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1、利用导数研究函数的极值和最值问题1 .利用导数研究函数的极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域.(2)求f(x).(3)若求极值，则先求方程f(X)0的全部实根，再检验f(X)在方程根的左右两侧值的符号，求出极值(当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0的根的大小或存在情况，从而求解2 .求连续函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在a,b内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数f(
2、x)ax24a1x4a3ex.若曲线yf(x)在点1,f1处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)ax24a1x4a3ex,所以f(x)ax22a1x2ex，f(1)1ae.由题设知f(1)=0,即1ae0,解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax22a1x2exax1x2ex.1.1一,右a-,则当x,2时f(x)0;2a当x2,时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.11一右a一,则xQ2时，x20,ax1-x10,所以f(x)0,22所以2不是f(x)的极小值点.1 综上可知，a的取值范
3、围是1,。2方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.(2)已知函数求极值.求f(x)一求方程f(x)=0的根一列表检验f(x)在f(x)=0的根的附近两侧的符号一下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值，则f(x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反.例2.(2017北京，19,13分)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0,上的最大值和最小值.2解析本题考查导数的几何意义，考查利用
4、导数研究函数的单调性、最值.(1)因为f(x)excosxx,所以f(x)excosxsinx1,f(0)0.又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点0,f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)excosxsinx1,0,_上单调递减2则h(x)excosxsinxsinxcosx2exsinx.当x0,一时，h(x)0,所以h(x)在区间2所以对任意x0,-有h(x)h(0)0,即f(x)0.2所以函数f(x)在区间0上单调递减，2因此f(x)在区间0,上的最大值为f(0)1,最小值为f.222解题思路：(1)先求导，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程。(2)
5、设h(x)excosxsinx1,对h(x)求导，进而确定h(x)的单调性，最后求出最值方法总结1 .求切线方程问题：(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值，即切线的斜率；(2)求出指定点处的函数值；(3)求出切线方程.2 .利用导数研究函数的单调性：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求出函数f(x)的导函数f(x)；令f(x)0得到f(x)在定义域内的单调递增区间；令f(x)0得到f(x)在定义域内的单调递减区间例3.(2014北京，18,13分，已知函数f(x)xcosxsinx,x0.，2求证：f(x)0;sinx,(2)若ab,对x0,恒成立，求a的最大值与b的最小值.x2解
6、析(1)由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间0上f(x)xsinx0,所以f(x)在区间0上单调递减.，2，2从而f(x)f(0)0.sinx一.sinx(2)当x0时，“sn上a”等价于“sinxax0，“sUb”等价于xx“sinxbx0”.令g(x)sinxcx,则g(x)cosxc.当c0时，g(x)0对任意x0,恒成立.2当c1时，因为对任意x0,g(x)cosxc0,2所以g(x)在区间0,一上单调递减.从而g(x)g(0)0对任意x0,-恒成22当0c1时，存在唯一的Xo0,使得g(Xo)COSXoc0.g(x)与g(x)在区间0
7、,上的情况如下2x0,x0x0x。，一2g(x)+0-g(x)因为g(x)在区间0,X0上是增函数，所以g(X0)g(0)0.进一步，“g(x)0对任意x0,-恒成立”当且仅当22综上所述，当且仅当0时，g(x)0对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x0,恒成立.2所以，若asmb对任意xx2.0,一恒成立，则a的取大值为一，b的取小值为1.2思路分析：(1)利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，从而证明不等式成立(2)把不等式进行恒等变形，然后把恒成立问题转化成最值问题.解后反思：不等式恒成立问题的解决步骤：一般先对不等式的特征进行分析,可以分离参变量或者将不等式等价变形，然后转化为最值问题总结？?
利用导数研究函数的极值和最值问题
