人教版 高中数学【选修 21】 教学案：第三章 3．2 3．2.2　复数代数形式的乘除运算

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1、人教版高中数学精品资料32.2复数代数形式的乘除运算预习课本预习课本 P5860，思考并完成下列问题思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？质解决问题？新知初探新知初探1复数代数形式的乘法法则复数代数形式的乘法法则设设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则则 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数乘法的

2、运算律复数乘法的运算律对任意复数对任意复数 z1，z2，z3C，有，有交换律交换律z1z2z2z1结合律结合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共轭复数共轭复数已知已知 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是互为共轭复数的充要条件是 ac 且且 bd.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是互为共轭虚数的充要条件是 ac 且且 bd0.4复数代数形式的除法法则：复数代数形式的除法法则：(abi)(cdi)abicdiacbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)点睛点睛在进行复数除法时，分子、分母同

3、乘以分母的共轭复数在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数 cdi，化简后即得结，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化有理化”很类似很类似小试身手小试身手1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()(2)若若 z1，z2C，且，且 z21z220，则，则 z1z20.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数两个共轭虚数的差为纯虚数()答案：答案：(1)(2)(3)2(北京高考北京高考

4、)复数复数 i(2i)()A12iB12iC12iD12i答案：答案：A3若复数若复数 z11i，z23i，则，则 z1z2()A42iB2iC22iD34i答案：答案：A4复数复数i2i3i41i_.答案答案：1212i复数代数形式的乘法运算复数代数形式的乘法运算典例典例 (1)已知已知 i 是虚数单位，若复数是虚数单位，若复数(1ai)(2i)是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数 a 等于等于()A2B.12C12D2(2)(江苏高考江苏高考)复数复数 z(12i)(3i)，其中，其中 i 为虚数单位，则为虚数单位，则 z 的实部是的实部是_解析解析(1)(1ai)(2i)2a(12a)i，要

5、使复数为纯虚数，所以有，要使复数为纯虚数，所以有 2a0,12a0，解得，解得 a2.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以所以 z 的实部是的实部是 5.答案答案(1)A(2)51两个复数代数形式乘法的一般方法两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开首先按多项式的乘法展开(2)再将再将 i2换成换成1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式2常用公式常用公式(1)(abi)2a2b22abi(a，bR)(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)(3)(1i)22i.活学活用活学活用1已知已知 x

6、，yR，i 为虚数单位，且为虚数单位，且 xiy1i，则，则(1i)xy的值为的值为()A2B2iC4D2i解析：解析：选选 D由由 xiy1i 得得 x1，y1，所以，所以(1i)xy(1i)22i.2已知已知 a，bR，i 是虚数单位若是虚数单位若(ai)(1i)bi，则，则 abi_.解析解析：因为因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，所以所以 a10，a1b，即即 a1，b2，所以所以 abi12i.答案：答案：12i复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法运算典例典例 (1)若复数若复数 z 满足满足 z(2i)117i(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 z 为为()A35iB3

7、5iC35iD35i(2)设设 i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数1ai2i为纯虚数，则实数为纯虚数，则实数 a 为为()A2B2C12D.12解析解析(1)z(2i)117i，z117i2i(117i)(2i)(2i)(2i)1525i535i.(2)1ai2i(1ai)(2i)(2i)(2i)2a512a5i，由，由1ai2i是纯虚数，则是纯虚数，则2a50，12a50，所，所以以 a2.答案答案(1)A(2)A1两个复数代数形式的除法运算步骤两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；再将分子、分母同乘以分母的共

8、轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.活学活用活学活用1(天津高考天津高考)i 是虚数单位，计算是虚数单位，计算12i2i的结果为的结果为_解析：解析：12i2i(12i)(2i)(2i)(2i)(22)i4i5i.答案答案：i2计算：计算：(1i)(43i)(2i)(1i)_.解析：解析：法一：法一：(1i)(43i)(2i)(1i)17i13i(17i)(13i)102i.法二：法二：(1i)(43i)(2i)(1i)1i1i43i

