高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入教学案含解析

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1、高考数学精品复习资料 2019.5数系的扩充与复数的引入知识能否忆起一、复数的有关概念1复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0，b0，则abi为纯虚数2复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)3共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)4复数的模：向量OZ的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.二、复数的几何意义复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量 .三、复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR

2、)，则：(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)2复数加法、乘法的运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)；z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.小题能否全取1(教材习题改编)已知aR，i为虚数单位，若(12i)(ai)为纯虚数，则a的值等于()A6B2C2 D6解析：选B由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数，得由此解得a

3、2.2(20xx湖南高考)若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选D由(ai)ibi，得1aibi，根据两复数相等的充要条件得a1，b1.3(20xx天津高考)i是虚数单位，复数()A1i B1iC1i D1i解析：选C1i.4若复数z满足2i，则z对应的点位于第_象限解析：z2i(1i)22i，因此z对应的点为(2,2)，在第二象限内答案：二5若复数z满足zi，则|z|_.解析：因为zi13ii14i，则|z|.答案：1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意(1)|z|z0|a(a0)表示复

4、数z对应的点到原点的距离为a；(2)|zz0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离2复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：zabiRb0(a，bR)；zRz.(2)证明复数是纯虚数的策略：zabi为纯虚数a0，b0(a，bR)；b0时，z2bi为纯虚数；z是纯虚数z0且z0.复数的有关概念典题导入例1(1)(20xx陕西高考)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(20xx郑州质检)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()AB.C. D2自主解

5、答(1)若复数aabi为纯虚数，则a0，b0，ab0；而ab0时a0或b0，a不一定是纯虚数，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件(2)，依题意有22b4b，解得b.答案(1)B(2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复数zabi(a，bR)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对应以题试法1(20xx东北模拟)已知1yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi的共轭复数为()A12i B12iC2i D2i解析：选D依题意得x(1i)(1yi)(1y)(1y)i；又x，yR，于是有解得x

6、2，y1.xyi2i，因此xyi的共轭复数是2i.复数的几何意义典题导入例2(20xx山西四校联考)已知复数z的实部为1，虚部为2，则(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限自主解答选C依题意得，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题以题试法2(1)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82

7、iC24i D4i(2)(20xx连云港模拟)已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若，(，R)，则的值是_解析：(1)复数65i对应的点为A(6,5)，复数23i对应的点为B(2,3)利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为24i.(2)由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：(1)C(2)1复数的代数运算典题导入例3(1)(20xx山东高考)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35iB35iC35i D35i(2)(20xx重庆高考)复

8、数()Ai BiC.i D.i自主解答(1)z35i.(2)i.答案(1)A(2)C由题悟法1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)以题试法3(1)(20xx山西四校联考)设复数z的共轭复数为，若z1i(i为虚数单位)，则z2的值为()A3i B2iCi Di(2)i为虚数单位，4_.解析：(1)依题意得z2(1i)22ii2ii.(2)44i41.答案：(1)D(2)11(20xx江西高考)若复数z1i(

9、i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0B1C1 D2解析：选Az1i，1i，z22(z)22z440，z22的虚部为0.2(20xx北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(1,3) B(3,1)C(1,3) D(3，1)解析：选A由13i得，该复数对应的点为(1,3)3(20xx长春调研)若复数(ai)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A1 B1C. D解析：选B因为复数(ai)2(a21)2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a21,2a)，又因为该点在y轴负半轴上，所以有解得a1.4(20xx萍乡模拟)复数等于()A. BC.i Di解析

10、：选B.5(20xx河南三市调研)已知i为虚数单位，复数z，则|z|()Ai B1iC1i Di解析：选B由已知得zi，|z|i|1i.6(20xx安徽名校模拟)设复数z的共轭复数为，若(2i)z3i，则z的值为()A1 B2C. D4解析：选B设zabi(a，bR)，代入(2i)z3i，得(2ab)(2ba)i3i，从而可得a1，b1，那么z(1i)(1i)2.7(20xx长沙模拟)已知集合M，i是虚数单位，Z为整数集，则集合ZM中的元素个数是()A3个 B2个C1个 D0个解析：选B由已知得Mi，1，i,2，Z为整数集，ZM1,2，即集合ZM中有2个元素8定义：若z2abi(a，bR，i为

