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1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线A组基础题组1. (2017长沙统一模拟考试)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰是边长为2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为(2 22yFA.+ =1B. +y2=1茫艺/?C. + =1D. + =1/2. 已知双曲线X2- =1的左、右焦点分别为F1F2,过F2的直线I与C的左、右两支分别交于A,B 两点，且 |AF1|=|BF 1|,则 |AB|=()A.2B.3C.4D.2+13. 若抛物线y2=2px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为()2 2A.y =4xB.y =36x2222C.y
2、 =4x 或 y =36xD.y =8x 或 y =32x4. 已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，0为坐标原点，M是线段AB的中点,F为C的焦点， OFM的面积等于2,则k=()1112A.B.C.D.5.(2017贵州贵阳检测)双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是C.1D.D6.(2017太原模拟试题)已知双曲线经过点(1,2),其一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线A.2 27. 若椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面
3、积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为 .2 2竺8. (2017云南第一次统一检测)已知双曲线 M: - =1(a0,b0)的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点，与双曲线 M的两条渐近线交于C,D两点.若3|AB|= |CD|,则双曲线M的离心率是.19. 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=-4y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；若过点P(2,1)的直线I与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线I的方程和点M的坐标.10. (2017陕西高三教学质量检测试题(一)已知椭圆与抛物线y2=4x有一个相同的焦点且该椭圆的离心率为(
4、1)求椭圆的标准方程过点P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B两点，0为坐标原点，若 =2,求厶AOB的面积.第 3 页 共 11 页B组提升题组1. (2017福建普通高中质量检测)已知A(-2,0),B(2,0), 斜率为k的直线I上存在不同的两点M,N满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段 MN的中点为(6,1),贝U k的值为()1 1A.-2B.-C.D.22 2L2. (2017课标全国1,15,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的右顶点为 A,以A为圆心,b为半径作圆 A,圆A与双曲线 C的一条渐近线交于M,N两点.若/ MAN=60 ,则C的离
5、心率为.2fo,3. (2017北京,18,14分)已知抛物线 C:y =2px过点P(1,1).过点 作直线I与抛物线C交于不同的两点 M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中0为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；求证:A为线段BM的中点.2 2y_4. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知R(x0,y。)是椭圆C: +=1上的一点，从原点O向圆R:(x-x 0)2+(y-y。)2=8作两条切线，分别交椭圆于点 P,Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP,OC互相垂直，求圆R的方程；若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1 ,k 2,求k1k2的
6、值.第 5 页 共 11 页第7页共11页答案精解精析A组基础题组1. C 易知b=c=,故a=b+c=4,从而椭圆E的标准方程为 +=1.选C.2. C 设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF i|=2a=2.|BFi|-|BF 2|=2a=2,又|AFi|=|BF i|,故|AF2|-|BF 2|=4,又|AB|=|AF 2|-|BF 2|,故|AB|=4,故选 C.3. C 因为抛物线y2=2px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以若设该点为P,则P(xo, 6).因为P到抛物线的焦点 F的距离为10,所以由抛物线的定义得xo+ =10.
7、因为P在抛物线上，所以36=2pxo.由解得 p=2,x o=9或p=18,x o=1,则抛物线的方程为 y2=4x或y2=36x.4. C由抛物线方程y2=4x可知焦点F(1,o).设 A(xi,y i),B(x 2,y 2),M(x o,y o),M为线段AB的中点，r2x0 =心 + xz.y0 = Yi + 九将 =4xi,=4X2两式相减可得=4(x i-x 2) ? (y i+y2)2(y仁y 2)=4(x i-x 2)2即 k= , / ko, .y oo.1S ofiF 3i3y o=2,解得 yo=4,1 .k=：.故选 C.来源：2 2y_h5. B 依题意，双曲线 -=i
8、的渐近线方程为y= x,且“右”区域是由不等式组f by-xrab2ft h 1y A _、&所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1 ,因此双曲线的离心率6. 答案 -x 2=1解析 解法一：因为点(1,2)在渐近线y=2x的左上方,所以双曲线的焦点在y轴上,故设双a严/ JC21 81 = 1 2 2 2 2 *曲线的标准方程为 圧丄=1(a0, b0),所以3 旳 解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为 -x2=1.解法二：因为双曲线的渐近线方程为y=2x,所以设双曲线的方程为-x2=入(入工0),又双曲/线过点(1,2),所以入=1,所以双曲线的标准方程为-x2=1.47.