9、2ii(43i)(2i)5(34i)(2i)5105i52i.答案：答案：2ii 的乘方的周期性及应用的乘方的周期性及应用典例典例 (1)(湖北高考湖北高考)i 为虚数单位，为虚数单位，i607的共轭复数为的共轭复数为()AiBiC1D1(2)计算计算 i1i2i3i2 016_.解析解析(1)因为因为 i607i41513i3i，所以其共轭复数为，所以其共轭复数为 i，故选，故选 A.(2)法一：法一：原式原式i(1i2 016)1ii1(i2)1 0081ii(11)1i0.法二：法二：i1i2i3i40，inin1in2in30(nN)，i1i2i3i2 016，(i1i2i3i4)(i

10、5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)0.答案答案(1)A(2)0虚数单位虚数单位 i 的周期性的周期性(1)i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN*)(2)inin1in2in30(nN)活学活用活学活用计算计算1i1i1i1i21i1i31i1i10_.解析：解析：1i1ii，原式原式ii2i3i10i12310i55i3i.答案：答案：i复数综复数综合应用合应用典例典例 设设 z 是虚数是虚数， z1z是实数是实数， 且且12， 求求|z|的值及的值及 z 的实部的取值范围的实部的取值范围解解因为因为 z 是虚数，所以可设是虚数，所以可设 zxy

11、i，x，yR，且，且 y0.所以所以z1zxyi1xyixyixyix2y2xxx2y2yyx2y2i.因为因为是实数且是实数且 y0，所以所以 yyx2y20，所以，所以 x2y21，即即|z|1.此时此时2x.因为因为12，所以，所以12x2，从而有从而有12x1，即即 z 的实部的取值范围是的实部的取值范围是12，1.一题多变一题多变1变设问变设问若本例中条件不变，设若本例中条件不变，设 u1z1z，证明，证明 u 为纯虚数为纯虚数证明：证明：设设 zxyi，x，yR，且，且 y0，由典例解析知，由典例解析知，x2y21，u1z1z1(xyi)1(xyi)(1xyi)(1xyi)(1x)

12、2y21x2y22yi(1x)2y2y1xi.因为因为 x12，1，y0，所以，所以y1x0，所以所以 u 为纯虚数为纯虚数2变设问变设问若本例条件不变，求若本例条件不变，求1z1z2的最小值的最小值解：解：设设 zxyi，x，yR，且，且 y0，由典例解析知由典例解析知 x2y21.则则1z1z22xy1xi22xy1x22x1x2(1x)22x1x1x2x121x2(x1)21x3.因为因为12x1，所以所以 1x0.于是于是1z1z22(x1)21x322(x1)21x31.当且仅当当且仅当 2(x1)21x，即即 x0 时等号成立时等号成立所以所以1z1z2的最小值为的最小值为 1，此

13、时，此时 zi.复数运算的综合问题解决方法复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为要解决此类问题常将复数设为 xyi(x，yR)的形式的形式，利用有关条件利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决层级一层级一学业水平达标学业水平达标1复数复数(1i)2(23i)的值为的值为()A

14、64iB64iC64iD64i解析：解析：选选 D(1i)2(23i)2i(23i)64i.2(全国卷全国卷)已知复数已知复数 z 满足满足(z1)i1i，则，则 z()A2iB2iC2iD2i解析：解析：选选 Cz11ii1i，所以，所以 z2i，故选，故选 C.3(广东高考广东高考)若复数若复数 zi(32i)(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则z()A23iB23iC32iD32i解析：解析：选选 Azi(32i)3i2i223i，z23i.4(1i)20(1i)20的值是的值是()A1 024B1 024C0D512解析：解析：选选 C(1i)20(1i)20(1i)210(1i)21

15、0(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.5(全国卷全国卷)若若 a 为实数，且为实数，且2ai1i3i，则，则 a()A4B3C3D4解析：解析：选选 D2ai1i(2ai)(1i)(1i)(1i)a22a22i3i，所以所以a223，a221，解得解得 a4，故选，故选 D.6(天津高考天津高考)已知已知 a，bR，i 是虚数单位是虚数单位，若若(1i)(1bi)a，则则ab的值为的值为_解析：解析：因为因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又又 a，bR，所以，所以 1ba 且且 1b0，得，得 a2，b1，所以所以ab2.答案：答案：27设复数设复数 z1 2i，则，则