11、虚数单位)，则称复数z是复数abi的平方根根据定义，则复数34i的平方根是()A12i或12i B12i或12iC724i D724i解析：选B设(xyi)234i(x，yR)，则解得或9在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_.解析：由题意知A(1,1)，B(1,3)，故|2.答案：210已知复数z1i，则_.解析：z1(i)i2i.答案：2i11设复数z满足|z|5且(34i)z是纯虚数，则_.解析：设zabi(a，bR)，则有5.于是(34i)z(3a4b)(4a3b)i.由题设得得ba代入得a2225，a4，或43i或43i.答案：(43i)12._.解析：

12、13i.答案：13i13(20xx上海高考改编)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.解析：(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，aR.则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.答案：42i14若复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为_解析：由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.答案：1(20xx山东日照一模)在复数集C上的函数f(x)满足f(x)则f(1i)等于()A2i B2C0 D2解析：选D1iR，f(1i)(1i)(1i)2.2已知i为虚数单位

13、，a为实数，复数z(12i)(ai)在复平面内对应的点为M，则“a”是“点M在第四象限”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Cz(12i)(ai)(a2)(12a)i，若其对应的点在第四象限，则a20，且12a.即“a”是“点M在第四象限”的充要条件3已知复数zxyi(x，yR)，且|z2|，则的最大值为_解析：|z2|，(x2)2y23.由图可知max.答案：4复数z(m25m6)(m22m15)i，与复数1216i互为共轭复数，则实数m_.解析：根据共轭复数的定义得解之得m1.答案：15已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z

14、ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)6设z是虚数，z，且12.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u，求证：u为纯虚数解：(1)设zabi(a，bR，b0)，abii，是实数，b0.又b0，a2b21.|z|1，2a.12，a1，即z的实部的取值范围是.(2)ui.a1，b0，u为纯虚数1已知bi(a，bR)，

15、其中i为虚数单位，则ab()A1 B1C2 D3解析：选B2aibi，由复数相等的条件得b2，a1，则ab1.2对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|解析：选Dz2yi，|z|2|y|，选项A、C错误；而z2(xyi)2x2y22xyi，选项B错误；而|z|，|z|2x2y2，(|x|y|)2x2y22|xy|x2y2，因此|z|x|y|.3已知虚数z，使得z1和z2都为实数，求z.解：设zxyi(x，yR，且y0)，则z2x2y22xyi，z1，z1R，又y0，x2y21，同理，由z2R得x22xy20，

16、解得zi.三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1(20xx新课标全国卷)复数z的共轭复数是()A2iB2iC1i D1i解析：选Dz1i，所以1i.2(20xx潍坊模拟)已知x，cos x，则tan 2x()A. BC. D解析：选D依题意得sin x，tan x，所以tan 2x.3(20xx广州调研)设复数z113i，z232i，则在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D因为，所以在复平面内对应的点为，在第四象限4(20xx邵阳模拟)已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x

17、(0，)若|ab|a|b|，则tan x的值等于()A1 B1C. D.解析：选A由|ab|a|b|知，ab，所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，tan x1.5(20xx福州质检查)“cos ”是“cos 2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Acos ，cos 22cos2121，由cos 可推出cos 2.由cos 2得cos ，由cos 2不能推出cos .综上，“cos ”是“cos 2”的充分而不必要条件6若函数f(x)sin (0,2)是偶函数，则()A. B

