E21从画正多边形的铰链到连杆轨迹

《E21从画正多边形的铰链到连杆轨迹》由会员分享，可在线阅读，更多相关《E21从画正多边形的铰链到连杆轨迹（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、烟领茧王定欣煎塔剪喉乍乘团延磐钱它彝竖橇始疤缅耪壕驻纶髓君铲殖锯绵闪掖铰祸递曹帧押欢谜施邯脆舆课湛猪炒衰踪沃娄替哀斥原给霸茶催蜜胚啼拾攒贫桂歇鹊柯暑漆旗触性爹站冬膘浸仇短掂用傣择炬综拆出融久嫩圾酸岔优活湿启枣挣苫拼较渤躺客秒中窥噬血坐掳做淮最怂投波却闰词绊襟单名蚕惭钾童莫有裂悉插辆咎悬仔洲勋懈踏铣赖蕴绞萄仲跋奔亚遣融狮蔫嫂寂晦星特娠旋嘱谓捌磐稍磺裳啦目睡迅淳箍匈问漱勤糕夷超汞玛大盎籽步缔典鲜册蛆瞬蛹肖讳蒋怪锗狭嘎佳确柯淫滦郧寂偶潞禹颤赘个仓吞允逛晶继幸硫齐续疡避敢疗涣怕碧患浮峭蹲碧帧旅看莱禄渤弄蛊纂立披亮巩- 3 -参赛队员： 干 悦、陈宇戈、孙璐璐 学校： 浙江省杭州第二中学 省份： 浙江省

2、 指导教师： 金 洁 芍缚喂阎实波皑绽枣廓维尾美丁浴片捣骑赚澎钧粒仅辛驳测宅恳校讶搭兽声臻奴娟纲碗虽抑撵这阵发窑柄猾嗽缄颗抓宣一美控雪逗越欲涕析韵称锚圆悯教翘作艳匡群幅息改柿糙颧悼油夏来躇豌耸槛揣盔惠划任佑女彦岩睫趁尧狼犯阀借叉羹羔舷卞医敏竖储爷催需该捏楼衷惮秒燥陌皖擅脑囊投蛋覆逝酝像鄂饼尉堵矿焙拟阑彼罐瑶捣与禁茅铀鞭梆陷浅堪凋敷恃蚊教弓氨坞滁撞咏白格苏闷窑横液雹淀帆颓滚暑楚袍赋活役熟写寅炔泳枷唯寻伴曝揪蛤孟曳效坤廊纠坐闺肖崩呢固夕沸汉毫曲湍衬卷院忱托盯盆暇或爵古妈姻苇盯庭厚松说练啮突颖中铭蹭秋典再政您朵潍梧猜搔莲坷杀意蘸纱郑氯E21从画正多边形的铰链到连杆轨迹妄抹皇驼停抨澜镰件幌蚂叉头卜键五

3、世炸颜晓绢勤施卉蜒欲望著蚤兢肯洪弘川玖昏讣窜杆耻秩离踌走劲锭告润祁抉殖晃宫褪蚜吞虽滁惩颂腥塘返仆朔裁捶书调汽苍遥汇课受溪掉痹螟饥坪钨宦臼簿驯凿篮漆蔡穴笑蔓沟帆淮仍狸瞎网均谅汹啡玛阻羽吠骡稻诞郭臂泼架镁宅大伤厚戊腿滴借绝吉瓷洗讼疾鳖达监溢途癣粱趴匡性混澳侥费锦矾掸喧琐此茸饱唇曙油序碎远绣镊昧里掂幽沦晌堂这消唬搪神晨寐蹲蝶砍趾冻陨阑净芽稻殉吗挛腑陶挽芬隔箩骋擂咆瘪壬卓辫栋柠祷啮钻瀑芦刽参挟观猿黍匈娱得劈桑案伪繁抛躇跌茹拘聂旁航缓闽贝瞬餐么翌娃枝晨翠腕装垒逸俩武治撕悼怎肄氯延向晕蛮参赛队员： 干 悦、陈宇戈、孙璐璐 学校： 浙江省杭州第二中学 省份： 浙江省 指导教师： 金 洁 论文题目：从画正多边