16、z22z_.解析：解析：z1 2i，z22zz(z2)(1 2i)(1 2i2)(1 2i)(1 2i)3.答案：答案：38若若a1i1bi，其中，其中 a，b 都是实数，都是实数，i 是虚数单位，则是虚数单位，则|abi|_.解析：解析：a，bR，且，且a1i1bi，则则 a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，a1b，01b.a2，b1.|abi|2i| 22(1)2 5.答案答案： 59计算计算：(i2)(i1)(1i)(i1)i32i23i.解解：因为因为(i2)(i1)(1i)(i1)i(i2)(i1)i21i(i2)(i1)2ii1，32i23i(32i)(23i)(23i)(23

17、i)13i13i，所以所以(i2)(i1)(1i)(i1)i32i23ii1(i)1.10已知已知z为为 z 的共轭复数的共轭复数，若若 zz3iz13i，求求 z.解解：设设 zabi(a，bR)，则则zabi(a，bR)，由题意得由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即即 a2b23b3ai13i，则有则有a2b23b1，3a3，解得解得a1，b0，或或a1，b3.所以所以 z1 或或 z13i.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1如图如图，在复平面内在复平面内，点点 A 表示复数表示复数 z，则图中表示则图中表示 z 的共轭复数的共轭复数的点是的点是()AABBCCDD解析

18、解析：选选 B设设 zabi(a，bR)，且且 a0，b0，则则 z 的共轭复数为的共轭复数为 abi，其中其中 a0，b0，故应为，故应为 B 点点2设设 a 是实数，且是实数，且1ai1iR，则实数，则实数 a()A1B1C2D2解析：解析：选选 B因为因为1ai1iR，所以不妨设，所以不妨设1ai1ix，xR，则，则 1ai(1i)xxxi，所以有所以有x1，ax，所以所以 a1.3若若 a 为正实数，为正实数，i 为虚数单位，为虚数单位，|aii|2，则，则 a()A2B. 3C. 2D1解析解析： 选选 Baii(ai)(i)1ai， |aii|1ai| 1a22， 解得解得 a 3

19、或或a 3(舍舍)4计算计算(1 3i)3(1i)62i12i的值是的值是()A0B1CiD2i解析解析：选选 D原式原式(1 3i)3(1i)23(2i)(12i)(12i)(12i)(1 3i)3(2i)324ii251232i3ii1iii(i)ii2i.5若若 z1a2i，z234i，且且z1z2为纯虚数为纯虚数，则实数则实数 a 的值为的值为_解析解析：z1z2a2i34i(a2i)(34i)9163a4ai6i825(3a8)(4a6)i25，z1z2为纯虚数为纯虚数，3a80，4a60，a83.答案答案：836设复数设复数 z 满足满足 z234i(i 是虚数单位是虚数单位)，则

20、，则 z 的模为的模为_解析：解析：设设 zabi(a，bR)，则则 z2a2b22abi34i，a2b23，2ab4，解得解得a2，b1或或a2，b1.|z| a2b2 5.答案：答案： 57设复数设复数 z(1i)23(1i)2i，若若 z2az0，求纯虚数求纯虚数 a.解解：由由 z2az0 可知可知 z2az是实数且为负数是实数且为负数z(1i)23(1i)2i2i33i2i3i2i1i.a 为纯虚数，为纯虚数，设设 ami(mR 且且 m0)，则，则z2az(1i)2mi1i2imim2m2m22i0，m20，m220，m4，a4i.8复数复数 z(1i)3(abi)1i且且|z|4

21、，z 对应的点在第一象限，若复数对应的点在第一象限，若复数 0，z，z对应的点对应的点是正三角形的三个顶点，求实数是正三角形的三个顶点，求实数 a，b 的值的值解：解：z(1i)2(1i)1i(abi)2ii(abi)2a2bi.由由|z|4，得，得 a2b24，复数复数 0，z，z对应的点构成正三角形，对应的点构成正三角形，|zz|z|.把把 z2a2bi 代入化简得代入化简得|b|1.又又z 对应的点在第一象限，对应的点在第一象限，a0，b0.由由得得a 3，b1.故所求值为故所求值为 a 3，b1.(时间：时间： 120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本