9、答案农1解析 由已知得a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+ =1,设A(xo,y 0)是椭圆C的内接正方1形位于第一象限内的顶点，则xo=yo,所以1 = +2 =3 ,解得 =,所以椭圆C的内接正方形4的面积 S=(2xo) 2=4=.58. 答案解析设双曲线的右焦点为 F(c,0),易知|AB|=.b该双曲线的渐近线方程为y= x,be2bc当 x=c 时,y= ,所以 |CD|=.3由 |AB|=|CD|,2bZ 3 2bc 3得 =2,即 b= c,4c 5所以 a= c,所以 e= = . 来源：x2 y29. 解析 设椭圆C的方程为+ =1(ab0),c 1由题意得b=,=,
10、结合a2=b2+c2,解得 a=2,c=1.故椭圆C的标准方程为+ =1.因为过点P(2,1)的直线I与椭圆C在第一象限相切，所以直线I的斜率存在，故可设直线I的方程为y=k(x-2)+1(k丰0).f屮护+ = 1,43由:. - 丁 ! 12 2 2得(3+4k )x -8k(2k-1)x+16k-16k- 8=0,因为直线l与椭圆C相切，所以 =-8k(2k-1)2-4(3+4k 2)(16k 2-16k-8)=0,1解得k=-.1 1所以直线l的方程为y=- (x-2)+1=-x+2.将k=-代入式，可得M点的横坐标为1,故切点M的坐标为；.2 210. 解析 (1)依题意，设椭圆的标
11、准方程为 +=1(ab0),由题意可得c=,又屯e= =, . a=2.、222 小.b =a -c =2,.椭圆的标准方程为+ =1.(2)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),第9页共11页由f=2PB,得卩_均=2力_ 1打设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得4k- 2(2k 2+1)x 2+4kx-2=0,.x i+X2=U 丨】,x i2x 2=：厂 + 将xi=-2x 2代入上式可得，-丁 一 J W -,解得k2=.1 AOB的面积 S= |OP|2|x i-x 2|J(兀I +叼)2 _ 4利p=1 2 剧2 + 2=2B组提升题组1. D 因为 |MA
12、|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,由双曲线的定义知，点M,N在以A,B为焦点的双曲线的右支上，且c=2,a=,所以b=1,所以该双曲线的方程为-y 2=1.设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),贝V Xi+X2=12,y i+y2=2.设直线I的方程为y=kx+m,代入双曲线的方程，2 2 2消去 y,得(i-3k )x -6mkx-3m -3=0,6mfc所以 xi+X2=i2,yi+y2=k(x i+X2)+2m=i2k+2m=2由解得k=2,故选D.2y/32. 答案b解析 不妨设点 M N在渐近线y_ x上，如图, AMN为等边三角形，且|AM|_b,第13页共11页则
13、A点到渐近线y= x的距离为 b,又将y= x变形为一般形式为bx-ay=O,则A(a,O)到渐近线bx-ay=0的距离d=ab ab 歯 ti 筋,所以 _ b,即_,所以双曲线离心率 e=13. 解析 (1)由抛物线C:y2_2px过点P(1,1),得p_ .所以抛物线C的方程为y2_X1 J1抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x_-.1证明：由题意，设直线I的方程为y_kx+ (k丰0),1与抛物线C的交点为M(xi,y i),N(x 2,y 2).y = kx 4- -b2得 4k2x2+(4k-4)x+1_0.1 - k贝y X1+X2_,x 1X2_因为点P的坐标为(1,1),所以直
14、线0P的方程为y=x，点A的坐标为(x i,x i).直线ON的方程为y_ x,点B的坐标为出衍 儿叼+乃叼-2x1x2因为 y1+-2x 1_11 貶(2k - 2) X+ 一-4fe2 2k2= =0,竺所以 yi+=2xi.故A为线段BM的中点.4. 解析 (1)连接OR设圆R的半径为r,由圆R的方程知r=2,因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆R相切，所以|OR|=r=4,即 + =16.2 o又点R在椭圆C上,所以 +=1,联立,解得二畑所以圆R的方程为(x-2) 2+(y-2)2=8.伙i呵-九丨丨直呵-旳|j 2r 2 因为直线 OP:y=kix和0Q:y=k2X都与圆R相切,所以=2,=2,化简得(-8)-2x oyok计-8=0,(-8)-2x oyok2+ -8=0.所以k!,k2是方程(-8)k 2-2x oyk+ -8=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得2 fl因为点R(xo,y。)在椭圆C上，所以 +=1,2 -Xl即 =12-,所以
二轮椭圆双曲线抛物线专题卷全国通用