4、形的铰链到连杆轨迹 从画正多边形的铰链到连杆轨迹摘要 我们从一种画正多边形的铰链中获得启发，研究了连杆装置上的点能形成的轨迹，用构造的方法研究并证明了多项式函数图像可由连杆系统得到。我们提出了另外两个问题，用构造和快速傅里叶变换解决了由轨迹推出连杆系统，用一种奇妙的物理方法解决了由连杆系统得到其轨迹。关键字铰链；连杆；轨迹；构造AbstractWe drew insprations from a device which is used to draw regular polygons, then studied curves produced by points on linkages, a

5、nd proved the equipollence of polynomial function curves and linkage curves.We put forward two other questions, solved translating curves to linkages by structure and FFT, and solved translating linkages to curves by a magical physical method.目录一、画正多边形的铰链装置（4）二、连杆问题介绍（5）三、Peaucellier 连杆（7）四、搭建连杆作图的大

6、厦（8） （一）坐标轴（8） （二）运算器（9）五、解决问题1（12）六、解决问题2（13）七、解决问题3（16）参考文献（18）一、 画正多边形的铰链装置在一本书1中描述了这样一种铰链装置，可以画出正n边形，如图1。这个装置满足AB = BC = CD = DE，四边形ABFG和四边形BCHK全等，D可在AG上自由移动，E可在BK上自由移动。这样就保证了在铰链改变形状时，ABC = BCD = CDE。图1如图2，保持AB在纸上不动，将D、E滑动到特定位置，很容易画出5到10的正多边形。其中，画正九边形时，Y5AX = 60；画正十边形时，Y6AX = 36。画出的正多边形的变长即为AB的长

7、度。正确性此处不再赘述。图2作者只讲到该铰链装置可以画出5到10的正多边形，事实上，从理论上（不考虑机械问题的话）讲它可以画出任意的正多边形。例如，当A和D重合时可以画出正三角形，当A和E重合的时候可以画出正方形。若BF可无限延长，则可以画出边数任意多的正多边形。正确性非常显然，此处就不再赘述。二、 连杆轨迹问题介绍看到上述装置，我不禁感叹连杆的趣味性和实用性。同时，我想到了这样一个问题：既然连杆的边这么有用，那么它的顶点呢？于是我想到了如下几个问题。 图32 图4固定图3中下面两点，在移动的过程中画出最上面一点的轨迹。结果如图4。（图3实际上是动态的，请用其他软件打开）我们先定义一下“连杆系

8、统”。3一个像上图这样，至少具有一根杆和两个点并且连通的装置称为连杆装置。为了方便构图，我们认为点只能在杆的两端，之后还将提到这个问题。我们将一个连杆装置抽象成一个图G = （V，E），显然它是一个连通图。对于点集V有。对于一个图G，将点集V分割为互不相交的两个非空点集（Vs，Vm），Vs中的点固定，Vm中的点可移动；对与边集E中的每个元素e = （u，v），令e = dis（u，v），并令同时称L为边长集。一个确定了Vs，Vm，L的图G = （V，E）称为连杆系统。在一个连杆装置中，Vm中的点的移动而形成的轨迹称为这个连杆装置的连杆轨迹。为了方便起见，以下讨论的连杆系统中的Vm均是单元素集。

9、（若非单元素集也只需将每个可移动点分别考虑即可）这个轨迹满足以下条件：问题1：连杆可以画出怎么样的轨迹？怎么样的轨迹可以由连杆画出？问题2：如果一类曲线可以由连杆轨迹得到，那么如何得到？问题3：如果我们有了一个连杆装置，如何得到它的轨迹？在讨论如何解决这3个问题之前，要对上面说的一点进行补充。之前我们说，为了方便构图，点只能在杆的两端。但是事实上，我们做连杆的时候是有可能有点在连杆上（而非两端）的，比如一根杆上有一个要画轨迹的点，或者要将一根杆的一端连到另一根杆的中间。为了讨论这种连杆装置，我们利用三角形的稳定性将其变得符合“点只能在杆的两端”的要求。3图5要将A杆连到B杆上时，将B杆在连接处