18、.C. D.解析：选Cf(x)为偶函数，k(kZ)，3k(kZ)又0,2，.7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若ccos Ab，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是钝角三角形C一定是直角三角形D一定是斜三角形解析：选C在ABC中，因为ccos Ab，根据余弦定理，得cb，故c2a2b2，因此ABC一定是直角三角形8设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为()A(3,1) B(1，1)C(3,1)或(1，1) D无数多个解析：选C设P(x，y)，则由|2|，得2或2.(2,2)，(x2，y)，即(2,2)2(x2，y)，x3，y1，P(3,

19、1)，或(2,2)2(x2，y)，x1，y1，P(1，1)9(20xx福州质检)将函数f(x)sin 2x(xR)的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选B将函数f(x)sin 2x(xR)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)sin2cos 2x的图象，则函数g(x)的单调递增区间为，kZ，而满足条件的只有B.10(20xx西安名校三检)已知tan ，sin()，且，(0，)，则sin 的值为()A. B.C. D.或解析：选A依题意得sin ，cos ；注意到sin()(否则，若，则有0，0sin sin()，这与“sin()sin

20、 ”矛盾)，cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .11(20xx河南三市调研)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2a2acc2，CA90，则cos Acos C()A. B.C D解析：选C依题意得a2c2b2ac，cos B.又0B180，所以B60，CA120.又CA90，所以C90A，A15，cos Acos Ccos Acos(90A)sin 2Asin 30.12(20xx广东高考)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B.C1 D.解析：选Dab，

21、ba.，0cos .得(ab)(ba)cos2.因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2Z)，即(ab)(ba)cos2，所以0n1n20，0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.(1)求A和的值；(2)已知，且sin ，求f()的值解：(1)函数f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为，A2，得函数f(x)的周期T2，2.(2)由(1)知f(x)2sin.，且sin ，cos ，sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.f()2sin22.18(本小题满分12分)(20xx天津高考)已知函数f(x)sinsin2cos2x1，xR.(1)求函数f(x)

22、的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin 2xcos cos 2xsin sin 2xcoscos 2xsin cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f1，f，f1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为1.19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)设m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k1)，且mn的最大值是5，求k的值解：(1)因为(2ac)cos

23、Bbcos C，所以在ABC中，由正弦定理，得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin C，即2sin Acos Bsin A.又在ABC中，sin A0，B(0，)，所以cos B.所以B.(2)因为m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k1)，所以mn4ksin Acos 2A2sin2A4ksin A1，即mn2(sin Ak)22k21.又B，所以A.所以sin A(0,1所以当sin A1时，mn的最大值为4k1.又mn的最大值是5，所以4k15.所以k.20(本小题满分12分)已知复数z1si

24、n 2xti，z2m(mcos 2x)i(i为虚数单位，t，m，xR)，且z1z2.(1)若t0且0x，求x的值；(2)设tf(x)，已知当x时，t，试求cos的值解：(1)因为z1z2，所以即tsin 2xcos 2x.若t0，则sin 2xcos 2x0，得tan 2x.因为0x，所以02x2，所以2x或2x，所以x或x.(2)因为tf(x)sin 2xcos 2x2sin，因为当x时，t，所以2sin，sin，所以coscos 22cos212sin21221.21(本小题满分12分)(20xx长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点(1)如果A，B

25、两点的纵坐标分别为，求cos 和sin ；(2)在(1)的条件下，求cos()的值；(3)已知点C(1，)，求函数f()的值域解：(1)根据三角函数的定义，得sin ，sin .又是锐角，所以cos .(2)由(1)知sin .因为是钝角，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .(3)由题意可知，(cos ，sin )，(1，)所以f()sin cos 2sin，因为0，所以，所以sin，从而1f().所以函数f()的值域为(1, )22(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知 sin A.(1)若a2c2b2mbc，求实数m的值；(2)若a，求ABC面积的最大值解：(1)由sin A两边平方得2sin2A3cos A即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cosA2(舍)而a2c2b2mbc可以变形为，即cos A，所以m1.(2)由(1)知 cos A，则sin A.又，所以bcb2c2a22bca2，即bca2.当且仅当bc时等号成立故SABCsin A.