用计算机提高数学学习效率

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1、计算机科学基础综述性报告利用计算机辅助数学学习姓名：吴昭 学号：3140105351 教师：陈春晖摘要：自计算机诞生以来，它与数学的联系便密不可分，并且对社会生活的各个领域影响至深。可是我们学生在学习数学的过程中，极大程度上却依然固守传统，将大量精力与时间浪费在人工笔算上，不是很讽刺吗？而利用计算机来辅助数学学习，除了能节省时间，更有众多其他方面的优势，是目前的趋势所在。关键词：计算机；数学学习；算法；数学软件Computer Aided Mathematical LearningName: Wu Zhao ID: 3140105351 Teacher: Chen ChunhuiAbstrac

2、t: Since the day computer was born, it has been tied closely with Mathematics and made deep differences in all area of our social lives. However, its ironical that we students still stick in the mud and spend too much time in calculating with paper and hands during learning Mathematics. If we choose

3、 to make use of computers to aid learning, well not only save much time but many other advantages there and obviously, the current trend goes as it is.Key words: Computer; Mathematical Learning; Algorithm; Mathematical Software1、 前言在计算机科学（Computer Science）上到算法（Algorithm）一章的时候，我们同时正被微积分（Calculus）和线性代

4、数（Linear Algebra）折磨着。不过也正是得益于微积分与线性代数中繁琐的计算，所以在接触到算法时，我当即便萌生出借助计算机来提高解决这些问题的效率的想法。有人为计算机引入教学的事而恐慌，他们的理由大约是过分依赖计算机会削弱对学生思维灵敏度（也就是大家口中的“智力”）等的训练。既然谈到智力了，那我们就要先搞搞清楚我们在做的究竟是体力劳动（Manual Labor）还是脑力劳动（Intellectual Labor）？不过有一点想必没那么争议，即：繁复单调的笔头数值计算当归属于体力劳动的范畴。而这里，我想要表达的中心意思也是让计算机来代替我们完成那些体力劳动，以便为我们争取更多的时间用以

5、脑力劳动。再强调一点，运用计算机学习数学，并不是指通过普及计算器那种傻瓜黑盒(Black Box)程序来提高做题效率，而是指这样一个过程：学习的主体“我”首先学习掌握了一个数学知识点，然后运用其来解决问题，而对计算机的能运用就在这个解决问题的过程中。传统的做法是按照自己的思路，建立好相应的数学模型（Mathematical Model），然后通过一定的计算法则，得出结论。这其中免不了人工笔算，而且当数据繁琐的时候，则很容易出现错误。而事实上，上述关于计算的过程我们完全可以通过设计算法、编写相应的程序(Program)来完成。一则免去了人工笔算的繁琐，二则大大提高了准确率，而且储存的程序还可以反

6、复利用。一般地，运用数学解决问题的思路大致如下：Where computer works better! Building Mathematical Models VerifyingComputing Posing Questions无须再累述计算机应用范围之广，也限于我自己知识面的狭窄，对于计算机如何深刻地影响数学等方面的问题无法做出有价值的阐述，我就且从自己当前接触到的东西入手，以数学计算为切入点，通过几个例子，来简单论述一下计算机相对于人工的优势。二、相关例子、软件1、 Excel这是我最早接触到计算机中所说的函数(Function)的地方。诸如SUM、AVERAGE、MAX、MIN、R

7、ANK、COUNT等。当然，如果只是对3、5个数据进行操作，运用这些未必会节省时间，但是那种只有3、5个数据需要处理的情况大概只会出现在我们小学和中学的考试试卷上，而现实生活中的数据量往往大得多，而且繁琐得多，极少会出现那种愚蠢的刚好可以整除的一堆数据。一个很简单的例子： 这个表里的数据相对简单些，但是已经足以显示出运用公式和函数的优势了，比如在计算总评和平均分时，只需要分别输入一次“=0.55*B3+0.25*C3+0.2*D3”和“=AVERAGE(B3:B13)”，然后拖动鼠标就完成了。当然你也可以人工笔算，但计算量之大可想而知，特别是当数据量不断扩大时。除此之外，根据需要快速建立图表也

8、是运用计算机的另一个优越之处。如下：2、 Raptor在Excel中，我们使用的大都是“包装”“设计”好的公式，自己写也大都是一些利用基本的运算符号“+”、“-”、“*”、“/”、“%”等编写一些式子。事实上，我们知道，绝大多数数学问题的解决无法仅靠单纯的式子来完成的。而算法则更为灵活，而且，如果想要检验你自己是否掌握了某个知识点，那么来编写一则相应的算法无疑是个好方法，绝对属于脑力劳动。在前面我曾提到的利用数学解决相关问题的四个步骤：其中的提出问题（Posing Questions）和建立数学模型（Building Mathematical Models）这两步的完成是需要我们在正确理解问题

9、（Understanding the Problem）的基础上，调动自己的知识储备，将自己解决该问题的思路清晰地表述出来。而算法恰恰是一个求解问题步骤的有序集合，能够产生结果并且在有限时间内完成，它的确定性、有穷性以及有效性要求也正和我们的实际需求相适应。我暂且通过课堂学到的关于求解素数（Prime Number）的例子来说明一下。首先我们知道素数是指只能被1和它本身整除的数。要判断一个数是不是素数，最先想到的就是用2（n-1）之间的各个整数轮流去除n（n是被判断的数且n2），如果都不能被整除，那么n就是素数，否则就是合数（Composite Number）了。按照这个思路，我们首先用Rapt