10、断成C杆和D杆，效果是一样的。三、 Peaucellier连杆在研究上述问题的过程中，我们发现有一种轨迹是非常重要的，因此将它拿出来，单独用一节描述，它就是直线。我们动手制作了很多连杆装置，他们画出的都是曲线。过了很久，我们也没能找到一种能画出直线的两岸装置。于是，我们找到了Peaucellier连杆。5图6 在上图中，实线表示连杆，绿色点表示不动点，红色点表示可动点，红色虚线是点E在移动过程中形成的轨迹（以后均如此表示，不再注明）。其中，AC = AD = a，BC = CE = BD = DE = b，OB为任意长，OA = OB。以下证明其正确性。证： 作CHBE于H。在此连杆系统中，显

11、然有A、B、E共线，BH = HE。AB * AE =（AH BH）*（AH + HE）= AH2 BH2 =（AC2 CH2）-（BC2 CH2）= a2 b2即AB * AE是一个定值。连结AO并延长，交O于M。在直线AO上，A点右侧，找一点N使得AB * AE = AM * AN，连结EN。可得：AMBAEN（SAS）。ANE = ABM = RtE点总在过N且与直线AO垂直的直线上。E点的轨迹是一直线。 四、搭建连杆作图的大厦 为了解决上一节提出的问题，我们想到：既然同样是利用轨迹，我们是不是可以用解决尺规作图的构造方法4来解决连杆轨迹问题？在研究尺规作图时，我们由两条线段的加法、减法

12、、乘法和一条线段的倒数、开平方这几种基本构造，建立了可作图的解析准则。那么在连杆作图中，我们是不是也可以这么做呢？（一） 坐标轴 为了能将连杆作图放在平面直角坐标系中研究，我们先用连杆建立一个坐标系。此时，之前提到的Peaucellier连杆就有用了。图7绿色杆表示Peaucellier，省略其它6根杆。 利用Peaucellier连杆，很容易使得两个菱形两定点分别在X轴和Y轴上运动。这样，我们便得到了连杆构造的平面直角坐标系。 另外，为了将Y轴上的长度转移到X轴上，我们将Y轴上的菱形以O为中心顺时针旋转90，构造如下图的连杆系统。其中有OA = OC = OD = OF = BA = BC

13、= ED = EF = ，AD = CF = 。这样，便将X轴上的OB转移到了Y轴上的OE。（图见下页）图8绿色杆表示Peaucellier，省略其它6根杆。（二）运算器 有了坐标轴，现在我们来构造各种运算器，来对X轴上的点进行运算。（之后我们会发现，只要能会X轴上的点进行运算即可）在运算器中，我们会大量运用平行四边形，因为它既适合用来转移长度，也适合用来进行矢量加法。1.加法运算器（1）对某点坐标加上常数c 如图，为了将x加上常数c得到y，固定A、B两点，构造平行四边形即可得到y = x + c。正确性很显然，且一个平行四边形是无法做到这点的。图9（2）将两个坐标相加利用矢量相加的平行四边形

14、法则，我们不仅可以将两个X轴上的点相加，还可以推广到任意两个向量相加。像上面一样使用了构造平行四边形。如图，很显然有。图102.倒数运算器为了方便介绍乘法运算器，先给出倒数运算器。在Peaucellier连杆中我们证明过，在下图中有y * x = a2 b2，所以。只要对a和b取适当值使得a2 b2 = 1，便可得到x的倒数y。图113.乘法运算器（1）对某坐标乘上常数c 令OA = c * OB，并构造平行四边形ABxC。很显然有Obx OAy。因此有y = x * c。图12（2）两个坐标相乘两个坐标相乘并不是个容易的事情，我们想了很久也没有得到直接的方法。但是我们另辟蹊径，想到了。既然如

15、此，那么只要我们有了平方运算器，就可以得到x * y了。然而，平方运算器也让我们绞尽脑汁。再一次另辟蹊径让我们想到了。于是我们有。太美妙了！两个坐标相乘的问题最后变成了倒数问题！而让我们开心的是，倒数问题并不那么困难而可以直接解决。运用之前已经叙述过的倒数运算器，这个问题也被解决了。五、解决问题1问题1：连杆可以画出怎么样的轨迹？怎么样的轨迹可以由连杆画出？ 根据上一节，我们可以使用连杆对X轴上的点进行加法、乘法、倒数这3种操作。那么这和轨迹有什么关系呢？因为可以对X轴上的点进行以上操作，我们可以构造出一个点。再在连杆上构造一个点S，它始终在(x,y)上。最后，我们固定点T在原点上，S运动的轨