22、大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1i 是虚数单位，复数是虚数单位，复数7i3i()A2iB2iC2iD2i解析：解析：选选 B7i3i(7i)(3i)102010i102i.2(全国卷全国卷)若若 a 为实数，且为实数，且(2ai)(a2i)4i，则，则 a()A1B0C1D2解析：解析：选选 B(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.4a0，a244.解得解得 a0.故选故选 B.3若复数若复数 z 满足满足z1ii，其中，其中 i 是虚数单位，则

23、是虚数单位，则 z()A1iB1iC1iD1i解析：解析：选选 Az(1i)ii2i1i，z1i，故选，故选 A.4设设 i 是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数2i1i在复平面内所对应的点位于在复平面内所对应的点位于()A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第三象限第三象限D第四象限第四象限解析：解析：选选 B2i1i2i(1i)(1i)(1i)2(i1)21i，由复数的几何意义知，由复数的几何意义知1i 在复平在复平面内的对应点为面内的对应点为(1,1)，该点位于第二象限，故选，该点位于第二象限，故选 B.5已知已知(1i)2z1i(i 为虚数单位为虚数单位)，则复数，则复数 z()A1i

24、B1iC1iD1i解析：解析：选选 D由由(1i)2z1i，得，得 z(1i)21i2i1i2i(1i)(1i)(1i)1i，故选，故选 D.6设复数设复数 z1i(i 为虚数单位为虚数单位)，z 的共轭复数是的共轭复数是z，则，则2zz等于等于()A12iB2iC12iD12i解析：解析：选选 C由题意可得由题意可得2zz2(1i)1i(3i)(1i)(1i)(1i)12i，故选故选 C.7已知复数已知复数 z1232i，则则z|z|()A1232iB1232iC.1232iD.1232i解析解析：选选 D因为因为 z1232i，所以所以z|z|1232i1223221232i.8已知复数已

25、知复数 z 满足满足(1i)zi2 016(其中其中 i 为虚数单位为虚数单位)，则则z的虚部为的虚部为()A.12B12C.12iD12i解析解析： 选选 B2 0164504， i2 016i41.z11i1212i， z1212i， z的的虚部为虚部为12.故选故选 B.9A，B 分别是复数分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点在复平面内对应的点，O 是原点是原点，若若|z1z2|z1z2|，则三则三角形角形 AOB 一定是一定是()A等腰三角形等腰三角形B直角三角形直角三角形C等边三角形等边三角形D等腰直角三角形等腰直角三角形解析：解析：选选 B根据复数加根据复数加(减减)法的几何意

26、义，知以法的几何意义，知以 OA， OB为邻边所作的平行四为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直角三角形为直角三角形10设设 z(2t25t3)(t22t2)i，tR，则以下结论正确的是，则以下结论正确的是()Az 对应的点在第一象限对应的点在第一象限Bz 一定不为纯虚数一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方对应的点在实轴的下方Dz 一定为实数一定为实数解析：解析：选选 Ct22t2(t1)210，z 对应的点在实轴的上方又对应的点在实轴的上方又z 与与z对对应的点关于实轴对称应的点关于实轴对称C 项正

27、确项正确11设设 z 的共轭复数为的共轭复数为z，若，若 zz4，zz8，则，则zz等于等于()A1BiC1Di解析：解析：选选 D设设 zabi(a，bR)，则，则zabi，由条件可得，由条件可得2a4，a2b28.解得解得a2，b2.因此因此z22i，z22i，或或z22i，z22i.所以所以zz22i22i1i1i(1i)2(1i)(1i)2i2i，或，或zz22i22i1i1i(1i)2(1i)(1i)2i2i，所以，所以zzi.12已知复数已知复数 z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应的向量的模为在复平面内对应的向量的模为 3，则则yx的最大值的最大值是是()A.32B.33C.

