6.2.2算术平均数与几何平均数

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1、算术平均数与几何平均数（2）、复习引入：1.重要不等式：如果a,bR,那么a2b2 _2ab（当且仅当a=b时取 J号）a 4- K2定理：如果a,b是正数，那么 一 -ab（当且仅当a = b时取=号）.2；我们称卫为a,b的算术平均数，称 ab为a,b的几何平均数.2a + ba2 b2 _2ab和ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而2后者要求a,b都是正数.“当且仅当”的含义是充要条件.3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”*以长为a+b的线段为直径作圆，在直径 AB上取点C,使AC=a,CB=b .过点C作垂直于直径AB的弦DD，那么CD2 =CA CB，即CD =

2、 . aba+b其中当且仅当点C与D/Tan4 -abA1C/Id这个圆的半径为 ，显然，它不小于 CD ,2圆心重合；即a=b时，等号成立.二、讲解新课：1，公式的等价变形：abw a b , ab（ a b ）2 22. b + a 2 (ab0),当且仅当 a= b 时取“=” a b3.定理：如果a,b,cR ，那么a3 b3 c 3abc （当且仅当a = b =c时取“=”）证明： a3 b3 c3 -3ab （a b）3 c3-3a2b - 3ab2 - 3abc333t a,b,c R 上式0 从而 a b c - 3abc指出：这里a,b, c，R 若a b 0就不能保证（此

3、公式成立的充要条件为a b c 丄 0）-a亠b亠c 4.推论：如果a,b,c，R 那么3 abc （当且仅当a=b=c时取“=”）3证明：（3 a）3 （3 b）3 （3 c）3 - 33. a 3 b 3 c5关于“平均数”的概念a 亠aa如果a1,a2,a R , n且门，N 贝y： n叫做这n个正数的算术平均数；n a1aan叫做这n个正数的几何平均数推广：aia2an n aia0, cd0, ac0, bd0ab + cd ”门 ac 十 bd :得ab cd 0,ac bd 0.2 2由不等式的性质定理 4的推论1,得_cd)(ac_- abcd. 即(ab cd)(ac bd)

4、 - 4abcd4点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有 效的方法，例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低 总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式， 然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理+解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为I元，根据题意，得当x=1600，即x = 40时,l有最小值297600

5、0.x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件*我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.四、课堂练习：2 8

6、11.已知x丰0,当x取什么值时，x + 2的值最小？最小值是多少？x2 81 2 81分析：注意到x2 + 81是和的形式，再看 x2弓=81为定值，从而可求和的最小值.xx2 81 2解：xm 0= x 0, 0, -x +x812 = 18,x当且仅当x2=故x= 3时,卑，即x= 3时取“=”号.x2 81x + 的值最小，其最小值是 18”x2.段长为L m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要号成立，(4)确定正确答案,(1)先构造定值，建立函数关系式，(3)验证“=”

7、解法一：设矩形菜园的宽为m,则长为(L 2x) m,其中，其面积S= x(L 2x )=1 2x ( L 2x)21 2x L -2x 2 L21(2)盲当且仅当2x = L 2x,即 x=L时菜园面积最大，即菜园长4宽为m时菜园面积最大为8L x解法二：设矩形的长为 x m,则宽为m,面积2/X + L _X22 w (h)2x( L - x) ( x 、L - x ) S=(m) 当且仅当x = L x，即x=(m时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为L m时，菜园的面积最大，最大面积为4L22m，83设0v xv 2，求函数f(x)= , 3x(8 - 3x)的最大值，并求出相应的x值”分

8、析：根据均值不等式:研究；3x(8-3x)的最值时,3x与18 3x是否为正数；要考查式子3x+(8 3x)是否为定值*2解：I Ov xv 2, 3x 0,8 - 3x0 f (x)= . 3x(8二3x) w 3x(8 - 3x)= 4、 24当且仅当3x =8 - 3x时，即x = 时取“=”号.34故函数f (x)的最大值为4,此时x =3五、小结：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件 (各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或 和为定