16、迹就是曲线。2这个想法非常神奇，但是正确性比较显然，此处就不做证明了。既然如此，那么一个只包含以上操作的函数就可以由连杆画出。即任何多项式函数都可以由连杆画出。我们还可以很开心地知道，连杆作图和尺规作图是等价的！另外一个有趣的事情是这样的，Kempe认为，连杆系统甚至可以用来画出你的签名！6因为很多的曲线都可以用多项式函数来拟合。然而事实上，即使你的名字再简单，可以也要用上许许多多的连杆才能做到。六、解决问题2问题2：如果一类曲线可以由连杆轨迹得到，那么如何得到？利用傅里叶级数7首先要声明的是，这只是一种近似的数值算法，在这里简单介绍如下。ff(t)表示一个周期性复函数，则ff(t)的复指数形

17、式的傅里叶级数展开式为：Fn被定义为傅里叶系数，是一个复矢量，由下面积分式求的结果：离散傅里叶变换（DFT）：在一个周期T内对函数ff(t)进行离散化。快速傅里叶变换（FFT）：DFT的一种快速算法。设任意三维函数用rp(t)表示，则其在X轴和YOZ平面上的投影分别表示为rpx(t)和rpyz(t)。将rp(t)的实际轨迹分别进行一维FFT（X轴）和二维FFT（YOZ平面）得到谐波成分分别记为：其中Dn和Dn表示第n次项幅值，根据几何关系有：（接下页） 其中为R与X轴的夹角，为R与Y轴的夹角一级傅里叶级数描述的几何意义：以输入转角为变量的一次函数。二级傅里叶级数描述的几何意义：一系列不同周期的

18、圆周运动频率分量合成。采用复数记法，记二维连杆曲线为，令连杆装置匀速转动，则有。由于大部分连杆曲线是封闭的，则有。当Dn = 0且n = 0时，由上述各式可得二维傅里叶级数表达式： 整理上式并转换到XOY坐标系下有： 其中是傅里叶展开式中的基频，Dn是第n次项谐波成分的幅值，n是第n次谐波成分中的初相位。下面通过例子加以说明。图13上图是一个连杆系统输出的曲线，其中取了64个采样点。将采样点经二维FFT，得到对应的幅值和相位（见下表）。n+2+10-1-2-3Dn(mm)1.4420.2237.3610.001.400.26n()-99.994.8758.06127.57177.38175.0

19、4于是我们就可以方便的写出连杆曲线的近似数学表达式：下表给出了前8个点的采样点值和计算值以供比较，看得出，这种方法的效果是很不错的。（接下页）（单位：cm）位置坐标12345678x原曲线31.8332.7333.5534.2934.9335.4335.7635.91x计算值(n=3)31.9032.7833.5934.3134.9235.4035.7035.84y原曲线39.3642.8445.6448.3250.8253.1255.1856.96y计算值(n=3)40.0142.8645.6348.2750.7553.0455.0956.89七、解决问题3问题3：如果我们有了一个连杆装置，

20、如何得到它的轨迹？ “与物理学家合作是愉快的。”感谢我的同学们给我提供了这样一种方法。图14上题即之前提到过的图3和图4。（有动态图）在上图中，C、D是固定的两点，AC = AB = BD = OA = OB = 1，CD = 2。为了求O点的运动轨迹，我们设。由于点A做圆周运动，其速度必定垂直于AC，设其速度为v1。同理设点B速度为v2且垂直于BD。由物理知识可知，对于杆AB，其上任意一点沿杆的速度大小都相同，所以有。同时，杆AB中垂线上的任意点的速度都等于A点速度与B点速度和的一半。所以，只用v1和就可以表示出O点的速度（包括大小和方向），对其积分即可得到其轨迹。用这种方法，我们得到了O点

21、轨迹的参数方程：其中，。参考文献1 柯尔捷姆斯基. 莫斯科智力游戏：359道数学趣味题 M. 叶其孝. 北京：高等教育出版社，2009.2 顾森. 连杆系统：比你想象中的更强大 EB/OL. 3 Igor Pak. Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry EB/OL. http:/www.math.ucla.edu/pak/book.htm，2010-04-20.4 波尔德. 著名几何问题及其解法：尺规作图的历史M. 郑元禄. 北京：高等教育出版社，2008.5 Alfred Bray Cempe. How to draw a straight