28、12D. 3解析：选解析：选 D因为因为|(x-2)+yi|= 3，所以，所以(x-2)2+y2=3，所以点，所以点(x，y)在在以以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识- 3yx 3.二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上)13已知复数已知复数 z(52i)2(i 为虚数单位为虚数单位)，则，则 z 的实部为的实部为_解析：解析：复数复数 z(52i)22120i，其实部是，其实部是 21.答案：答案：2114i 是虚数单

29、位，若复数是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数 a 的值为的值为_解析解析：由由(12i)(ai)(a2)(12a)i 是纯虚数可得是纯虚数可得 a20,12a0，解得解得 a2.答案答案：215设复数设复数 abi(a，bR)的模为的模为 3，则，则(abi)(abi)_.解析：解析：|abi| a2b2 3，(abi)(abi)a2b23.答案：答案：316若关于若关于 x 的方程的方程 x2(2i)x(2m4)i0 有实数根，则纯虚数有实数根，则纯虚数 m_.解析解析： 设设 mbi(bR 且且 b0)， 则则 x2(2i)x(2bi4)i0， 化简得化简

30、得(x22x2b)(x4)i0，即，即x22x2b0，x40，解得解得x4，b4，m4i.答案：答案：4i三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)设复数设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i(mR)，试求，试求 m 取何取何值时？值时？(1)z 是实数是实数.(2)z 是纯虚数是纯虚数(3)z 对应的点位于复平面的第一象限对应的点位于复平面的第一象限解解：(1)由由 m23m20 且且 m22m20，解得解得 m1 或或 m2，复数表示实数

31、复数表示实数(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数由由 lg(m22m2)0，且，且 m23m20，求得求得 m3，故当，故当 m3 时，复数时，复数 z 为纯虚数为纯虚数(3)由由 lg(m22m2)0，且且 m23m20，解得解得 m2 或或 m3，故当故当 m2 或或 m3 时，复数时，复数 z 对应的点位于复平面的第一象限对应的点位于复平面的第一象限18(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知(12i)z43i，求，求 z 及及zz.解：解：设设 zabi(a，bR)，则，则zabi.(12i)(abi)43i，(a2b)(2

32、ab)i43i.由复数相等，解得由复数相等，解得a2b4，2ab3，解得解得a2，b1.z2i.zzzzzzz2|z|2414i53545i.19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知 z1i，a，b 为实数为实数(1)若若z23z4，求，求|；(2)若若z2azbz2z11i，求，求 a，b 的值的值解：解：(1)(1i)23(1i)41i，所以所以| 2.(2)由条件，得由条件，得(ab)(a2)ii1i，所以所以(ab)(a2)i1i，所以所以ab1，a21，解得解得a1，b2.20(本小题满分本小题满分 12 分分)虚数虚数 z 满足满足|z|1，z22z1z0，求，求 z.解：

33、解：设设 zxyi(x，yR，y0)，x2y21.则则 z22z1z(xyi)22(xyi)1xyi(x2y23x)y(2x1)i.y0，z22z1z0，2x10，x2y23x0，又又 x2y21.由由得得x12，y32.z1232i.21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z 满足满足|z| 2，z2的虚部是的虚部是 2.(1)求复数求复数 z；(2)设设 z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为在复平面上的对应点分别为 A，B，C，求，求ABC 的面积的面积解解：(1)设设 zabi(a，bR)，则则 z2a2b22abi，由题意得由题意得 a2b22 且且 2ab2，解

34、解得得 ab1 或或 ab1，所以，所以 z1i 或或 z1i.(2)当当 z1i 时时，z22i，zz21i，所以所以 A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以所以 SABC1.当当 z1i 时，时，z22i，zz213i，所以所以 A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以所以 SABC1.22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知复数已知复数 z1满足满足(z12)(1i)1i(i 为虚数单位为虚数单位)，复数复数 z2的虚的虚部为部为 2，且，且 z1z2是实数，求是实数，求 z2.解：解：(z12)(1i)1i，z121i1i(1i)2(1i)(1i)2i2i，z12i.设设 z2a2i(aR)，则则 z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.又又z1z2R，a4.z242i.