等比数列，则则 b2qbpbr，即即(q 2)2(p 2)(r 2)，(q2pr)(2qpr) 20，p，q，rN*，q2pr0，2qpr0，pr22pr，(pr)20.pr，与与 pr 矛盾矛盾数列数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列中任意不同的三项都不可能成等比数列21(本小题满

47、分本小题满分 12 分分)已知：已知：sin230sin290sin215032，sin25sin265sin212532，通过观察上述两等式的规律通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度请你写出对任意角度都成立的一般性的命题都成立的一般性的命题，并并给予证明给予证明解：解：一般形式为：一般形式为：sin2sin2(60)sin2(120)32.证明：左边证明：左边1cos 221cos 2120 21cos 2240 23212cos 2cos(2120)cos(2240)3212(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2sin 240

48、)3212cos 212cos 232sin 212cos 232sin 232右边右边将一般形式写成将一般形式写成 sin2(60)sin2sin2(60)32也正确也正确22(本小题满分本小题满分 12 分分)根据要求证明下列各题：根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量用分析法证明：已知非零向量 a，b，且且 ab，求证：求证：|a|b|ab| 2；(2)用反证法证明：用反证法证明：1，2，3 不可能是一个等差数列中的三项不可能是一个等差数列中的三项证明：证明：(1)abab0，要证要证|a|b|ab| 2.只需证只需证|a|b|2|ab|，只需证只需证|a|22|a|b|

49、b|22(a22abb2)，只需证只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证只需证|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，上式显然成立上式显然成立，故原不等式得证故原不等式得证(2)假设假设 1，2，3 是某一个等差数列中的三项是某一个等差数列中的三项，且分别是第且分别是第 m，n，k 项项(m，n，kN*)，则数列的公差则数列的公差 d21nm31km，即即 212 nm km，因为因为 m，n，kN*，所以所以(nm)Z，(km)Z，所以所以2 nm km为有理数为有理数，所以所以 21 是有理数是有理数，这与这与 21 是无理数相矛盾是无理数相矛盾故假设不成立故假设不成立，所以所以 1，2，3 不可能是一个等差数列的三项不可能是一个等差数列的三项