10、or画出这样的流程图（这里只展示部分）：（来源：Lect_raptor）可以看到，这里就是通过一个Loop，用2n-1（counter的初值为2）一一去除n，看余数是否为0。可这种方法效率未免太低了，因为要判断一个数是否为素数，不必用2n-1除下去的，其实只要用2n之间的数去除就够了，也就是说我们可以通过优化算法来提高效率，而这一点则完全依赖于我们的大脑了。改动如下： 两者运算效率的比较：前者用了122步，而后者只需30步，当n值继续增大时，其对比会更为明显。再进一步讨论：小学数学就已经学过，每一个整数都是可以分解为若干个素数之积的，那也就是说，我们在判断n是不是素数时，其实只需要用小于n的素

11、数去除n就可以了，这样一来，运算次数又明显减少了，而需要多做的工作就是建立一个素数表（Table）。而如今，得益于计算机超快的运算速度（MIPS），我们已经找到了2216091以内的所有素数，如此庞大的一个素数表，想来也能够满足我们一般的学习需求了吧。当然了，这种方法在求解小一点的数时效率体现不出来，甚至还感觉挺麻烦，可还是那句话，现实生活中的数据往往繁复庞大得多，在解决那类问题时，这种方法的优越性就不言而喻了。除此之外还有很多其他的方法，如厄拉多塞筛法（Eratosthenes sieve）、6N+1法等。3、 Matlab开篇我便提到是微积分和线性代数的“难缠”，而对于Matlab的认识则

12、是从计算定积分（Definite Integral）与极限（Limit）开始的。因为Matlab 已经内置了那些函数，所以这时不需要再编程，直接输入相应的指令（Instruction）以及参数（Parameter）便可以得到结果了。下面就是那道曾折磨我很久的题，可用Matlab 计算不过几秒钟的事儿：而既然重点是在Intellectual Labor上，那我们也不妨想想如果要自己编程求解，思路该是怎样的呢？在定积分一章中，定积分的概念是通过一道计算曲边梯形面积的题目引入的：第一步：分割。在闭区间 a , b 中插入n-1 个分点，把曲边梯形分成n个小的曲边梯形；第二步：近似。在每个小区间内任取

13、一点i，以其所对应的函数值作为小矩形的高，近似求得每个小矩形的面积；第三步：求和；第四步：取极限。按照这个思路，定义具体的变量（Variable），设定合适的值，参照sum算法，利用循环语句，就已经粗略将其表达出来了。当然，Matlab的功能远远不止这个，百科中对它的主要功能列举如下：主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理（来源：百度百科）数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程我个人是很偏爱软件对于计算结果进行图形表示这一功能的，因为那些或二维或三维、或静态或动态的图形让我觉得自己面对的不再是干枯的数字，而是可触可感的东西。比如要画出所表示的三维曲面

14、，规定x，y的取值范围是 -8, 8。完成这个三维曲面若要用人工其难度可想而知，而如果用Matlab的话，只需输入相应的指令与参数，自行设置好颜色之类的格式回车即可得到想要的图像：（来源：哈尔滨工业大学段小明老师的Matlab讲稿）三、结语：无穷（Infinite）最后再插入“无穷”这个概念。数学家对无穷是怀有恐惧心理的。Tomas Hobbs 就认为无穷意味着我们不能感知到所指事物的终点或边界。Descartes 则直接表态：“我们就不该进入对无穷的讨论，由于我们自身不是无穷，因此让我们去决定任何与无穷相关的事物是荒谬的，因为这就等于我们试图去限制它或停止它。对于那些问直线的一半是不是无穷，

15、一个无穷的数是奇数还是偶数等问题的人，我们不要去理会他们。人不应该去想这个问题，除非他认为他有头脑是无穷的。”的确，在讨论无穷的时候，我们的“常识”实在是个很差劲的向导。以级数（Progression）的重排为例：我们知道有限个数相加具有加法交换律，那么无限个数相加是否还满足交换律？当被问及此时，我理所当然地认为交换律对两者都适用，可实际上，对于一般的级数来说，只有当它绝对收敛的时候，对其进行重排，也就是施行加法交换律，其和才不发生改变。而当其条件收敛时，则对任意给定的一个常数CR ，都必定存在该级数的一个重排级数收敛于C（详细证明参见微积分级数一章）。那么我就想：既然人类的头脑在研究无穷时明显存在不足，我们是否可以利用计算机来辅助完成呢？这个问题我暂时不敢作答，但我对未来的发展满怀希望。参考文献：1张奠宙、王善平著.当代数学史话.大连：大连理工大学出版社，2010.1:174-188.2陆汉权著.计算机科学基础.北京：电子工业出版社，2011.8：97-98,103-112.3冯晓霞、沈睿著.计算机科学基础：实验指导.北京：电子工业出版社，2012.8:92-101,192-195.4苏德矿、吴明华著.微积分.上.北京：高等教育出版社，2007.7，224-225.5苏德矿、吴明华著.微积分.下.北京：高等教育出版社，2007.7，264-266.第 7 页 共 7 页