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1、2019届数学人教版精品资料本章回顾识结构点回放两种数列的基本公式及性质等差数列an等比数列an定义an1and (d为常数) 等价形式an1an12anq (q0)(q为常数) 等价形式an1an1a (an0)通项公式ana1(n1)d变形：anam(nm)dana1qn1变形：anamqnm中项a，A，b成等差数列A(A称为a，b的等差中项)a，G，b成等比数列G (ab0) (G称为a，b的等比中项)前n项和公式Snna1dq1时，Snna1 q1时，Sn基本性质若mnpq，则amanapaq若mnpq，则amanapaq若mn2p，则aman2ap若mn2p，则amanaan是常数列
2、d0an是常数列q1an递增d0an递增或an递减d0，对an13a两边取常用对数得：lg an12lg anlg 3.令bnlg an.则bn12bnlg 3.bn1lg 32(bnlg 3)bnlg 3是等比数列，首项是b1lg 3lg 3lg 32lg 3.bnlg 32n1(b1lg 3)2nlg 3.bn(2n1)lg 3lg lg an.an二、运用恒等变形求数列前n项和例3(2009山东日照一模)已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*满足2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总
3、有Tn1.(1)解由已知得 (n2)故2(SnSn1)2an3an3an1，即an3an1 (n2)故数列an为等比数列，且q3.又当n1时，2a13a13，a13.an3n.(2)证明bn.Tnb1b2bn11.例4已知数列an的前n项和Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)2x24的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Sn2n24，n2时，anSnSn12n22n12n1，当n1时，a1S12344，也适合上式，数列an的通项公式为an2n1，nN*.(2)bnanlog2an(n1)2n1，Tn22232
4、3424n2n(n1)2n1，2Tn223324425n2n1(n1)2n2.得，Tn232324252n1(n1)2n223(n1)2n22323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1(n1)2n22n2n2n2.三、运用方程(组)的思想解数列问题例5等差数列an中，a410，且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20.解设数列an的公差为d，则a3a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d.由a3，a6，a10成等比数列得a3a10a，即(10d)(106d)(102d)2，整理得10d210d0，解得d0或d1.当d0时，S2020a4200
5、.当d1时，a1a43d10317.S2020a1d207190330.例6(2009江苏通州模拟)已知数列an和bn满足a1m，an1ann，bnan.(1)当m1时，求证：对于任意的实数，数列an一定不是等差数列；(2)当时，试判断数列bn是否为等比数列(1)证明当m1时，a11，a21，a3(1)222.假设数列an是等差数列，由a1a32a2，得232(1)，即210，30，方程无实根故对于任意的实数，数列an一定不是等差数列(2)解当时，an1ann，bnan.bn1an1anbn.又b1mm，当m时，数列bn是以m为首项，为公比的等比数列；当m时，数列bn不是等比数列四、运用函数的
6、思想解数列问题例7设bn(1r)qn1，r219.21，q，求数列的最大项和最小项的值解1.记cn，则cn1.作出函数y1的图象易知：c20c19c1c221.最高点为(21，c21)，最低点(20，c20)最大项为c21，c212.25，最小项为c20，c204.五、构建数列模型解实际应用题例8甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2n2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an1万元(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有
7、可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有：a1a，n2时：an(n2n2)(n1)2(n1)2(n1)a.anbnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aaa2an1a，(nN*)(2)易知bn3a，所以乙将被甲超市收购，由bnan得：a7，n7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购例9某油料库已储油料a t，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t，设an为正式运营第n年底的储油量(1)求an的表达式并加以证明；(2)为应对突发事件，
8、该油库年底储油量不得少于a t，如果ba t，该油库能否长期按计划运营？如果可以请加以证明，如果不行请说明理由(取lg 20.30，lg 30.48)解(1)依题意油库原有储油量为a t，则a1(125%)abab，an(125%)an1ban1b (n2，nN*)，令anx(an1x)，则anan1，于是b，即x4b，an4b(an14b)，数列an4b是公比为，首项为a5b的等比数列an4b(a14b)n1n1na5bn1，anna4b5bn1na4b.(2)若ba t时，该油库第n年年底储油量不少于a t，即na4aa，即n3，nlog 34.8，可见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营思妙解1等差数列性质多，三点共线可求和例1在等差数列an中，S1020，S50200，求S2 010的值解由SnAn2Bn，知AnB，所以点在直线yAxB上，于是点，三点共线，成立把S1020，S50200代入上式，解得：S2 010205 020.2数列图象莫轻视，大题小作显神奇例2设等差数列an的前n项和为Sn，已知a10，S120，S130，S130.a13S13S120，a130，d0，S130，122n013，6n06.5.易知n6对应的A点(6，S6)与对称轴的距离比n7对应的B点(7，S7)与对称轴的距离更小A点为最高点，S6最大
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