9、值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题六、课后作业：1，解答下列各题：23(1) 求函数y = 2x +(x 0)的最小值+x2 1(2) 求函数y = x +4 (x 0)的最小值+x3(3) 求函数y = 3x2- 2x3 (0 v xv)的最大值.2求函数y = x (1 x ) (0v xv 1)的最大值”(5)设 a0, b 0,且 a2+ = 1，求 1 b2 的最大值-2分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式

10、的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值如_ . ab，若ab为常数k，则当且仅当a= b时，a2+ b就有最小值2 k ；若a+ b为常数s，则当且仅当a= b时，ab就有最大值1 s (或21xy有最大值 丄s2)，因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.42323233 9解：(1) v x 0 2x 0， 0, y = 2x += 2x + 3 3 -xx2x 2x 2当且仅当2x2 =，即x = 3 3时等号成立2x4故当x= 3 3时，y有最小值3 3 9 .4V2 y = x2=乞二丄 _ 33 1 ,422x4Y 4丄即x= 62时，

11、等号成立+x故当x=6、2时，y有最小值33 4./ 0 v XV 3 2x 02 y = x2( 3 2x )= x x ( 3 2x)w( x x 3亠)3= 1当且仅当x= 3 2x即x = 1时，等号成立.20 v xv 1 1 x2 2 1(1X2) 2 =2-2x2 (1 x2) (1 x2)w 1 ( 2 )233= 427当且仅当2x2 = 1 x2 即3时，等号成立,3当 x=时，y2有最大值4327由题意可知:y 0,故当x=时，y有最大值U、39(5) a0,b 0，且 a2+ = 12二 2a1 b22 222 (a当且仅当a=a=b=二时取“=”号2故当a=仝，b=

12、时，a1 b22 2评述：用均值不等式求函数的最值， 考查下列三个条件：（1）函数的解析式中， 项的和或积必须有一个为定值； 均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：即用是值得重视的一种方法， 但在具体求解时，应注意 各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各 函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 正二定三取等*若不满足这些条件， 则不能直接运用这种方法如下面的几例均为错误的解法: y= x +2, y的最小值为2.错误的原因是，当xv 0时，就不能运用公式.事实x上，当xv0时，y v0,故最小值不可能为2.（2） T y= 3x + 4 = 2x + x + 4 A 3：

13、 2 , y的最小值为3-2 .其错误的原因是忽视 xx1等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x2= x2= 4，显然这样的x不存在，故yx没有最小值+2 y = x (1-x + x ) 0, b 0）即 a + 2b+ ab= 30（a0, b0）/ a+ 2b a 2 .2ab - 2 , 2 ab + ab 0）4b + 2ab+ 2a=60 (a0,30 _ a a+ 2b+ ab= 30( a0, b 0) , b =(0v av 30)k由题设：y =，其中k 0且k是比例系数，依题只需abab取最大值-ky=ab 30a ak 64k _ =L a+322 aa 2k*

14、(a 2)克34-2 (a 2) a，2k18nt 1 1 则 Sbef =BE BF sin B= xysin B2 211又 Sabc =BC AC = X 3 X 4=6221依题意可知：& BEF =S ABC2AC 3“/ sin B=, xy = 10BC 5在厶BEF中，由余弦定理得：1 . 1 xysin B= X6= 3 2又 cosB=2BC 4AB 5当且仅当a+ 2 =时取“=”号，即 a=6, b= 3时ab有最大值18.a +2故当a=6米，b= 3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：（1）先构造定值； 出现关系式

15、；（3）验证“=”号成立.3.如图，在 ABC中，/ C = 9 0 , AC= 3, BC = 4, 一条直线分厶 ABC的面积 为相等的两部分，且夹在 AB与BC之间的线段最短，求此线段长 .分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF,同时1考虑到题设中的等量关系，即& BEF = - SABC，因此，所选变量还应便于求两个三2角形的面积，于是考虑设BE= x, BF = y,解：设 BE = x, BF = y（0 v xv 4, Ov y v5）,22小x + y 2xy 2 2 2EF = BE + BF 2BE BF cosB=2 2=x + y 162xy 1 6 = 4,当且仅当x = y= .10时，等号成立故此时线段EF的长为2评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时， 利用三角函数的有关知识， 巧妙地寻求等量关系， 合理变形, 是我们常用的一惯手法+从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学 思想方法.