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1、 1 16.2等差数列及其前n项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等差数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多考查等差数列的证明基础知识1、等差数列的判定：（1）定义法：（2）等差中项法：（3）通项公式法：（4） （5）若均为等差数列，为的前n项和，则；由原等差数列中相隔k项的项从新组成的数列仍等差 要否定是等差数列，只需举一组反例即可2、等差数列的性质（1）通项公式：（2）前n项和公式：（3）下脚标性质：若m+n=p+q，则 （4）奇偶项的性质：项数为2n的等差数列有为中间两项）；项数为奇数的等差数列有，为中间项）（5）几个常用结论：若则若则若则若分别为等差数列和的前n项和，则（6）
2、两个常用技巧：若三个数成等差通常设成，若四个数成等差通常，方便计算注意事项1.利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn.2.已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元3.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；来源:(3)通项公式法：验
3、证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.题型一等差数列基本量的计算【例1】已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则S40()A. 290B. 390C. 410D. 430答案：C解析：S2a3，2a1da12d，d，S4040410.【变式1】九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，a9，由题意可得a1a2a3a43，a7a8a94，设等差数列an的公差为d，则有4a16d3，3a121d4，由可得d，a1，所以a5a1
4、4d4.答案考向二等差数列的判定或证明【例2】已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4.来源:(1)求证an为等差数列；(2)求an的通项公式 (1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11，而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此an为等差数列(2)解：由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)n2，即a
5、nn2.【变式2】 已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36. (1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列(1)解设SnAn2BnC(A0)，则解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)证明当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)当n1时符合上式，故an4n6，an1an4，数列an成等差数列题型三等差数列前n项和的最值【例3】数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负(1)求数列的公差d；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn0时，求n的最大值解：(1)由已知a6a
6、15d235d0，a7a16d236d0，解得：d，又dZ，d4.(2)d0，a70，整理得：n(504n)0，0n，又nN*，所求n的最大值为12.【变式3】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二同法一求得d.Sn20nn2n来源:2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三同法一得d
7、.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.【变式4】 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a207
8、8，则此数列前20项和等于_解析(1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.答案(1)153(2)180重难点突破【例5】已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式解析当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，又a1S14，故an4n，当n2时，由bnTnTn12bn2bn1，得bnbn1，又T12b1，b11，bnn121n.巩固提高1.
9、 等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是()A. 24B. 48C. 60D. 72答案：B解析：设等差数列an的公差为d，由题意可得，解得，则S10S7a8a9a103a124d48，选B.2.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a418a5，则S8()A. 72B. 68C. 54D. 90答案：A解析：a418a5，a4a518，S84(a4a5)72.3.若等差数列an的公差d0，且a1a110，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()A. 5B. 6C. 5或6D. 6或7答案：C解析：a1a110，a1a110d0，即a15d.ana1(n1
10、)d(n6)d.由an0得(n6)d0，d0，a60.所以前5项或前6项的和最大4.在等差数列an中，a120xx，其前n项和为Sn，若2，则S20xx的值等于 ()A. 20xxB. 20xxC. 20xxD. 20xx答案：B解析：根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项a120xx，公差d1，故20xx(20xx1)11，所以S20xx20xx.5.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A. 若d0，则数列Sn有最大项B. 若数列Sn有最大项，则d0D. 若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列来源:来源:答案：C解析：本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度法一：特值验证排除选项C显然是错的，举出反例：1,0,1,2,3，满足数列Sn是递增数列，但是Sn0不恒成立法二：由于Snna1dn2(a1)n，根据二次函数的图象与性质知当d0，但对任意的nN*，Sn0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.
新版高考数学一轮必备考情分析学案：6.2等差数列及其前n项和含解析