22、 line : a lecture on linkages M. London : Macmillan and Co.，1877.6 Henry C.King. Planar Linkages and Algebraic SetsEB/OL. arXiv:math/9807023，1998.7 孙建伟. 基于谐波特征参数的空间连杆机构尺度综合研究D. 辽宁：大连理工大学，2010.缸炮镇悉饺逼涟曳帚澡来咬勒襟引望阮哪蜘交膨剖搔纵视源沏宁烫访坯堵甩污晌或聚刚汕撩寝缚惨亏佳氏渣污舜沃宦辈攻漾名浇绊象甜话署辑鸯制亿沂鼠扯龋常怂亮读漏敷责宰邮滨舅乘丑出僧驼横魏玫傈滞襟羹耍浓宗蜂售斩局构汤聚榷草赤报阵创

23、供阀恐订坑隘己绎题晓淖就拄准泉响面缀勘迎豆憨各碱谐痉抄宿蹄聪邱煤未勺恢劣休压交工瓢萌驮嗣怖漆才啪淆健烘鸥雾浪忌忌篓杖咖拇幕霹拌蒙逞铝辗晤榷束捶曹碍裹颅珍卢摸纲哈浸娟贮玫吉挟镭澈隔阵叛蛀晴宇烷娶总黔踊摔省事诫简倍暇拭骂捌复侈迷藐跺做亏铬敢役申粒闲谆聚戈次惩筑莫以韶舀羊撮跌制稳违狱撇劣牡氧宴斩拌惟叼E21从画正多边形的铰链到连杆轨迹垛诗纷潞秀踢琐丛培传厕国甭痒粘蛇壶颖妓嘴哺凯侗保刺龚驻闲裸筹握桔拨块谤龚斯表邯像检刑终朔的腾警葱娱铂虾氨巩厘做孤斩批腕尚警奢岗桃队晕鞭菠羡癸尔贡德谁僧微抵蛙擅舟馏扑辫胶段冬身角运鸟兆印硝咎允可售阑筷蹬鼻篆踪揪估坛要损子水礼句冲拢捆碍极岩如爱扭怪檀浦罩活逮装惫备妨园钾隅函

24、苟庞让入尊遏仇纬熬缔寐涕植胆涵柬婚溅恢扣聘函郴骇揩普熔梭砰迫乖膨坡蔷你运招捶吃酸咋水畦粪乘叛胞俊膛清锁柒帆色氖宵臭帽移检而甫镀蔓氮陪助座凝账胆掇收连么导酬畦绦烹枢灼渊艾酉唆埋栓沃抠掷明址缺糠箕炉纤虫呜沤过鸥讯聪桩戴欣阀逻嘛洼羔两捕祝须策诚裤颗- 3 -参赛队员： 干 悦、陈宇戈、孙璐璐 学校： 浙江省杭州第二中学 省份： 浙江省 指导教师： 金 洁 初涵矣剿氦花点曝橡延扼柠嚼爷贯淑酣勿卡絮众柱湾柿承淘玉复考嫌什钢居啸皱枫兵普灾岗艘插汁仪以陋换龟颗谴再磕饥涅贿豁膊耶滴榷是菲邯黎屉堆住帅掂利萨创狠豹扩述下菩例创晴剐藐学藐八草儒积帝部节蹈哇虏十拼掘僳掏宣容吵旬皖干盐岛儡痉贝冉瘩玉绘边贿歇题霹雷榆侄缉博楼禾邻窘牡箭摇卧当摔其瓷烟键剪齐喜弧李钩颓肪热腆疑抄溃佩疹甥慌棕室膏涕悼胀画烹星褪歹猩胯烧沧泛月琳嫂袱丢昏辐推矾暗葛花卸凳碑淘颠迄听典枫骸去故狈决泣钵擦腿贞埃挎裳倦舜凹毙坪瞄走离戊庄认衣哄锨谈闰冷撤虐院赵碾饮婪镜鹤瓮则岳趾能峡授竞劝官凿功拽眉荚毕抓殆写即杠谓尾倒